Области комплексного пространства

Комплексное пространство ${ℂ}^n$ — пространство, точки которого — следующие упорядоченные наборы $n$ комплексных чиселШаблон:Sfn:

$z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)=\{z_k\}.$

При $n=1$ получается комплексная плоскость $ℂ$, комплексное пространство ${ℂ}^n$ размерности $n$ — это декартово произведение $n$ комплексных плоскостейШаблон:Sfn:

${ℂ}^n=\underset{n\text{ раз}}{\underbrace{ℂ\times ℂ\times \cdots \times ℂ}}$.

Область (Шаблон:Lang-en) $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ — открытое связное множество $D\subset {ℂ}^n$, то есть любая точка множества принадлежит ему вместе с её окрестностью (открытость), а любые две точки множества соединены непрерывной кривой (связность)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Граничная точка области $D$ — точки, не принадлежащие $D$, но одновременно предельные для точек $D$, то есть в произвольной окрестности предельной точки всегда имеются точки из $D$, а также хотя бы одна точка, не лежащая в $D$. Граница области $D$ — множество $\partial D$ всех граничных точек $D$. Замыкание области $\overline{D}$ совпадает с объединением $D$ и $\partial D$Шаблон:Sfn.

Рассмотрим некоторые области комплексного пространстваШаблон:Sfn.

Конечные области

Шар

Шар

Шар (Шаблон:Lang-en) радиуса $r$ с центром в точке $z_0$ — это множество точек

$B(a,r)=\{z\in {ℂ}^n:|z-z_0|<r\}$Шаблон:Sfn.

Это обычный евклидов шар. Граница $\partial B$ шара есть $(2n-1)$-мерная сфера

$S^{2n-1}=\{z\in {ℂ}^n:|z-z_0|=r\}$Шаблон:Sfn.

Шар есть частный случай полной области РейнхартаШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

• Диаграммы шара Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара в ${ℂ}^2$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара в ${ℂ}^3$
• 
  Диаграмма Хартогса шара в ${ℂ}^2$

Поликруг

Стереографичес­кая проекция двумерного остова бикруга — двумерного тора. Остов вращается вокруг плоскости $(\mathrm{Re}{z}_1,\mathrm{Im}{z}_2)$

Поликруг (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, топологическое произведение нескольких плоских кругов, одно из обобщений понятия круга; другое наиболее известное обобщение круга — шарШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Поликруг (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) радиуса $r$ с центром в точке $z_0$ — множество точек $z$ комплексного пространства $C^n$ произвольной размерности $n$

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,r)=\{z\in {ℂ}^n:\Vert z-z_0\Vert <r\}=$

$=\{z=(r_1,r_2,\dots ,r_n)\in {ℂ}^n:$

$\underset{k}{\max }|z_k-z_{0k}|<r,k=1,2,\dots ,n\}$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: полидискШаблон:Sfn; круговой полицилиндрШаблон:SfnШаблон:Sfn; шар в поликруговой метрике; шар в $\rho$-метрикеШаблон:Sfn; поликруг с равными радиусами (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn; полицилиндр с равными радиусамиШаблон:Sfn; произведение круговШаблон:Sfn.

Так определённый поликруг — это шар с центром $z_0$ в поликруговой $\rho$-метрике. Геометрически поликруг есть топологическое произведение $n$ плоских кругов

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,r)=\mathrm{\Delta }(z_{01},r)\times \mathrm{\Delta }(z_{02},r)\times \cdots \times \mathrm{\Delta }(z_{0n},r),$

$\mathrm{\Delta }(z_{0k},r)=\{z_k\in ℂ:|z_k-z_{0k}|<r\},k=1,2,\dots ,n,$

радиуса $r$ с центрами в точках $z_{0k}$Шаблон:Sfn.

В общем случае поликруг векторного радиуса, или мультирадиуса (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn), $𝐫=(r_1,r_2,\dots ,r_n)$ с центром в точке $z_0$ — это следующее множество точекШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,𝐫)=\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k-z_{0k}|<r_k,k=1,2,\dots ,n\}$.

В общем случае поликруг векторного радиуса есть геометрически топологическое произведение $n$ плоских кругов с разными радиусами $r_k$ и одним центром $z_0$Шаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}^n(z_0,𝐫)=\mathrm{\Delta }(z_{01},r_1)\times \mathrm{\Delta }(z_{02},r_2)\times \cdots \times \mathrm{\Delta }(z_{0n},r_n),$

$\mathrm{\Delta }(z_{0k},r_k)=\{z_k\in ℂ:|z_k-z_{0k}|<r_k\},k=1,2,\dots ,n,$

Единичный поликруг — поликруг с центром в начале координат, то есть $z_0=0$, и единичным радиусом, то есть $r=1$Шаблон:Sfn.

