Просмотр кода страницы Неравенство Клаузиуса

'''Неравенство [[Клаузиус, Рудольф Юлиус Эммануэль|Клаузиуса]]''' (1854):
Количество теплоты, полученное системой при любом круговом процессе, делённое на абсолютную температуру, при которой оно было получено ([[Приведенное количество теплоты|''приведённое'' количество теплоты]]), неположительно.

: <math> \circ \sum\limits_{i = 1}^N {{{Q_i } \over {T_i }}}  \le 0.</math>

Здесь знак <math>\circ</math> обозначает круговой процесс. Подведённое количество теплоты, '''квазистатически''' полученное системой, не зависит от пути перехода (определяется лишь начальным и конечным состояниями системы) — для [[Квазистатический процесс|'''квазистатических''' процессов]] неравенство Клаузиуса обращается в ''равенство''<ref>{{Книга:Сивухин Д.В.: Термодинамика и молекулярная физика|1975}}</ref>.

: <math> \circ \sum\limits_{i = 1}^N  \left( {{{Q_i } \over {T_i }}} \right)_{QuazistaticProcess} = 0.</math>

== Вывод ==

=== Частный случай: два тепловых резервуара ===
Пусть система <math>I</math> сообщается с тепловыми резервуарами <math>R_1</math> и <math>R_2</math> температур <math>T_1</math> и <math>T_2</math> соответственно. Безразлично, какой из них является нагревателем, а какой — холодильником (направление передачи тепла определяется знаком — положительным, если оно получено системой, и иначе отрицательным). Согласно второй [[Теоремы Карно (термодинамика)|теореме Карно]] [[КПД]] [[Цикл Карно|цикла Карно]] — максимальный; для системы <math>I</math> выполняется <math>1 + {{Q_2 } \over {Q_1 }} \le 1 - {{T_2 } \over {T_1 }}</math>. Отсюда следует частный случай<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика}}</ref> неравенства Клаузиуса:

: <math>{{Q_1 } \over {T_1 }} + {{Q_2 } \over {T_2 }} \le 0.</math><ref>{{Cite web|url=https://instagram.com/edikdlin|title=Лекции по общей физике. Термодинамика.|author=Длин Э. Ф.|website=www.instagram.com|access-date=2023-06-12}}</ref>

(При обратимом процессе, в частности при цикле Карно, выполняется равенство.)

=== Общий случай: много тепловых резервуаров ===
[[Файл:ClausiusInequityProof.png|right|thumb]]
Для получения неравенства Клаузиуса в общем виде можно рассмотреть систему A, работающую с n резервуарами температур <math>T_i</math> и получающую от них тепло <math>Q_i</math>. Система при этом совершает произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый. Вводится дополнительный Резервуар температуры <math>T_0</math>. Между ним и остальными резервуарами запускаются машины Карно — по одной на каждый.

По вышедоказанному равенству для двухрезервуарной обратимой системы выполняется

: <math>{{Q_{0i} } \over {T_0 }} + {{Q'_i } \over {T_i }} = 0 \Rightarrow Q_{0}  = \sum\limits_{i = 1}^n {Q_{0i} }  =  - T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q'_i } \over {T_i }}}. </math>

Циклы Карно проводятся таким образом, чтобы передавать резервуарам столько тепла, сколько они передали системе A

: <math>Q'_i  =  - Q_i.</math>

Тогда

: <math>Q_0  = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}}. </math>

Это тепло отдаст резервуар температуры <math>T_0 </math>, в то время как состояние остальных резервуаров вернётся к исходному. Следовательно, рассмотренный процесс эквивалентен процессу передачи тепла <math>Q_0  = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} </math> резервуаром температуры <math>T_0 </math> системе A и всем машинам Карно, причём глобально система теплоизолирована. Следовательно, по [[Первое начало термодинамики|первому началу термодинамики]], системой A и n машинами Карно совершена [[Термодинамическая работа|работа]] <math>Q_0  = T_0 \sum\limits_{i = 1}^n {{{Q_i } \over {T_i }}} </math>. В соответствии с [[Второе начало термодинамики#Формулировки|формулировкой Томсона второго начала термодинамики]] эта работа не может быть положительной. Отсюда следует неравенство Клаузиуса в общем виде:

: <math>\sum\limits_i^{} {{{Q_i } \over {T_i }}}  \le 0.</math>

== Следствия ==
Неравенство Клаузиуса позволяет ввести понятие ''[[Термодинамическая энтропия|энтропии]]''<ref>
{{книга
 |автор        = Кириченко Н. А.
 |часть        = 1.3.8. Неравенство Клаузиуса
 |заглавие     = Термодинамика, статистическая и молекулярная физика
 |издание      = 3-е изд
 |место        = М.
 |издательство = Физматкнига
 |год          = 2005
 |страницы     = 28—29
 |страниц      = 176
 |isbn         = 5-89155-130-6
}}
</ref>.

'''Энтропия''' системы — функция её состояния, определённая с точностью до аддитивной константы. Разность энтропии в двух равновесных состояниях 1 и 2 по определению равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути.

: <math>{S_{\rm{2}}  - S_{\rm{1}}  = \int\limits_{{\rm{1}} \to {\rm{2}}} {{{\delta Q} \over T}}}.</math>

Из неравенства Клаузиуса и определения энтропии непосредственно следует эквивалентный второму началу термодинамики

'''[[Закон неубывания энтропии]]'''. Энтропия адиабатически изолированной системы либо возрастает, либо остаётся постоянной.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{DEFAULTSORT:Клаузиуса неравенство}}
[[Категория:Термодинамика]]
[[Категория:Статистическая физика]]
[[Категория:Физические теоремы]]
[[Категория:Неравенства|Клаузиус]]
[[Категория:Именные законы и правила]]