Просмотр кода страницы Неравенство Берри — Эссеена

'''Неравенство Берри — Эссеена''' — неравенство, позволяющее оценить [[скорость сходимости]] суммы независимых [[Случайная величина|случайных величин]] к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в [[Теория вероятностей | теории вероятностей]] название [[Центральная предельная теорема | центральной предельной теоремы]]. Это неравенство было независимо выведено [[Эндрю Берри]] в 1941 и [[Карл-Густав Эссеен|Карлом-Густавом Эссееном]] в 1942 годах.

== Формулировка теоремы ==

=== Случай одинаково распределённых величин ===
Пусть дана бесконечная последовательность <math>X_n</math> [[Независимые одинаково распределённые случайные величины|независимых одинаково распределённых]] случайных величин таких, что <math> M(X_n) = 0, M(X_n^2) = \sigma^2 > 0, M(|X_n^3|) = \rho < \infty</math>. Обозначим через <math>F_n</math> распределение суммы вида <math>\sum_{i=1}^n X_i / \left(\sigma \sqrt{n}\right)</math>. Тогда для всех <math>x</math> и <math>n</math>
: <math> \left|F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt{n}}</math>,
где <math>\mathcal{N}</math> обозначает стандартное [[нормальное распределение]], а <math>C</math> — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, <math>C < 0.4784</math>.{{sfn|Korolev, Shevtsova|2010}}

=== Разнораспределённые случайные величины ===
Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть <math>X_k</math> — это [[Независимость (теория вероятностей)|независимые случайные величины]], <math> M(X_k) = 0, M(X_k^2) = \sigma_k^2, M(|X_k^3|) = \rho_k</math>. Введём обозначения: <math> s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2, r_n = \sum_{i=1}^n \rho_i</math>. Обозначим через <math>F_n</math> распределение случайной величины вида <math> \sum_{i=1}^n X_i / s_n</math>. Тогда для всех <math>x</math> и <math>n</math>
: <math> \left| F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq C \frac{r_n}{s_n^3}</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
| автор = В. Феллер
| заглавие = «Введение в теорию вероятностей и её приложения»
| издание =  2
| издательство = Книжный дом «Либроком»
| год = 2009
| том = 2
}}
* {{статья
| автор = Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G.
| заглавие = "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality"
| издание = Theory of Probability and its Applications
| год = 2010
| ref = Korolev, Shevtsova
}}

[[Категория:Теория вероятностей]]