Просмотр кода страницы Области комплексного пространства

[[Унитарное пространство|Комплексное пространство]] <math>\C^n</math> — [[Пространство (математика)|пространство]], точки которого — следующие [[Упорядоченный набор|упорядоченные наборы]] <math>n</math> [[Комплексное число|комплексных чисел]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=1. Пространство <math>\C^n</math>, с. 7}}:
: <math>z = (z_1,\, z_2, \dots, z_n) = \{z_k\}.</math>

При <math>n = 1</math> получается [[комплексная плоскость]] <math>\C</math>, комплексное пространство <math>\C^n</math> размерности <math>n</math> — это [[декартово произведение]] <math>n</math> комплексных плоскостей{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=1. Пространство <math>\C^n</math>, с. 7}}:
: <math>\C^n = \underbrace {\C \times \C \times \cdots \times \C}_{n \text{ раз}}</math>.

[[Область (математика)|Область]] ({{lang-en|domain; region}}) <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math> — [[Открытое множество|открытое]] [[связное множество]] <math>D \subset \C^n</math>, то есть любая [[Точка (геометрия)|точка]] [[Множество|множества]] принадлежит ему вместе с её [[окрестность]]ю ('''''открытость'''''), а любые две точки множества соединены [[Непрерывное отображение|непрерывной]] [[Кривая#Отображение отрезка|кривой]] ('''''связность'''''){{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 13}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=4. Области, с. 22}}.

'''''Граничная точка области''''' <math>D</math> — точки, не принадлежащие <math>D</math>, но одновременно '''''предельные''''' для точек <math>D</math>, то есть в произвольной окрестности предельной точки всегда имеются точки из <math>D</math>, а также хотя бы одна точка, не лежащая в <math>D</math>. '''''Граница области''''' <math>D</math> — множество <math>\partial D</math> всех граничных точек <math>D</math>. '''''Замыкание области''''' <math>\bar{D}</math> совпадает с объединением <math>D</math> и <math>\partial D</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=4. Области, с. 22}}.

Рассмотрим некоторые области комплексного пространства{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 13}}.

== Конечные области ==
=== Шар ===
{{Основная статья|Шар}}
[[Файл:Sphere 3d.png|thumb|Шар]]

[[Шар]] ({{lang-en|ball; open ball{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.1 Prelilllinaries, p. 2}}; solid sphere}}) [[Шар|радиуса]] <math>r</math> с [[Шар|центром]] в точке <math>z_0</math> — это множество точек
: <math>B(a,\,r) = \{z \in \C^n\colon |z - z_0| < r\}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}.

Это обычный евклидов шар. [[Граница (топология)|Граница]] <math>\partial B</math> шара есть <math>(2n - 1)</math>-мерная [[сфера]]
: <math>S^{2n - 1} = \{z \in \C^n\colon |z - z_0| = r\}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}.

Шар есть частный случай полной [[Область Рейнхарта|области Рейнхарта]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}.
{{clear}}

<gallery mode="packed" heights=180px caption="Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса">
Изображение:Reinhardt domain of ball in CxC.svg|Диаграмма Рейнхарта шара в <math>\C^2</math>
Изображение:Reinhardt domain of ball in CxCxC.svg|Диаграмма Рейнхарта шара в <math>\C^3</math>
Изображение:Hartogs domain of ball in CxC.svg|Диаграмма Хартогса шара в <math>\C^2</math>
</gallery>

=== Поликруг ===
{{Основная статья|Поликруг}}
[[Файл:Duocylinder ridge animated.gif|right|thumb|[[Стереографическая проекция|Стереографичес&shy;кая проекция]] двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости <math>(\operatorname{Re}z_1,\, \operatorname{Im}z_2)</math>]]

[[Поликруг]] ({{lang-en|polydisc}}) — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], [[топологическое произведение]] нескольких плоских [[круг]]ов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — [[шар]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46}}.

