Неравенство Берри — Эссеена

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Формулировка теоремы

Случай одинаково распределённых величин

Пусть дана бесконечная последовательность $X_n$ независимых одинаково распределённых случайных величин таких, что $M(X_n)=0,M(X_n^2)={\sigma }^2>0,M(|X_n^3|)=\rho <\mathrm{\infty }$. Обозначим через $F_n$ распределение суммы вида $\sum _{i=1}^n{X}_i/\left(\sigma \sqrt{n}\right)$. Тогда для всех $x$ и $n$

$|F_n(x)-𝒩(x)|\le \frac{C\rho }{{\sigma }^3\sqrt{n}}$,

где $𝒩$ обозначает стандартное нормальное распределение, а $C$ — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, $C<0.4784$.Шаблон:Sfn

Разнораспределённые случайные величины

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть $X_k$ — это независимые случайные величины, $M(X_k)=0,M(X_k^2)={\sigma }_k^2,M(|X_k^3|)={\rho }_k$. Введём обозначения: $s_n^2=\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2,r_n=\sum _{i=1}^n{\rho }_i$. Обозначим через $F_n$ распределение случайной величины вида $\sum _{i=1}^n{X}_i/s_n$. Тогда для всех $x$ и $n$

$|F_n(x)-𝒩(x)|\le C\frac{r_n}{s_n^3}$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья