Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

Шаблон:Значения В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака — нормальная форма векторного поля или обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности своей особой точки.

Формулировка

Резонансы

По определению, резонансом для набора $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)\in {ℂ}^n$ называется равенство Шаблон:Формула где $k\in {\mathbb{Z}}^n,k_1,\dots ,k_n⩾0,k_1+\dots +k_n⩾2$.

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, называется моном Шаблон:Формула где $z^k=z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}$ и для $\lambda$ и $k$ выполнено (*).

Теорема Пуанкаре — Дюлака

Шаблон:Theorem Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.Шаблон:/theorem

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.

Связанные понятия

Области Пуанкаре и Зигеля

Говорят, что вектор $\lambda \in {ℂ}^n$ принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in ℂ\sim {ℝ}^2$. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор $\lambda$ принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

Теорема Левелля

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки Шаблон:Формула может рассматриваться как линейный по $z$ вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы Шаблон:Формула

Литература

• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
• Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.