{{не путать|Область Хартогса|полукруговой областью}}

Поликруг ({{lang-en|open polydisc{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.1 Prelilllinaries, p. 2}}; equiradial polydisc}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=Examples 6.3.3, p. 112}}) радиуса <math>r</math> с центром в точке <math>z_0</math> — множество точек <math>z</math> комплексного пространства <math>C^n</math> произвольной размерности <math>n</math>
: <math>\Delta^n(z_0,\,r) = \{z \in \C^n\colon \|z - z_0\| < r\} =</math>
:: <math>= \{z = (r_1,\, r_2,\, \dots,\, r_n) \in \C^n\colon</math>
:: <math>\underset{k}{\max}|z_k - z_{0k}| < r,\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n\}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}{{sfn|''Белошапка В. К.'' Курс лекций по комплексному анализу, 2005|loc=2.4.4. Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца, с. 18}}.

Синонимы: '''полидиск'''{{sfn|''Белошапка В. К.'' Курс лекций по комплексному анализу, 2005|loc=2.1.1. Определения, простейшие свойства, с. 9}}; '''круговой полицилиндр'''{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46}}; '''шар в поликруговой метрике'''; '''шар в <math>\rho</math>-метрике'''{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}; '''''поликруг с равными радиусами''''' ({{lang-en|equiradial polydisc}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=Examples 6.3.3, p. 112}}; '''''полицилиндр с равными радиусами'''''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках. § 2. Аналитическое условие для возможности расширения области, с. 120}}; '''произведение кругов'''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках. § 2. Аналитическое условие для возможности расширения области, с. 120}}.

Так определённый поликруг — это шар с центром <math>z_0</math> в поликруговой <math>\rho</math>-метрике. Геометрически поликруг есть [[топологическое произведение]] <math>n</math> плоских кругов
: <math>\Delta^n(z_0,\,r) = \Delta(z_{01},\,r) \times \Delta(z_{02},\,r) \times \cdots \times \Delta(z_{0n},\,r),</math>
: <math>\Delta(z_{0k},\,r) = \{z_k \in \C\colon |z_k - z_{0k}| < r\},\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n,</math>
радиуса <math>r</math> с центрами в точках <math>z_{0k}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}.

В общем случае '''поликруг''' '''векторного радиуса''', или '''мультирадиуса''' ({{lang-en|polydisc; polycylinder)}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6}}), <math>\mathbf r = (r_1,\, r_2,\, \dots,\, r_n)</math> с центром в точке <math>z_0</math> — это следующее множество точек{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 14}}{{sfn|''Белошапка В. К.'' Курс лекций по комплексному анализу, 2005|loc=2.1.1. Определения, простейшие свойства, с. 9}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6}}:
: <math>\Delta^n(z_0,\,\mathbf r) = \{z = (z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n) \in \C^n\colon |z_k - z_{0k}| < r_k,\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n\}</math>.

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение <math>n</math> плоских кругов с разными радиусами <math>r_k</math> и одним центром <math>z_0</math>{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}:
: <math>\Delta^n(z_0,\,\mathbf r) = \Delta(z_{01},\,r_1) \times \Delta(z_{02},\,r_2) \times \cdots \times \Delta(z_{0n},\,r_n),</math>
: <math>\Delta(z_{0k},\,r_k) = \{z_k \in \C\colon |z_k - z_{0k}| < r_k\},\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n,</math>

'''''Единичный поликруг''''' — поликруг с центром в начале координат, то есть <math>z_0 = 0</math>, и единичным радиусом, то есть <math>r = 1</math>{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}.

В общем случае '''''эллиптический полицилиндр''''' с центром в начале координат — это следующее множество точек{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках. § 5. Аналитические функции в эллиптических полицилиндрах, с. 132}}:
: <math>E^n(\mathbf r) = \{z = (z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n) \in \C^n\colon |z_k + \sqrt{r_k^2 - 1}| < r_k,\, r_k > 1,\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n\}.</math>

В общем случае '''''аналитически скошенный полицилиндр''''' — это множество точек, получающееся из полицилиндра после [[Аффинное преобразование|аффинного преобразования]]
: <math>z_k = b_k + \sum\limits_{p=1}^n a_{kp}z'_p,\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n</math>
комплексного пространства{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 6. Области Гартогса и субгармонические функции, с. 201—202}}.

Поликруг естественным образом обобщается на [[#Полиобласть|полиобласть]]{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}.

Поликруг есть частный случай полной [[Область Рейнхарта|области Рейнхарта]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}.

