Просмотр кода страницы Норма (теория полей)

{{Значения|Норма}}
'''Но́рма''' — отображение элементов конечного [[Расширение поля|расширения]] ''E'' [[поле (алгебра)|поля]] ''K'' в исходное поле ''K'', определяемое следующим образом:

Пусть ''E'' — конечное расширение поля ''K'' [[степень расширения|степени]] ''n'', <math>\alpha</math> — какой-нибудь элемент поля ''E''. Поскольку ''E'' является [[векторное пространство|векторным пространством]] над ''K'', данный элемент определяет [[линейное преобразование]] <math>x\mapsto \alpha x</math>. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить [[Матрица (математика)|матрицу]]. [[Определитель]] этой матрицы называется нормой элемента ''α''. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать [[Подобные матрицы|подобная матрица]] с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается <math>N_K^E(\alpha)</math> или просто <math>N(\alpha)</math>, если понятно, о каком расширении идет речь.

== Свойства ==
* <math>N(\alpha)=0</math> тогда и только тогда, когда <math>\alpha =0</math>.
* <math>N_K^E(\alpha)=\alpha^{[E:K]}</math> для любого <math>\alpha \in K</math>
* <math>N(\alpha\beta)=N(\alpha)\cdot N(\beta)</math>
* Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений <math>K \subset E \subset F  </math> имеем <math>N_K^E(N_E^F(\alpha))=N_K^F(\alpha)</math>
* Если ''E'' = ''K''(''α'') — [[простое расширение|простое]] [[алгебраическое расширение]] и {{math|''f'' (''x'') {{=}} ''x''<sup>''n''</sup> + ''a''<sub>''n''-1</sub>''x''<sup>''n''-1</sup> + … + ''a''<sub>1</sub>''x''<sup></sup> + ''a''<sub>0</sub>}} — [[минимальный многочлен (теория полей)|минимальный многочлен]] α, то <math>N_K^E(\alpha)=(-1)^n a_0</math>

== Выражение нормы через автоморфизмы ''E'' над ''K'' ==
Пусть ''σ<sub>1</sub>, σ<sub>2</sub> … σ<sub>m</sub>'' — все автоморфизмы ''E'', сохраняющие неподвижными элементы поля ''K''. Если ''E'' — [[расширение Галуа]], то ''m'' равно степени [''E'':''К''] = ''n''. Тогда для нормы существует следующее выражение:

<math>N_K^E(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha)</math>

Если ''E'' несепарабельно, то ''m≠n'', однако ''n'' кратно ''m'', причём частное является некоторой степенью [[характеристика поля|характеристики]] ''p''.

Тогда <math>N_K^E(\alpha)=(\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha))^{n/m}.</math>

== Пример ==
Пусть '''R''' — поле [[Вещественное число|вещественных чисел]], '''C''' — поле [[Комплексное число|комплексных чисел]], рассматриваемое как расширение '''R'''. Тогда в базисе <math>(1,i)</math> умножению на <math>a+bi</math> соответствует матрица

: <math>\begin{pmatrix}a & -b \\b & a \end{pmatrix} </math>

Определитель этой матрицы равен <math>a^2+b^2</math>, то есть квадрату обычного [[модуль комплексного числа|модуля комплексного числа]]. Заметим, что обычно эту норму определяют как <math>|z|^2=z\bar z,</math> и это хорошо согласуется с тем, что [[комплексное сопряжение]] является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.

== См. также ==
* [[Алгебраическое числовое поле#Норма и след|Норма в числовом поле]]
* [[След (теория полей)]]

== Литература ==
* {{книга |автор= Ван дер Варден Б. Л.|заглавие= Алгебра|ссылка= |место= М.|издательство= Наука|год= 1975}}
* {{книга |автор= Зарисский О., Самюэль П.|заглавие= Коммутативная алгебра|том= 1|ссылка= |место= М.|издательство= ИЛ|год= 1963}}
* {{книга |автор= Ленг С.|заглавие= Алгебра|ссылка= |место= М.|издательство= Мир|год= 1967}}

[[Категория:Теория полей]]