Просмотр кода страницы Неограниченная функция в граничной точке

'''Неограни́ченная фу́нкция в грани́чной то́чке'''<ref name="англ">Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи</ref> <math>P</math> — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], [[аналитическая функция]] <math>f(z)</math>, заданная в [[Область (математика)|области]] <math>D \subseteq \C^n</math> комплексного пространства <math>\C^n</math> с некоторой [[Граничная точка|граничной точкой]] <math>P \in \partial D</math> такой, что найдётся последовательность точек области <math>Q_n \in D</math> такая, что <math>Q_n \to P</math> и <math>|f(Q_n)| \to \infty</math>{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}}.

'''Замечание 1.''' [[Русский язык|Русская]] и [[Английский язык|английская]] математическая традиция передаёт это понятие словесно одинаковыми достаточно длинными терминами: '''неограниченная функция в граничной точке'''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}} ({{lang-en|unbounded function at a boundary point}}{{sfn|''Salomon Bochner, William Ted Martin,'' Several Complex Variables, 1948|loc=Chapter 5. Singularities at Boundary Points, §1. Unbounded Function, p. 84}}).

'''''Барьер, или граничное свойство'''''<ref name="англ"/>, граничной точки <math>P \in \partial D</math> области <math>D \subset \C^n</math> — голоморфная в области <math>D</math> функция <math>g</math> такая, что для любого множества <math>K</math>, [[Компактное множество|компактного]] в <math>D</math>, <math>K \Subset D</math>, и любого <math>\epsilon > 0</math>
: <math>\|g\|_K = \max\limits_{z\in K} \leqslant 1</math>,
но при этом найдётся такая точка в окрестности <math>z \in U(P,\, \epsilon)</math> точки <math>P</math>, что <math>|g(z)| > 1</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}, другими словами, функцию <math>g</math> нельзя голоморфно продолжить в точку <math>P</math>{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1031}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 16. Голоморфная выпуклость, с. 170}}.

'''Замечание 2.''' Русская математическая традиция передаёт это понятие в терминах функции-барьера, определённой для данной граничной точки: '''барьер'''{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1031}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 16. Голоморфная выпуклость, с. 170}}, тогда как английская математическая традиция — в терминах свойства данной граничной точки: '''граничное свойство'''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}} ({{lang-en|frontier property}}{{sfn|''Salomon Bochner, William Ted Martin,'' Several Complex Variables, 1948|loc=Chapter 5. Singularities at Boundary Points, §1. Unbounded Function, p. 84}}). В этой статье использована русская математическая традиция{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1031}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 16. Голоморфная выпуклость, с. 170}}.

'''Теорема 1.''' ''Если функция <math>f(z)</math> голоморфна в области <math>D</math> и неограниченна в точке <math>P \in \partial D</math>, то в точке <math>P</math> имеется барьер{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие областей голоморфности, с. 155}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}.''

'''Доказательство.''' Действительно, для любого множества <math>K</math>, компактного в <math>D</math>, <math>K \Subset D</math>, и для любого <math>\epsilon > 0</math> имеется функция-барьер <math>g(z) = \frac{f(z)}{\|f\|_K}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие областей голоморфности, с. 155}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}.

Верно не только утверждение, обратное к предыдущему, но и следующее гораздо более сильное предложение{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие областей голоморфности, с. 155}}.

'''Теорема 2.''' ''Если все точки любого множества <math>\{P\} \subset \partial D</math> имеют барьер, то найдется функция, голоморфная в области <math>D</math> и неограниченная во всех точках <math>\{P\}</math>{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие областей голоморфности, с. 155}}.''

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие областей голоморфности, с. 155—157}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117—119}}
| Содержание    =
'''1. Нумерация счётного множества.''' Всегда имеется не более чем [[счётное множество]] точек из <math>\partial D</math>, всюду плотное на <math>{\{P\}}</math>, причём функция, неограниченная в точках такого не более чем счётного множества, будет также неограниченной и на <math>\{P\}</math>. Следовательно, <math>\{P\}</math> можно считать тоже не более чем счётным, и тогда можно построить такую [[последовательность]] точек <math>P_k \in \{P\}</math>, что в ней любая точка из <math>\{P\}</math> встречается бесконечное количество раз. Например, построим следующую последовательность:
: <math>P_1;\, P_1,\, P_2;\, P_1,\, P_2,\, P_3;\, \dots,</math>
где <math>P_1,\, P_2,\, P_3,\, \dots</math> — пронумерованные точки из <math>\{P\}</math>. Теорема будет доказана, если найдётся такая голоморфная в области <math>D</math> функция <math>f</math> и такая последовательность точек <math>Q_k \in D</math>, что
: <math>|Q_k - P_k| \to 0</math>, <math>f(Q_k) \to \infty</math>, <math>k \to \infty</math>,
поскольку каждая точка <math>P \in \{P\}</math> встречается в построенной последовательности бесконечное число раз, и всегда можно будет выделить из <math>Q_k</math> такую подпоследовательность <math>Q'_k</math>, что <math>Q'_k \to P</math>, а <math>f(Q'_k) \to \infty</math>.