<gallery mode="packed" heights=180px caption="Диаграммы поликруга Рейнхарта и Хартогса">
Изображение:Reinhardt domain of polydisc in CxC.svg|Диаграмма Рейнхарта бикруга в <math>\C^2</math>
Изображение:Reinhardt domain of polydisc in CxCxC.svg|Диаграмма Рейнхарта трикруга в <math>\C^3</math>
Изображение:Hartogs domain of polydisc in CxC.svg|Диаграмма Хартогса бикруга в <math>\C^2</math>
</gallery>

=== Полиобласть ===
{{Основная статья|Полиобласть}}
{{не путать|Область Рейнхарта|кратно-круговой областью, <math>n</math>-круговой областью (multicircular domain)||Область Хартогса|полукруговой областью}}

Поликруг естественным образом обобщается на полиобласть{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}.

[[Полиобласть]] ({{lang-en|polydomain}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6}}) <math>D = D_1 \times D_2 \times \cdots \times D_n</math> — топологическое произведение <math>n</math> следующих в общем случае плоских многосвязных областей{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.2 Complex affine subspaces. Ball and polydisc, p. 6}}:
: <math>D_k \subset \C,\, k=1,\, 2,\, \dots,\, n.</math>

Синонимы: '''поликруговая область'''{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}; '''обобщённый полицилиндр'''{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава II. Основные факты… § 1. Функции комплексных переменных, с. 45—46}}; '''полицилиндрическая область'''{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава VII. Теория Гартогса. Субгармонические функции. § 3. Результаты Осгуда, с. 191}}.

=== Область Рейнхарта ===
{{Основная статья|Область Рейнхарта}}
[[Файл:Reinhardt non-complete domain in CxC.svg|thumb|200px|Диаграмма неполной области Рейнхарта в <math>\C^3</math>]]

[[Область Рейнхарта]] ({{lang-en|Reinhardt domain}}) — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], обобщение понятий [[шар]]а и [[поликруг]]а. Названа в честь немецкого математика {{iw|Рейнхарта, Карл|Карла Рейнхарта|en|Karl Reinhardt (mathematician)}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 114}}.

Синонимы: '''кратно-круговая область'''{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 114}}; '''<math>n</math>-круговая область''' ({{lang-en|multicircular domain}}){{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=2.3 Multiple power series and multicircular domains, p. 30}}.

{{не путать|Полиобласть|полиобластью (polydomain)||Область Хартогса|полукруговой областью}}

[[Логарифмически выпуклая область Рейнхарта]] обладает следующим важным свойством: любая такая область в комплексном пространстве <math>\C^n</math> есть внутренность множества точек [[Абсолютная сходимость|абсолютной сходимости]] (другими словами, собственно [[область сходимости]]) некоторого [[Степенной ряд от n переменных|степенного ряда]] по переменным
: <math>z_1 - a_1,\, z_2 - a_2,\, \dots,\, z_n - a_n,</math>
и обратно: область сходимости любого степенного ряда по
: <math>z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n</math>
есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром <math>a = 0</math>{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}.

Область Рейнхарта есть частный случай [[Круговая область|круговой области]]{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 18}}, а также [[Кратно-кругообразная область|кратно-кругообразной области]]{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 114}}.

Область Рейнхарта — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой <math>z^0 = (z_1^0,\, z_2^0,\, \dots,\, z_n^0) \in D</math> в области <math>D</math> лежат также и все точки следующего вида{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=2.3 Multiple power series and multicircular domains, p. 30}}:
: <math>\{z = (z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n) \in \C^n\colon\, |z_k - a_k| = |z_k^0 - a_k|,\, k = 1,\, 2,\, \dots,\, n\},</math>
или
: <math>z = \{a_k + (z_k^0 - a_k)e^{i\theta_k}\},\quad</math> <math>0 < \theta_k < 2\pi,</math>
или
: <math>z = a + (z^0 - a)e^{i\theta},\quad</math> <math>\theta = (\theta_1,\, \theta_2,\, \dots,\, \theta_n) \in \R.</math>

При <math>a = 0</math> получаем{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Хёрмандер, Ларс'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968|loc=2.4. Степенные ряды и области Рейихарта, с. 57}}{{sfn|''Мальгранж Б.'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969|loc=§ 2. Области Рейнхарта и круговые области, с. 12}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 114}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=2.3 Multiple power series and multicircular domains, p. 30}}:
: <math>z = z^0e^{i\theta},\quad</math> <math>\theta = (\theta_1,\, \theta_2,\, \dots,\, \theta_n) \in \R.</math>

Присутствующая в определении точка <math>a \in \C^n</math> называется '''''центром''''' области Рейнхарта{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}.

