Неравенство Клаузиуса

Неравенство Клаузиуса (1854): Количество теплоты, полученное системой при любом круговом процессе, делённое на абсолютную температуру, при которой оно было получено (приведённое количество теплоты), неположительно.

$\circ \sum _{i=1}^N\frac{Q_i}{T_i}\le 0.$

Здесь знак $\circ$ обозначает круговой процесс. Подведённое количество теплоты, квазистатически полученное системой, не зависит от пути перехода (определяется лишь начальным и конечным состояниями системы) — для квазистатических процессов неравенство Клаузиуса обращается в равенство.

$\circ \sum _{i=1}^N{\left(\frac{Q_i}{T_i}\right)}_{QuazistaticProcess}=0.$

Вывод

Частный случай: два тепловых резервуара

Пусть система $I$ сообщается с тепловыми резервуарами $R_1$ и $R_2$ температур $T_1$ и $T_2$ соответственно. Безразлично, какой из них является нагревателем, а какой — холодильником (направление передачи тепла определяется знаком — положительным, если оно получено системой, и иначе отрицательным). Согласно второй теореме Карно КПД цикла Карно — максимальный; для системы $I$ выполняется $1+\frac{Q_2}{Q_1}\le 1-\frac{T_2}{T_1}$. Отсюда следует частный случай неравенства Клаузиуса:

$\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2}\le 0.$

(При обратимом процессе, в частности при цикле Карно, выполняется равенство.)

Общий случай: много тепловых резервуаров

Файл:ClausiusInequityProof.png

Для получения неравенства Клаузиуса в общем виде можно рассмотреть систему A, работающую с n резервуарами температур $T_i$ и получающую от них тепло $Q_i$. Система при этом совершает произвольный круговой процесс — обратимый или необратимый. Вводится дополнительный Резервуар температуры $T_0$. Между ним и остальными резервуарами запускаются машины Карно — по одной на каждый.

По вышедоказанному равенству для двухрезервуарной обратимой системы выполняется

$\frac{Q_{0i}}{T_0}+\frac{Q{\text{'}}_i}{T_i}=0\Rightarrow Q_0=\sum _{i=1}^n{Q}_{0i}=-T_0\sum _{i=1}^n\frac{Q{\text{'}}_i}{T_i}.$

Циклы Карно проводятся таким образом, чтобы передавать резервуарам столько тепла, сколько они передали системе A

$Q{\text{'}}_i=-Q_i.$

Тогда

$Q_0=T_0\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}.$

Это тепло отдаст резервуар температуры $T_0$, в то время как состояние остальных резервуаров вернётся к исходному. Следовательно, рассмотренный процесс эквивалентен процессу передачи тепла $Q_0=T_0\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}$ резервуаром температуры $T_0$ системе A и всем машинам Карно, причём глобально система теплоизолирована. Следовательно, по первому началу термодинамики, системой A и n машинами Карно совершена работа $Q_0=T_0\sum _{i=1}^n\frac{Q_i}{T_i}$. В соответствии с формулировкой Томсона второго начала термодинамики эта работа не может быть положительной. Отсюда следует неравенство Клаузиуса в общем виде:

$\sum _i^{}\frac{Q_i}{T_i}\le 0.$

Следствия

Неравенство Клаузиуса позволяет ввести понятие энтропии.

Энтропия системы — функция её состояния, определённая с точностью до аддитивной константы. Разность энтропии в двух равновесных состояниях 1 и 2 по определению равна приведённому количеству теплоты, которое надо сообщить системе, чтобы перевести её из состояния 1 в состояние 2 по любому квазистатическому пути.

$S_{\mathrm{2}}-S_{\mathrm{1}}=\underset{\mathrm{1}\to \mathrm{2}}{\int }\frac{\delta Q}{T}.$

Из неравенства Клаузиуса и определения энтропии непосредственно следует эквивалентный второму началу термодинамики

Закон неубывания энтропии. Энтропия адиабатически изолированной системы либо возрастает, либо остаётся постоянной.