Просмотр кода страницы Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

{{Значения|Нормальная форма (значения)}}
В теории [[динамические системы|динамических систем]], '''нормальная форма [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] — [[Дюлак, Анри|Дюлака]]''' — [[нормальная форма (математика)|нормальная форма]] [[векторное поле|векторного поля]] или обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности своей [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особой точки]].

== Формулировка ==

=== Резонансы ===
По определению, '''резонансом''' для набора <math>(\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n)\in\Complex^n</math> называется равенство
{{формула|<math>\lambda_j=\langle\lambda,\;k\rangle,</math>|(*)}}
где <math>k\in\Z^n,\;k_1,\;\ldots,\;k_n\geqslant 0,\;k_1+\ldots+k_n\geqslant 2</math>.

'''Резонансным мономом''' векторного поля, линейная часть которого приведена к [[жорданова нормальная форма|жордановой нормальной форме]] с [[собственное значение|собственными значениями]] <math>\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n</math>, называется [[моном]]
{{формула|<math>z^k\partial/\partial z_j,</math>}}
где <math>z^k=z_1^{k_1}\ldots z_n^{k_n}</math> и для <math>\lambda</math> и <math>k</math> выполнено (*).

=== Теорема Пуанкаре — Дюлака ===
{{theorem}} [[Формальный степенной ряд|Формальное]] векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.{{/theorem}}

Указанный в теореме вид называется '''резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака'''.

== Связанные понятия ==

=== Области Пуанкаре и Зигеля ===
Говорят, что вектор <math>\lambda\in\Complex^n</math> принадлежит '''области Пуанкаре''', если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек <math>\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n\in\Complex\sim\R^2</math>. В противном случае говорят, что он принадлежит '''области Зигеля'''. Наконец, в случае, если ноль принадлежит [[выпуклая оболочка|выпуклой оболочке]] вместе с некоторой своей [[окрестность]]ю, говорят, что вектор <math>\lambda</math> принадлежит '''строгой области Зигеля'''.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле ''[[аналитическая функция|аналитически]]'' эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

=== Теорема Левелля ===
[[Теорема Левелля]], описывающая резонансную нормальную форму [[фуксова особая точка|фуксовой особой точки]]
{{формула|<math>\dot{z}=\frac{A(t)}{t}z</math>}}
может рассматриваться как линейный по <math>z</math> вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы
{{формула|<math>\left\{\begin{array}{l}\dot{z}=A(t)z, \\ \dot{t}=t.\end{array}\right.</math>}}

== Литература ==
* ''Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С.'' Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
* ''Ilyashenko Yu., Yakovenko S.'' Lectures on Analytic Differential Equations.

{{rq|wikify|refless|sources}}

[[Категория:Динамические системы]]