В общем случае эллиптический полицилиндр с центром в начале координат — это следующее множество точекШаблон:Sfn:

$E^n(𝐫)=\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k+\sqrt{r_k^2-1}|<r_k,r_k>1,k=1,2,\dots ,n\}.$

В общем случае аналитически скошенный полицилиндр — это множество точек, получающееся из полицилиндра после аффинного преобразования

$z_k=b_k+\sum _{p=1}^n{a}_{kp}z{\text{'}}_p,k=1,2,\dots ,n$

комплексного пространстваШаблон:Sfn.

Поликруг естественным образом обобщается на полиобластьШаблон:Sfn.

Поликруг есть частный случай полной области РейнхартаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

• Диаграммы поликруга Рейнхарта и Хартогса
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга в ${ℂ}^2$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга в ${ℂ}^3$
• 
  Диаграмма Хартогса бикруга в ${ℂ}^2$

Полиобласть

Поликруг естественным образом обобщается на полиобластьШаблон:Sfn.

Полиобласть (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) $D=D_1\times D_2\times \cdots \times D_n$ — топологическое произведение $n$ следующих в общем случае плоских многосвязных областейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$D_k\subset ℂ,k=1,2,\dots ,n.$

Синонимы: поликруговая областьШаблон:SfnШаблон:Sfn; обобщённый полицилиндрШаблон:SfnШаблон:Sfn; полицилиндрическая областьШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Рейнхарта

Диаграмма неполной области Рейнхарта в ${ℂ}^3$

Область Рейнхарта (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий шара и поликруга. Названа в честь немецкого математика Шаблон:IwШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: кратно-круговая областьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn; $n$-круговая область (Шаблон:Lang-en)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Логарифмически выпуклая область Рейнхарта обладает следующим важным свойством: любая такая область в комплексном пространстве ${ℂ}^n$ есть внутренность множества точек абсолютной сходимости (другими словами, собственно область сходимости) некоторого степенного ряда по переменным

$z_1-a_1,z_2-a_2,\dots ,z_n-a_n,$

и обратно: область сходимости любого степенного ряда по

$z_1,z_2,\dots ,z_n$

есть логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта с центром $a=0$Шаблон:Sfn.

Область Рейнхарта есть частный случай круговой областиШаблон:SfnШаблон:Sfn, а также кратно-кругообразной областиШаблон:Sfn.

Область Рейнхарта — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежат также и все точки следующего видаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n:|z_k-a_k|=|z_k^0-a_k|,k=1,2,\dots ,n\},$

или

$z=\{a_k+(z_k^0-a_k)e^{i{\theta }_k}\},$ $0<{\theta }_k<2\pi ,$

или

$z=a+(z^0-a)e^{i\theta },$ $\theta =({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)\in ℝ.$

При $a=0$ получаемШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$z=z^0{e}^{i\theta },$ $\theta =({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n)\in ℝ.$

Присутствующая в определении точка $a\in {ℂ}^n$ называется центром области РейнхартаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Рейнхарта имеет следующие автоморфизмыШаблон:Sfn:

$w_k=a_k+(z_k-a_k)e^{i{\theta }_k},$ $k=1,2,\dots ,n.$

• Диаграммы Рейнхарта шара и поликруга
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для $n=2$
• 
  Диаграмма Рейнхарта шара для $n=3$
• 
  Диаграмма Рейнхарта бикруга для $n=2$
• 
  Диаграмма Рейнхарта трикруга для $n=3$

Круговая область

Шаблон:Основная статья Область Рейнхарта естественным образом обобщается на круговую областьШаблон:Sfn.

Круговая область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in {ℂ}^n$ в области $D$ лежат и все точки вида

$z=\{a+(z^0-a)e^{i\theta }\},$ $0<\theta <2\pi ,$

другими словами, все точки окружности на комплексной прямой, проходящей через заданные точки $a$ и $z^0$, с центром $a$ и следующим радиусомШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$|z^0-a|=\sqrt{\sum _{k=1}^n|z_k^0-a_k{|}^2}$.

Присутствующая в определении точка $a\in {ℂ}^n$ называется центром круговой областиШаблон:Sfn.

Синоним: круговое точечное множествоШаблон:Sfn.

Круговая область есть частный случай области ХартогсаШаблон:Sfn.

Полная круговая область — круговая область $D$, в которой с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$ лежит весь следующий кругШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{z=a+(z^0-a)\lambda \},$ $|\lambda |⩽1.$

Область Хартогса

Диаграмма Хартогса неполной области в ${ℂ}^2$

Область Хартогса (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия области Рейнхарта. Названа в честь немецкого математика Шаблон:IwШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синоним: полукруговая областьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Область Хартогса естественным образом возникает как область непрерывной сходимости следующего рядаШаблон:Sfn:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(z_1,z_2,\dots ,z_{n-1})z_n^k.$

Область Хартогса есть частный случай кругообразной областиШаблон:Sfn.

