Неограниченная функция в граничной точке

Неограни́ченная фу́нкция в грани́чной то́чке $P$ — понятие комплексного анализа, раздела математики, аналитическая функция $f(z)$, заданная в области $D\subseteq {ℂ}^n$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ с некоторой граничной точкой $P\in \partial D$ такой, что найдётся последовательность точек области $Q_n\in D$ такая, что $Q_n\to P$ и $|f(Q_n)|\to \mathrm{\infty }$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Замечание 1. Русская и английская математическая традиция передаёт это понятие словесно одинаковыми достаточно длинными терминами: неограниченная функция в граничной точкеШаблон:SfnШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn).

Барьер, или граничное свойство, граничной точки $P\in \partial D$ области $D\subset {ℂ}^n$ — голоморфная в области $D$ функция $g$ такая, что для любого множества $K$, компактного в $D$, $K⋐D$, и любого $ϵ>0$

$\Vert g{\Vert }_K=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{z\in K}⩽1$,

но при этом найдётся такая точка в окрестности $z\in U(P,ϵ)$ точки $P$, что $|g(z)|>1$Шаблон:SfnШаблон:Sfn, другими словами, функцию $g$ нельзя голоморфно продолжить в точку $P$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Замечание 2. Русская математическая традиция передаёт это понятие в терминах функции-барьера, определённой для данной граничной точки: барьерШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, тогда как английская математическая традиция — в терминах свойства данной граничной точки: граничное свойствоШаблон:Sfn (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn). В этой статье использована русская математическая традицияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Теорема 1. Если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и неограниченна в точке $P\in \partial D$, то в точке $P$ имеется барьерШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Доказательство. Действительно, для любого множества $K$, компактного в $D$, $K⋐D$, и для любого $ϵ>0$ имеется функция-барьер $g(z)=\frac{f(z)}{\Vert f{\Vert }_K}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Верно не только утверждение, обратное к предыдущему, но и следующее гораздо более сильное предложениеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Теорема 2. Если все точки любого множества $\{P\}\subset \partial D$ имеют барьер, то найдется функция, голоморфная в области $D$ и неограниченная во всех точках $\{P\}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H