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмы{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}:
: <math>w_k = a_k + (z_k - a_k)e^{i\theta_k},\quad</math> <math>k = 1,\, 2,\, \dots,\, n.</math>

<gallery mode="packed" heights=130px caption="Диаграммы Рейнхарта шара и поликруга">
Изображение:Reinhardt domain of ball in CxC.svg|Диаграмма Рейнхарта шара для <math>n = 2</math>
Изображение:Reinhardt domain of ball in CxCxC.svg|Диаграмма Рейнхарта шара для <math>n = 3</math>
Изображение:Reinhardt domain of polydisc in CxC.svg|Диаграмма Рейнхарта бикруга для <math>n = 2</math>
Изображение:Reinhardt domain of polydisc in CxCxC.svg|Диаграмма Рейнхарта трикруга для <math>n = 3</math>
</gallery>

=== Круговая область ===
{{Основная статья|Круговая область}}
Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую область{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}.

[[Круговая область]] — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой <math>z^0 = (z_1^0,\, z_2^0,\, \dots,\, z_n^0) \in \C^n</math> в области <math>D</math> лежат и все точки вида
: <math>z = \{a + (z^0 - a)e^{i\theta}\},\quad</math> <math>0 < \theta < 2\pi,</math>
другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданные точки <math>a</math> и <math>z^0</math>, с центром <math>a</math> и следующим радиусом{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 18}}:
: <math>|z^0 - a| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k^0 - a_k|^2}</math>.

Присутствующая в определении точка <math>a \in \C^n</math> называется '''''центром''''' круговой области{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}.

Синоним: '''круговое точечное множество'''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

Круговая область есть частный случай [[Область Хартогса|области Хартогса]]{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

'''''Полная круговая область''''' — круговая область <math>D</math>, в которой с каждой точкой <math>z^0 = (z_1^0,\, z_2^0,\, \dots,\, z_n^0) \in D</math> лежит весь следующий [[круг]]{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 16}}:
: <math>\{z = a + (z^0 - a)\lambda\},\quad</math> <math>|\lambda| \leqslant 1.</math>

=== Область Хартогса ===
{{Основная статья|Область Хартогса}}
[[Файл:Hartogs non-complete domain in CxC.svg|thumb|250px|Диаграмма Хартогса неполной области в <math>\C^2</math>]]

[[Область Хартогса]] ({{lang-en|Hartogs domain}}) — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], обобщение понятия [[Область Рейнхарта|области Рейнхарта]]. Названа в честь немецкого математика {{iw|Хартогс, Фридрих|Фридриха Хартогса|en|Friedrich Hartogs}}{{sfn|''Чирка Е. М.'' Гартогса область, 1977}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 18}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=9.5 Exercises, p. 185}}.

Синоним: '''полукруговая область'''{{sfn|''Чирка Е. М.'' Гартогса область, 1977}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

{{не путать|Поликруговая область|поликруговой областью||Полиобласть|полиобластью (polydomain)||Область Рейнхарта|кратно-круговой областью, <math>n</math>-круговой областью (multicircular domain)}}

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего ряда{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}:
: <math>\sum_{k=0}^\infty a_k(z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_{n-1})z_n^k.</math>

Область Хартогса есть частный случай [[Кругообразная область|кругообразной области]]{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

'''Область Хартогса''' — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой <math>z^0 = (z_1^0,\, z_2^0,\, \dots,\, z_{n-1}^0,\, z_n^0) \equiv ('z^0,\, z_n^0) \in D</math> в области <math>D</math> лежат также и все точки следующей [[Окружность|окружности]]{{sfn|''Чирка Е. М.'' Гартогса область, 1977}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 18}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 63}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=9.5 Exercises, p. 185}}:
: <math>\{('z^0,\, a_n + (z_n^0 - a_n)e^{i\theta_n}),\quad 0 \leqslant \theta_n < 2\pi\}.</math>