Область Хартогса — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_{n-1}^0,z_n^0)\equiv {(}^{\prime }{z}^0,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежат также и все точки следующей окружностиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{{(}^{\prime }{z}^0,a_n+(z_n^0-a_n)e^{i{\theta }_n}),0⩽{\theta }_n<2\pi \}.$

Кругообразная область

Область Хартогса естественным образом обобщается на кругообразную областьШаблон:Sfn.

Орбита, порождаемая точкой $z\in {ℂ}^n$, — точечное множество в комплексном пространстве ${ℂ}^n$ вида

$\{t^{{\alpha }_1}{z}_1,t^{{\alpha }_2}{z}_2,\dots ,t^{{\alpha }_n}{z}_n\},$ $|t|=1,$

где $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n$ — любая фиксированная точка; $t\in ℂ$ — любой комплексный параметр; ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ — целые неотрицательные числа, не все равные нулю. Орбита есть топологический образ окружности. Орбита может быть порождена любой из её точекШаблон:Sfn.

Кругообразная область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, целиком состоящая из некоторых орбитШаблон:Sfn.

В частном случае при ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=1$ получается круговая область, а при ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_{n-1}=0$, ${\alpha }_n=1$ — область ХартогсаШаблон:Sfn.

В более общем случае кругообразная область называется кругообразным точечным множествомШаблон:Sfn.

Обобщение кругообразной области — кругообразная область с произвольными целыми показателями ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ была впервые изучена французским математиком А. КартаномШаблон:Sfn.

Кратно-кругообразная область

Область Рейнхарта естественным образом обобщается на кратно-кругообразную область, частный случай кругообразной областиШаблон:Sfn.

Введём следующие $m$ параметров $t_1,t_2,\dots ,t_m$ и организуем их в следующие $n$ одночленов

${\beta }_j(t)=t_1^{{\alpha }_{j1}}{t}_2^{{\alpha }_{j2}}\dots t_m^{{\alpha }_{jm}},j=1,2,\dots ,n,$

где показатели степени ${\alpha }_{j1},{\alpha }_{j2},\dots ,{\alpha }_{jm}$ — неотрицательные целые числаШаблон:Sfn.

Пусть определение орбиты следующее:

$\{{\beta }_1(t)z_1,{\beta }_2(t)z_2,\dots ,{\beta }_n(t)z_n\},$ $|t_1|=|t_2|=\cdots =|t_m|=1.$

Кратно-кругообразная область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, целиком состоящая из некоторых этих орбитШаблон:Sfn.

Неограниченные области

Полуплоскость

Полупло́скость (Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эта прямая определяет полуплоскостьШаблон:Sfn.

Полуплоскость есть частный случай трубчатой областиШаблон:Sfn.

Полоса

Полоса́ (Шаблон:Lang-en) — понятие геометрии, в случае плоскости множество всех точек, которые находятся между двумя параллельными прямыми плоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Эти две прямые ограничивают полосу, и расстояние между ними называется шириной полосыШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Полоса есть выпуклая областьШаблон:Sfn.

Синоним: полоскаШаблон:Sfn.

На комплексной плоскости $ℂ$ с координатами $z=x+iy$ конформное преобразование $w=e^z$ отображает полосу $0<y<\pi$ на верхнюю полуплоскостьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, а полосу $0<y<2\pi$ — на всю плоскость без положительной полуоси $\{x>0,y=0\}$Шаблон:Sfn.

Полоса есть частный случай трубчатой областиШаблон:Sfn.

Трубчатая область

Шаблон:Основная статья Тру́бчатая о́бласть (Шаблон:Lang-en) — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятий полосы и полуплоскостиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синонимы: трубаШаблон:Sfn; цилиндрическая областьШаблон:Sfn.

Трубчатая область — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, имеющая такое свойство, что вместе с каждой точкой $z^0=(z_1^0,z_2^0,\dots ,z_n^0)\in D$ в области $D$ лежат также и все точки следующего видаШаблон:Sfn:

$z=\{z_k^0+i{y}_k\},-\mathrm{\infty }<y<\mathrm{\infty },k=1,2,\dots ,n.$

Произвольную трубчатую область $D$ можно всегда представить в более простом виде — как следующее прямое произведение:

$B\times {ℝ}^n(y)$,

где область $B\in {ℝ}^n(x)\subset {ℂ}^n$, $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n),$ называется основанием области $D$, а вещественное пространство ${ℝ}^n(y)$ состоит из точек $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n).$ В итоге получается, что трубчатая область может быть полностью охарактеризована её основанием $B\in {ℝ}^n(x)$Шаблон:Sfn.

Пользуясь тем, что $z=x+iy$, где $x$ и $y$ можно представить как вещественные $n$-мерные векторы, произвольная трубчатая область может быть символически записана либо в следующем видеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$T=B+i{ℝ}^n(y)$,

то есть

$T=\{x+iy:x\in B,y\in {ℝ}^n\}$,

либо в следующем виде:

$T={ℝ}^n(x)+iB$.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H