'''2. Построение компактов.''' Построим [[Математическая индукция|по индукции]] три [[Последовательность|последовательности]]:
: 1) возрастающую последовательность компактов <math>R_k \Subset D</math>, которые '''''исчерпывают область''''' <math>D</math>, то есть
:: <math>\bigcup\limits_{k=1}^\infty R_k = D</math>;
: 2) последовательность точек <math>Q_k \in D</math>, удовлетворяющих условию
:: <math>|Q_k - P_k| < \frac1k</math>;
: 3) последовательность голоморфных на <math>D</math> функций <math>f_k</math>, удовлетворяющих условию
:: <math>\|f_k\|_{R_k} \leqslant 1,\quad |f_k(Q_k)| > 1</math>.

'''[[База индукции]].''' Пусть <math>R_1</math> — любой компакт <math>R_1 \Subset D</math>. По определению барьера в точке <math>P_1</math> отыщем голоморфную на <math>D</math> функцию <math>f_1</math> и точку <math>Q_1 \in D</math> такие, что
: <math>|Q_1 - P_1| < 1,\quad |f_1(Q_1)| > 1 \geqslant \|f_1\|_{R_1}</math>.

'''[[Шаг индукции]].''' Пусть построение выполнено для всех <math>m \geqslant k - 1</math>. Сконструируем компакт (здесь <math>\rho</math> — [[расстояние]] в [[Поликруговая метрика|поликруговой <math>\rho</math>-метрике]])
: <math>R_k = R_{k-1} \cup \{Q \in D\colon\, \rho(Q,\, \partial D) \geqslant \frac1k,\, |Q| \leqslant k\} \cup \{Q_1,\, \dots,\, Q_{k-1}\}</math>
и затем по определению барьера в точке <math>P_k</math> отыщем голоморфную на <math>D</math> функцию <math>f_k</math> и точку <math>Q_k \in D</math> такие, что
: <math>|Q_k - P_k| < \frac1k,\quad \|f_k\|_{R_k} \leqslant 1,\quad |f_k(Q_k)| > 1</math>,
тем самым доказав возможность нашего построения.

'''3. Построение искомой функции.''' Так как <math>|f_k(Q_k)| > 1</math>, сконструируем, начиная с <math>l_1</math>, последовательность [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>l_k</math>, для которой выполняется [[неравенство]]
: <math>\frac1{m^2}|f_m(Q_m)|^{l_m} \geqslant \sum\limits_{k=1}^{m-1} \frac1{k^2} |f_k(Q_m)|^{l_k} + m,\quad m \geqslant 2</math>,
и построим функцию в виде [[Функциональный ряд|функционального ряда]]
: <math>f(Q) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac1{k^2} (f_k(Q))^{l_k}</math>,
который [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] на <math>R_m</math>, так как для произвольного <math>Q \in R_m</math> всегда <math>|f_k(Q)| \leqslant 1</math> при <math>k \geqslant m</math>. Компакты <math>R_m</math> компактно исчерпывают область <math>D</math>, следовательно, этот [[Сходимость ряда|ряд сходится]] всюду, и по [[Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций|теореме Вейерштрасса]] его сумма <math>f</math> есть голоморфная функция в области <math>D</math>. Кроме того, <math>f(Q_m) \to \infty</math>, поскольку
: <math>|f(Q_m)| \geqslant \frac1{m^2}|f_m(Q_m)|^{l_m} - \sum\limits_{k=1}^{m-1} \frac1{k^2} |f_k(Q_m)|^{l_k} -</math>
: <math>{}- \sum\limits_{k=m+1}^\infty \frac1{k^2} \geqslant m - \sum\limits_{k=m+1}^\infty \frac1{k^2},\quad m = 1,\, 2,\, \dots</math>
}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|3=
''[[Бохнер, Саломон|Бохнер С.]], {{iw|Мартин, Уильям Тед|Мартин У. Т.|en|W. T. Martin}}'' Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «[[Издательство иностранной литературы]]», 1951. 300 с.: ил. [''Salomon Bochner, William Ted Martin,'' Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
}}
* {{h|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|3=
''[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]]'' Голоморфная область // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «[[Советская Энциклопедия]]», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1030—1032.
}}
* {{h|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|3=
''[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]]'' Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика [[Боголюбов, Николай Николаевич|Н. Н. Боголюбова]]. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1964. 411 с.: ил.
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1976. 400 с.: ил.
}}
* {{h|''Salomon Bochner, William Ted Martin,'' Several Complex Variables, 1948|3=
''[[Бохнер, Саломон|Salomon Bochner]], {{iw|Мартин, Уильям Тед|William Ted Martin|en|W. T. Martin}}'' Several Complex Variables. Princeton: Princeton University Press, 1948. 216 p. [''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных. [[Принстон]]: [[Издательство Принстонского университета]], 1948.]
}}

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Многомерный комплексный анализ]]