=== Кругообразная область ===
{{Основная статья|Кругообразная область}}

Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную область{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

[[Область Хартогса#Кругообразная область|Орбита]], порождаемая точкой <math>z \in \C^n</math>, — точечное [[множество]] в комплексном пространстве <math>\C^n</math> вида
: <math>\{t^{\alpha_1}z_1,\, t^{\alpha_2}z_2,\, \dots,\, t^{\alpha_n}z_n\},\quad</math> <math>|t| = 1,</math>
где <math>z = (z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n) \in \C^n</math> — любая фиксированная точка; <math>t \in \C</math> — любой комплексный параметр; <math>\alpha_1,\, \alpha_2,\, \dots,\, \alpha_n</math> — целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точек{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

[[Кругообразная область]] — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, целиком состоящая из некоторых орбит{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

В частном случае при <math>\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 1</math> получается [[круговая область]], а при <math>\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_{n-1} = 0</math>, <math>\alpha_n = 1</math> — [[область Хартогса]]{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

В более общем случае кругообразная область называется '''''кругообразным точечным множеством'''''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями <math>\alpha_1,\, \alpha_2,\, \dots,\, \alpha_n</math> была впервые изучена французским математиком [[Картан, Анри|А. Картаном]]{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 7. Кругообразные области, с. 110}}.

=== Кратно-кругообразная область ===
{{Основная статья|Кратно-кругообразная область}}

[[Область Рейнхарта]] естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай [[Кругообразная область|кругообразной области]]{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 114}}.

Введём следующие <math>m</math> параметров <math>t_1,\, t_2,\, \dots,\, t_m</math> и организуем их в следующие <math>n</math> [[одночлен]]ов
: <math>\beta_j(t) = t_1^{\alpha_{j1}} t_2^{\alpha_{j2}} \dots t_m^{\alpha_{jm}},\quad j = 1,\, 2,\, \dots,\, n,</math>
где показатели степени <math>\alpha_{j1},\, \alpha_{j2},\, \dots,\, \alpha_{jm}</math> — неотрицательные целые числа{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 113}}.

Пусть определение орбиты следующее:
: <math>\{\beta_1(t)z_1,\, \beta_2(t)z_2,\, \dots,\, \beta_n(t)z_n\},\quad</math> <math>|t_1| = |t_2| = \cdots = |t_m| = 1.</math>

[[Кратно-кругообразная область]] — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, целиком состоящая из некоторых этих орбит{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение. § 8. Кратно-кругообразные области, с. 113}}.

== Неограниченные области ==
=== Полуплоскость ===
{{Основная статья|Полуплоскость}}

'''Полупло́скость''' ({{lang-en|half-plane}}{{sfn|''Courant R., Robbins H.'' What Is Mathematics?, 1996|loc=Chapter IV. Projective Geometry… Appendix…, p. 228–229}}) — понятие [[Геометрия|геометрии]], в случае [[Плоскость|плоскости]] [[множество]] всех [[Точка (геометрия)|точек]], которые находятся по одну сторону от некоторой [[Прямая|прямой]] плоскости{{sfn|''Полуплоскость'', 1975}}{{sfn|''Полуплоскость'', 1984}}{{sfn|''Полуплоскость'', 1988}}{{sfn|''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?, 2015|loc=Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 254—255}}. Эта прямая '''''определяет''''' полуплоскость{{sfn|''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?, 2015|loc=Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 254—255}}.

Полуплоскость есть частный случай [[Трубчатая область|трубчатой области]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}.

=== Полоса ===
{{Основная статья|Полоса (математика)}}

'''Полоса́''' ({{lang-en|band}}) — понятие [[Геометрия|геометрии]], в случае [[Плоскость|плоскости]] [[множество]] всех [[Точка (геометрия)|точек]], которые находятся между двумя [[Параллельные прямые|параллельными прямыми]] плоскости{{sfn|''Полоса'', 1975}}{{sfn|''Полоса'', 1984}}{{sfn|''Полоса'', 1988}}. Эти две прямые '''''ограничивают''''' полосу, и [[расстояние]] между ними называется '''''шириной полосы'''''{{sfn|''Клейн Ф.'' Высшая геометрия, 2004|loc=§ 34. Перспектограф и пантограф, с. 148—149}}{{sfn|''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?, 2015|loc=Глава VI. Функции и пределы. § 4. Точное определение непрерывности, с. 338}}.

