Просмотр кода страницы Неустойчивость Рэлея — Тейлора

[[Файл:HD-Rayleigh-Taylor.gif|thumb|300px|Развитие неустойчивости Рэлея — Тейлора.]]
'''Неустойчивость Рэлея — Тейлора''' (названа в честь [[Стретт, Джон Уильям, 3-й барон Рэлей|лорда Рэлея]] и [[Тейлор, Джефри Инграм|Дж. И. Тейлора]]) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в [[Гравитационное поле|гравитационном поле]] (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).

Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются неустойчивости границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей [[Ударная волна|ударной волны]] ([[неустойчивость Рихтмайера — Мешкова]]) и неустойчивость [[Плазма|плазмы]], находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе [[Магнитное поле|магнитным полем]] ([[неустойчивость Крускала — Шварцшильда]])

Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом [[Механическое равновесие|равновесии]] на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой неустойчивости, является [[число Атвуда]].

== Аналитическое описание ==
Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной [[теория гидродинамической устойчивости|теории устойчивости]].

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести <math>\vec{g}</math> друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации — синий цвет), плотности жидкостей <math>\rho_1, \rho_2</math>. Верхняя и нижняя границы — твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью [[идеальная жидкость|невязкой]] [[несжимаемая жидкость|несжимаемой]] жидкости, тогда система описывается [[уравнение Эйлера|уравнением Эйлера]]:

: <math>
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \nabla P + \vec{g},
</math>

: <math>
\operatorname{div} \vec{v} = 0.
</math>

В дальнейшем компоненты скорости определяются как <math>\vec{v} = \left\{ u, v, w \right\}</math>. Вполне очевидно, что равновесное решение (<math>\vec{v} = 0</math>) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

: <math>
\frac{\partial P}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = - \rho g
</math>

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

: <math>
P_0 = - \rho g z.
</math>

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость <math>\vec{v}</math> настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым <math>\left( \vec{v} \cdot \nabla \right) \vec{v}</math> в уравнении Эйлера, а давление имеет вид <math>P = P_0 + P'</math>, где <math>P'  \ll P_0</math>. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

: <math>
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = - \frac{1}{\rho} \nabla P,
</math>

: <math>
\operatorname{div} \vec{v} = 0.
</math>

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, так как жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

: <math>
\quad \frac{\partial \zeta}{\partial t} = w,
</math>

и динамическое условие

: <math>
\left(P_1 - P_2\right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = \sigma \Delta \zeta.
</math>

Условие непротекания верхней и нижней границ:

: <math>
z=\pm h: \quad w = 0,
</math>

где <math>\zeta</math> — величина отклонения границы от невозмущённой, <math>\sigma</math> — коэффициент [[поверхностное натяжение|поверхностного натяжения]]. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:
: <math>
\vec{v}, P, \zeta \sim e^{\lambda t} e^{i \left( k_x x + k_y y \right)},
</math>

где <math>\lambda</math> — скорость роста (инкремент) возмущения, <math>k_x, k_y</math> — компоненты [[волновой вектор|волнового вектора]] возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается <math>w</math>:

: <math>
\lambda w = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z},
</math>

а условие несжимаемости <math>\operatorname{div}\vec{v} = 0</math> даёт [[уравнение Лапласа]] для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся [[линейное дифференциальное уравнение|линейное уравнение]]:

: <math>
\frac{\partial^2 P}{\partial z^2} - k^2 P = 0,
</math>

с граничными условиями:

: <math>
z=0: \quad \left( P_1 - P_2 \right) - \left( \rho_1 - \rho_2 \right) g \zeta = -\sigma k^2 \zeta,
</math>

: <math>
z=0: \quad \frac{1}{\rho_1} \frac{\partial P_1}{\partial z} - \frac{1}{\rho_2} \frac{\partial P_2}{\partial z} = 0,
</math>

: <math>
z=\pm h: \quad \frac{\partial P}{\partial z}=0.
</math>

Решение уравнения Лапласа для давления:

: <math>
P_1 = C_1 \cosh k \left( h - z \right),
</math>
: <math>
P_2 = C_2 \cosh k \left( h + z \right).
</math>

Константы <math>C_1, C_2</math> определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и [[модуль вектора|модулем]] волнового вектора

: <math>
\lambda^2 = \frac{\left( \rho_1 - \rho_2 \right)g - \sigma k^2 }{\rho_1 + \rho_2} k \tanh kh,
</math>

откуда непосредственно следует выражение для критического [[волновое число|волнового числа]] возмущений (при <math>\lambda = 0</math>):

: <math>k_c^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{\sigma}</math>.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (<math> kh \gg 1 </math>) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

: <math>k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{3 \sigma}</math>.

В тонких слоях (<math> kh \ll 1 </math>):

: <math>k_m^2 = \left( \rho_1 - \rho_2 \right) \frac{g}{2 \sigma}</math>.

== В природе ==
* Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются [[Вымеобразное облако|вымеобразные облака]], а также [[ядерный гриб]] и [[F-рассеяние|экваториальные ионосферные пузыри]].

== См. также ==
* [[Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца]]
* [[Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова]]

== Литература ==
* Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. — с. 143—146.
* Векштейн Г. Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — с. 109—111.

== Ссылки ==
* http://www.astronet.ru/db/msg/1188634 {{Wayback|url=http://www.astronet.ru/db/msg/1188634 |date=20101125185537 }}

[[Категория:Гидродинамика]]