Неустойчивость Рэлея — Тейлора

Развитие неустойчивости Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость Рэлея — Тейлора (названа в честь лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — самопроизвольное нарастание возмущений давления, плотности и скорости в газообразных и жидких средах с неоднородной плотностью, находящихся в гравитационном поле (Рэлей, 1900 г.) либо движущихся с ускорением (Тейлор, 1950 г.).

Частными случаями неустойчивости Рэлея — Тейлора являются неустойчивости границ сред с разной плотностью при ускорении под воздействием от проходящей ударной волны (неустойчивость Рихтмайера — Мешкова) и неустойчивость плазмы, находящейся в поле тяготения над параллельным по отношению к её границе магнитным полем (неустойчивость Крускала — Шварцшильда)

Простейший случай неустойчивости Рэлея — Тейлора — неустойчивость поверхности раздела жидкостей либо газов с различными плотностями в поле тяготения, когда слой более плотной среды лежит в неустойчивом равновесии на слое менее плотной. Если в начальном состоянии плоскость раздела перпендикулярна вектору силы тяжести, то любое возмущение поверхности раздела будет расти с течением времени, так как участки более плотной среды, оказавшиеся выше плоскости раздела, начинают «тонуть» в менее плотной среде, а участки менее плотной среды, оказавшиеся ниже плоскости раздела, начинают «всплывать» в более плотной среде. Такое взаимное проникновение ведет к уменьшению потенциальной энергии системы, которая достигает минимума, когда слои полностью меняются местами, то есть система достигает устойчивого равновесия.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой неустойчивости, является число Атвуда.

Аналитическое описание

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести $\overrightarrow{g}$ друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации — синий цвет), плотности жидкостей ${\rho }_1,{\rho }_2$. Верхняя и нижняя границы — твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }P+\overrightarrow{g},$

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0.$

В дальнейшем компоненты скорости определяются как $\overrightarrow{v}=\{u,v,w\}$. Вполне очевидно, что равновесное решение ($\overrightarrow{v}=0$) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

$\frac{\partial P}{\partial x}=0,\frac{\partial P}{\partial y}=0,\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g$

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

$P_0=-\rho gz.$

Внесём в равновесное состояние малые возмущения. Пусть скорость $\overrightarrow{v}$ настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым $(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}$ в уравнении Эйлера, а давление имеет вид $P=P_0+P^{\prime }$, где $P^{\prime }\ll P_0$. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }P,$

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0.$

Граничные условия задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, так как жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

$\frac{\partial \zeta }{\partial t}=w,$

и динамическое условие

$(P_1-P_2)-({\rho }_1-{\rho }_2)g\zeta =\sigma \mathrm{\Delta }\zeta .$

Условие непротекания верхней и нижней границ:

$z=\pm h:w=0,$

где $\zeta$ — величина отклонения границы от невозмущённой, $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что возмущения имеют вид:

$\overrightarrow{v},P,\zeta \sim e^{\lambda t}{e}^{i(k_{x}x+k_{y}y)},$

где $\lambda$ — скорость роста (инкремент) возмущения, $k_x,k_y$ — компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения Эйлера выражается $w$:

$\lambda w=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial z},$

а условие несжимаемости $\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0$ даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:

$\frac{{\partial }^{2}P}{\partial z^2}-k^{2}P=0,$

с граничными условиями:

$z=0:(P_1-P_2)-({\rho }_1-{\rho }_2)g\zeta =-\sigma k^2\zeta ,$

$z=0:\frac{1}{{\rho }_1}\frac{\partial P_1}{\partial z}-\frac{1}{{\rho }_2}\frac{\partial P_2}{\partial z}=0,$

$z=\pm h:\frac{\partial P}{\partial z}=0.$

Решение уравнения Лапласа для давления:

$P_1=C_1\cosh k(h-z),$

$P_2=C_2\cosh k(h+z).$

Константы $C_1,C_2$ определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора

${\lambda }^2=\frac{({\rho }_1-{\rho }_2)g-\sigma k^2}{{\rho }_1+{\rho }_2}k\tanh kh,$

откуда непосредственно следует выражение для критического волнового числа возмущений (при $\lambda =0$):

$k_c^2=({\rho }_1-{\rho }_2)\frac{g}{\sigma }$.

Если длина волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв ($kh\gg 1$) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

$k_m^2=({\rho }_1-{\rho }_2)\frac{g}{3\sigma }$.

В тонких слоях ($kh\ll 1$):

$k_m^2=({\rho }_1-{\rho }_2)\frac{g}{2\sigma }$.

В природе

• Ярким известным проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака, а также ядерный гриб и экваториальные ионосферные пузыри.

См. также

• Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца
• Неустойчивость Рихтмайера — Мешкова

Литература

• Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механика двухфазных систем. // М.: Изд-во МЭИ, 2000. — с. 143—146.
• Векштейн Г. Е. Физика сплошных сред в задачах. // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — с. 109—111.

Ссылки

• http://www.astronet.ru/db/msg/1188634 Шаблон:Wayback