Просмотр кода страницы Неравенство Чебышёва

{{Значения2|В [[Википедия|Википедии]] существует статья о другом неравенстве, носящем имя Чебышёва — см. [[Неравенство Чебышёва для сумм]].}}
[[Файл:Неравенство Чебышёва, домноженное на c. Демонстрирующая анимация.gif|мини|Неравенство в стандартной формулировке{{Ниже|Стандартная формулировка}}, домноженное на <math>c.</math> Демонстрирующая анимация]]
'''Нера́венство Чебышёва''' (или '''неравенство Бьенеме — Чебышёва''') — неравенство в [[теория меры|теории меры]] и [[теория вероятностей|теории вероятностей]].
Оно было первый раз получено [[Бьенеме, Ирене-Жюль|Бьенеме]] в 1853 году, и позже также [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёвым]] (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

== В теории меры ==
Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь [[интеграл Лебега|интеграла Лебега]] и [[Мера Лебега|меры]]. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — [[неравенство Маркова]]. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения [[пространство Lp|пространства <math>L_p</math>]] в [[слабое пространство Lp|слабое пространство <math>L_p</math>]].

=== {{якорь|Стандартная формулировка}}Стандартная формулировка ===
Пусть <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> — [[Мера множества#Связанные определения|пространство с мерой]]. Если функция <math>f(x)</math> [[Интеграл Лебега|интегрируема]] и неотрицательна на множестве <math>A</math>, то для любой положительной константы <math>c</math> мера множества всех <math>x</math> из <math>A</math>, для которых значение <math>f(x)</math> не меньше <math>c</math>, сама не больше интеграла от <math>f(x)</math> по <math>A</math>, делённого на <math>c</math>:

: <math>\mu\left\{ x \in A: f(x)\geqslant c \right\} \leqslant  \frac{1}{c}\int\limits_{A} f(x) \, \mu(dx).</math>

=== {{якорь|Обобщённая формулировка}}Обобщённая формулировка ===
Стандартной формулировке можно сделать следующее обобщение. Пусть <math>g(x)</math> также интегрируема и неотрицательна на множестве <math>A</math>, но она к тому же не убывает (не обязательно всюду, достаточно лишь неубывания на всей [[Область значений функции|области значения]] <math>f(x)</math> и в точке <math>c</math>). Тогда мера множества всех <math>x</math> из <math>A</math>, для которых значение <math>f(x)</math> не меньше <math>c</math>, сама не больше интеграла от [[Композиция функций|композиции]] <math>g \big( f(x) \big)</math> по <math>A</math>, делённому на <math>g( c )</math>:

: <math>\mu\left\{ x \in A: f(x)\geqslant c \right\} \leqslant  \frac{1}{g(c)}\int\limits_{A} g \big( f(x) \big) \, \mu(dx).</math>

Для перехода к стандартной формулировке достаточно взять <math>g(x)=x.</math>

=== {{якорь|Формулировка в терминах пространства Lp}}Формулировка в терминах пространства Lₚ ===
Пусть <math>\phi(x)\in L_p</math>. Тогда

: <math>\mu\Bigl(\bigl\{x\in A\,\big|\, |\phi(x)| > t\bigr\}\Bigr)\leqslant \frac{\|\phi\|_p^p}{t^p}.</math>

== В теории вероятностей ==
[[Файл:Txebixev 01.png|мини|300px|Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений [[Случайная величина|случайной величины]] от своего [[Математическое ожидание|математического ожидания]]]]
Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что [[случайная величина]] в основном принимает значения, близкие к своему [[математическое ожидание|среднему]]. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