Полоса есть [[выпуклая область]]{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 21. Построение оболочек голоморфности, 4. Функции, голоморфные в полутрубчатых областях, с. 218}}.

Синоним: '''''полоска'''''{{sfn|''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?, 2015|loc=Глава VI. Функции и пределы. § 4. Точное определение непрерывности, с. 338}}.

На [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]] <math>\C</math> с координатами <math>z = x + iy</math> [[конформное преобразование]] <math>w = e^z</math> отображает полосу <math>0 < y < \pi</math> на [[Верхняя полуплоскость|верхнюю полуплоскость]]{{sfn|''Полоса'', 1975}}{{sfn|''Полоса'', 1984}}{{sfn|''Полоса'', 1988}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=13. Показательная функция, с. 72}}, а полосу <math>0 < y < 2\pi</math> — на всю плоскость без '''''положительной [[Полуось (геометрия)|полуоси]]''''' <math>\{x > 0,\, y = 0\}</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=13. Показательная функция, с. 71—72}}.

Полоса есть частный случай [[Трубчатая область|трубчатой области]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}.

=== Трубчатая область ===
{{Основная статья|Трубчатая область}}
'''Тру́бчатая о́бласть''' ({{lang-en|tubular domain}}) — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], обобщение понятий [[Полоса (математика)|полосы]] и [[Полуплоскость|полуплоскости]]{{sfn|''Чирка Е. М.'' Трубчатая область, 1985}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 7. Голоморфные отображения, б. Группа автоморфизмов, с. 64}}.

Синонимы: '''''труба'''''{{sfn|''Чирка Е. М.'' Трубчатая область, 1985}}; '''''цилиндрическая область'''''{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}.

'''Трубчатая область''' — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой <math>z^0 = (z_1^0,\, z_2^0,\, \dots,\, z_n^0) \in D</math> в области <math>D</math> лежат также и все точки следующего вида{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}:
: <math>z = \{z_k^0 + iy_k\},\quad -\infty < y < \infty,\quad k = 1,\, 2,\, \dots,\, n.</math>

Произвольную трубчатую область <math>D</math> можно всегда представить в более простом виде — как следующее [[прямое произведение]]:
: <math>B \times \R^n(y)</math>,
где область <math>B \in \R^n(x) \subset \C^n</math>, <math>x = (x_1,\, x_2,\, \dots,\, x_n),</math> называется '''''основанием''''' области <math>D</math>, а вещественное пространство <math>\R^n(y)</math> состоит из точек <math>y = (y_1,\, y_2,\, \dots,\, y_n).</math> В итоге получается, что трубчатая область может быть полностью охарактеризована её основанием <math>B \in \R^n(x)</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}.

Пользуясь тем, что <math>z = x + iy</math>, где <math>x</math> и <math>y</math> можно представить как вещественные <math>n</math>-мерные [[Вектор (математика)|векторы]], произвольная трубчатая область может быть символически записана либо в следующем виде{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=2. Простейшие области, с. 19}}{{sfn|''Чирка Е. М.'' Трубчатая область, 1985}}:
: <math>T = B + i\R^n(y)</math>,
то есть
: <math>T = \{x + iy\colon x \in B, y \in \R^n\}</math>,
либо в следующем виде:
: <math>T = \R^n(x) + iB</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|3=
''[[Бохнер, Саломон|Бохнер С.]], {{iw|Мартин, Уильям Тед|Мартин У. Т.|en|W. T. Martin}}'' Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «[[Издательство иностранной литературы]]», 1951. 300 с.: ил. [''Salomon Bochner, William Ted Martin,'' Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
}}
* {{h|''Белошапка В. К.'' Курс лекций по комплексному анализу, 2005|3=
''Белошапка В. К.'' Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
}}
* {{h|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|3=
''[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]]'' Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика [[Боголюбов, Николай Николаевич|Н. Н. Боголюбова]]. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1964. 411 с.: ил.
}}
* {{h|''Клейн Ф.'' Высшая геометрия, 2004|3=
''[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]]'' Высшая геометрия: Пер. с нем. Н. К. Брушлинского. Изд. 2-е, стереотипное. М.: [[URSS|Едиториал УРСС]], 2004. 399 с., ил. ISBN 5-354-00603-1. [Felix Klein. Vorlesungen über höhere Geometrie.]
}}
* {{h|''Курант Р., Роббинс Г.'' Что такое математика?, 2015|3=
''[[Курант, Рихард|Курант Р.]], [[Роббинс, Герберт|Роббинс Г.]]'' [[Что такое математика?|Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов]]: Пер. с англ. под ред. [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогорова]]. Изд. 7-e, стереотипное. М.: [[МЦНМО]], 2015. 564 с., ил. ISBN 978-5-4439-0628-7. [Richard Courant, Herbert Robbins. What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. London·New York·Toronto: Oxford University Press.]
}}
* {{h|''Мальгранж Б.'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969|3=
''[[Мальгранж, Бернар|Мальгранж Б.]]'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. [[Линник, Юрий Владимирович (математик)|Ю. В. Линника]]. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1969. 119 с.: ил. [Malgrange B. Lectures on the theory of functions of several complex variables.]
}}
* {{h|''Полоса'', 1975|3=
''Полоса'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. С. 249.
}}
* {{h|''Полоса'', 1984|3=
''Полоса'' // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1984. 1216 стб. Стб. 437.
}}
* {{h|''Полоса'', 1988|3=
''Полоса'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 473.
}}
* {{h|''Полуплоскость'', 1975|3=
''Полуплоскость'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1975. Т. 20. Плата — проб. 1975. 608 с. С. 259.
}}
* {{h|''Полуплоскость'', 1984|3=
''Полуплоскость'' // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1984. 1216 стб. Стб. 462.
}}
* {{h|''Полуплоскость'', 1988|3=
''Полуплоскость'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 474.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область, 1982|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Кратно круговая область // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 88—89.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг, 1984|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Поликруг // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил. Стб. 405—406.
}}
* {{h|''Хёрмандер, Ларс'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968|3=
''[[Хёрмандер, Ларс]].'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. [[Чирка, Евгений Михайлович|Е. М. Чирки]], под ред. [[Шабат, Борис Владимирович|Б. В. Шабата]]. М.: [[Мир (издательство)|«Мир»]], 1968. 279 с.
}}
* {{h|''Чирка Е. М.'' Гартогса область, 1977|3=
''[[Чирка, Евгений Михайлович|Чирка Е. М.]]'' Гартогса область // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «[[Советская Энциклопедия]]», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 893.
}}
* {{h|''Чирка Е. М.'' Трубчатая область, 1985|3=
''[[Чирка, Евгений Михайлович|Чирка Е. М.]]'' Трубчатая область // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 5 Слу—Я. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 449.
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1976. 320 с.: ил.
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: [[Наука (издательство)|«Наука»]], 1976. 400 с.: ил.
}}
* {{h|''Courant R., Robbins H.'' What Is Mathematics?, 1996|3=
''[[Курант, Рихард|Richard Courant]], [[Роббинс, Герберт|Herbert Robbins]].'' [[Что такое математика?|What Is Mathematics?]] An Elementary Approach to Ideas and Methods. Second Edition. Revised by [[Стюарт, Иэн (математик)|Ian Stewart]]. New York·Oxford: [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]]. 1996. [Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. 2-е изд. Исправлено И. Стюартом. Нью Йорк — Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. 1996.]
}}
* {{h|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|3=
''{{iw|Коревар, Якоб|Jaap Korevaar|en|Jacob Korevaar}}, Jan Wiegerinck.'' Several Complex Variables. [[Амстердам|Amsterdam]]: [[Амстердамский университет|University of Amsterdam]], November 18, 2011. 260 p.
}}
* {{h|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|3=
''{{iw|Кранц, Стивен Дж.|Steven G. Krantz|en|Steven G. Krantz}}.'' Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. [[Провиденс|Providence, Rhode Island]]: {{iw|Chelsea Publishing Company|AMS Chelsea Publishing|en|Chelsea Publishing Company}}, 1951. 564 p. 1992 held by [[Американское математическое общество|the American Mathematical Society]]. Printed with corrections, 2001.
}}

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Многомерный комплексный анализ]]