=== Формулировка ===
Пусть случайная величина <math>X\colon\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> определена на [[вероятностное пространство|вероятностном пространстве]] <math>(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})</math>, а её [[математическое ожидание]] <math>\mu</math> и [[дисперсия случайной величины|дисперсия]] <math>\sigma^2</math> конечны. Тогда
: <math>\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant a\right) \leqslant \frac{\sigma^2}{a^2}</math>, где <math>a>0</math>.
Если <math>a = k \sigma</math>, где <math>\sigma</math> — [[Среднеквадратическое отклонение|стандартное отклонение]] и <math>k > 0</math>, то получаем
: <math>\mathbb{P}\left(|X-\mu|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}</math>.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на <math>2</math> стандартных отклонения, с вероятностью меньше <math>25\%</math>. Отклоняется от среднего на <math>3</math> стандартных отклонения с вероятностью меньше <math>11.12\%</math>. Иными словами, случайная величина укладывается в <math>2</math> стандартных отклонения с вероятностью <math>75\%</math> и в <math>3</math> стандартных отклонения с вероятностью <math>88.88\%</math>

Для важнейшего случая {{нп3|Унимодальность|одномодальных|en|Unimodality}} распределений [[неравенство Высочанского — Петунина]] существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь <math display="inline">\frac{4}{9}</math>. Таким образом, граница в <math>3</math> стандартных отклонения включает <math>95.06\%</math> значений случайной величины. В отличие от [[Нормальное распределение|нормального распределения]], где <math>3</math> стандартных отклонения включают <math>99.73\%</math> значений случайной величины.

== Доказательство ==
Докажем теорему в обобщённой формулировке{{См. выше|Обобщённая формулировка}}. Обозначим за <math>A_c</math> искомое множество <math>\{ x \in A: f(x) \geqslant c \}.</math> Тогда интеграл от композиции по <math>A</math> можно разбить на сумму двух интегралов: по <math>A_c</math> и по <math>A \setminus A_c</math>, оба из которых неотрицательны, так что интеграл от композиции по <math>A</math> не меньше, чем интеграл по <math>A_c</math> — один из них. В то же время на всём множестве <math>A_c</math> функция <math>f(x)</math> не меньше <math>c</math> по построению, поэтому на нём значение композиции <math>g \big( f(x) \big)</math> не меньше <math>g( c )</math> в силу свойств неубывания, а потому и интеграл от композиции по <math>A_c</math> больше или равен интегралу от <math>g( c )</math> по <math>A_c</math>. Последний равен произведению меры <math>A_c</math> на <math>g( c )</math>, ведь <math>g( c )</math> константа. Поделив на <math>g( c )</math>, получим исходное соотношение. Формализуя вышесказанное получаем доказываемое неравенство:

: <math>\frac{1}{g(c)}\int\limits_{A} g \big( f(x) \big) \, \mu(dx) = \frac{1}{g(c)}\left( \int\limits_{A_c} g \big( f(x) \big) \, \mu(dx) + \int\limits_{A\setminus A_c} g \big( f(x) \big) \, \mu(dx) \right) \geqslant \frac{1}{g(c)} \int\limits_{A_c} g \big( f(x) \big) \, \mu(dx) \geqslant \frac{1}{g(c)} \int\limits_{A_c} g(c) \, \mu(dx) = \frac{1}{g(c)} \cdot g(c)\mu A_c = \mu A_c.</math>

== См. также ==
* [[Оценка Чернова]]

== Литература ==
* {{книга
|автор        = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров, А. Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин, С. В.]]
|заглавие     = Элементы теории функций и функционального анализа
|издание      = изд. четвёртое, переработанное
|место        = М.
|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
|год          = 1976
|страницы      = 300—301
}}
* {{книга
|автор        = Коллектив авторов
|заглавие     = Московский математический сборник
|место        = М.
|год          = 1867
|том          = 2
|номер        = 1 
}}

== Ссылки ==
* [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=6922&option_lang=rus П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9]

{{^}}{{ВП-порталы|Математика}}

[[Категория:Теория меры]]
[[Категория:Вероятностные неравенства|Чёбышева]]
[[Категория:Теоремы функционального анализа|Чёбышева]]