Просмотр кода страницы Область голоморфности

{{Обзорная статья|Характеристика областей голоморфности}}
[[Файл:Domain of holomorphy illustration 2.svg|thumb|250px|Область голоморфности — комплексная область ''U'' такая, что для любого участка её границы в ней найдётся [[голоморфная функция]], непродолжаемая через него]]

'''О́бласть голомо́рфности''' ({{lang-en|domain of holomorphy}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}, от [[Древнегреческий язык|др.-греч.]] [[wikt:ru:ὅλος|ὅλος]] — весь и [[Древнегреческий язык|др.-греч.]] [[wikt:ru:μορφή|μορφή]] — форма, образ{{sfn|''Голоморфная функция'', 1988}}) — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], [[Область (математика)|область]] [[Унитарное пространство|комплексного пространства]] такая, что существует [[Функция (математика)|функция]], [[Голоморфная функция|голоморфная]] в этой области, но не [[Аналитическое продолжение|голоморфно продолжаемая]] в какую-нибудь бо́льшую область (точнее, не продолжаемая за пределы области){{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 65}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=§ 11. Области голоморфности, с. 153}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}.

Другими словами, '''область голоморфности''' — область комплексного пространства такая, что нет никакого участка её границы, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию, голоморфную в этой области{{sfn|''Хёрмандер, Ларс.'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968|loc=2.5. Области голоморфности, с. 59}}, другими словами, для любого участка границы области в ней найдётся голоморфная функция, которую нельзя продолжить через этот участок{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}.

Синоним: '''область регулярности'''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119}}.

'''''Область голоморфности функции''''' — область комплексного пространства такая, что функция в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области, то есть голоморфно не продолжается за пределы области{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 65}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}. '''Область голоморфности''' — область голоморфности какой-нибудь функции{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=§ 11. Области голоморфности, с. 155}}, то есть максимальная область существования какой-нибудь функции <math>f(z)</math>{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18}}.

Синонимы: '''''область существования функции'''''{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 65}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}; '''''естественная область определения функции'''''{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}; '''''область регулярности функции'''''{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}.

На комплексной плоскости любая область голоморфна: всегда имеется некоторая функция, которая голоморфна в этой области и не продолжается аналитически за её границу{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=Глава III. Аналитическое продолжение, с. 143}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 66}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=Chapter 6 Domains of holomorphy, p. 107}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}.

Но в комплексном пространстве <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 2</math>, ситуация совсем другая. Например, голоморфные функции в <math>\C^n</math> не могут иметь изолированных особенностей: особенности «распространяются» определенным образом{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=Chapter 6 Domains of holomorphy, p. 107}}. В <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 2</math>, не каждая область голоморфна, то есть имеются области, из которых любая голоморфная в ней функция всегда продолжается в более обширную область. Например, не [[логарифмически выпуклая область Рейнхарта]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=Глава III. Аналитическое продолжение, с. 143}}. Также не голоморфна область с [[полость]]ю, то есть вид [[Разность множеств|разности множеств]]
: <math>D \setminus K \subset \C^n</math>,
где <math>\C^n \supset D \supset K</math> — [[компактное множество]]{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8}}.

Неправильно считать, что область голоморфности в комплексном пространстве есть просто область того же пространства, равная своему голоморфному расширению, поскольку голоморфное продолжение функции из исходной области может привести к [[Многолистная область|многолистной области]]{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 154}}.

'''''Открытое множество голоморфности''''' — [[открытое множество]] (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все [[Связная компонента|связные компоненты]] которого суть области голоморфности{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 66}}

== Определения области голоморфности ==
Определение 1. '''Область голоморфности''' ({{lang-en|domain of holomorphy}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}) — понятие [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]], [[Область (математика)|область]] <math>D</math> [[Унитарное пространство|комплексного пространства]] <math>\C^n</math> такая, что существует [[Функция (математика)|функция]] <math>f(z)</math>, [[Голоморфная функция|голоморфная]] в <math>D</math>, но не [[Аналитическое продолжение|голоморфно продолжаемая]] в какую-нибудь бо́льшую область <math>E \supseteq D</math> (точнее, не продолжаемая за пределы <math>D</math>){{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=§ 11. Области голоморфности, с. 153}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}.

Синоним: '''область регулярности'''{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119}}.

{{Якорь|Область голоморфности функции}}
Определение 2.'''''Область голоморфности функции''''' <math>f(z)</math> — область <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n</math> такая, что функция <math>f</math> в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области <math>E \supseteq D</math>, то есть голоморфно не продолжается за пределы области <math>D</math>{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 65}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}. '''Область голоморфности''' — область голоморфности <math>D</math> какой-нибудь функции <math>f(z)</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=§ 11. Области голоморфности, с. 155}}, то есть максимальная область существования какой-нибудь функции <math>f(z)</math>{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18}}.

Множество все функций, голоморфных в области <math>D</math>, обозначается <math>H_D</math>{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 4. Определения и простейшие свойства голоморфных функций, с. 44}}, или <math>\text{𝒪}(D)</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=3. Понятие голоморфности, с. 22}}.

Синонимы: '''''область существования функции'''''{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 65}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}; '''''естественная область определения функции'''''{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}; '''''область регулярности функции'''''{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 9. Голоморфные функции …, с. 154}}.

[[Файл:Domain of holomorphy illustration 2.svg|thumb|250px|Область голоморфности — комплексная область ''U'' такая, что для любого участка её границы в ней найдётся [[голоморфная функция]], непродолжаемая через него]]

Определение 3. '''Область голоморфности''' — область комплексного пространства <math>D \subset \C^n</math> такая, что нет никакого участка её границы <math>\partial D</math>, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию <math>f(z)</math>, голоморфную в <math>D</math>{{sfn|''Хёрмандер, Ларс.'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968|loc=2.5. Области голоморфности, с. 59}}, то есть для любого участка границы <math>\partial D</math> в <math>D</math> существует голоморфная функция <math>f(z)</math>, которую нельзя продолжить через этот участок{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}.

Формально это определение записывается следующим образом: '''область голоморфности''' — [[открытое множество]] <math>U \subset \C^n</math>, причём не существует никаких двух открытых множеств <math>U_1,\, U_2 \subset \C^n</math> таких, что <math>\varnothing \ne U_1 \subset U_2 \cup U</math>, <math>\,U_2</math> [[Связность области|связно]], <math>\,U_2 \not\subset U</math>, а для любой голоморфной функции <math>f</math> в <math>U</math> существует однозначно определённая голоморфная функция <math>f_2</math> в <math>U_2</math> такая, что <math>f = f_2</math> в <math>U_1</math>{{sfn|''Хёрмандер, Ларс.'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968|loc=2.5. Области голоморфности, с. 59}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=Chapter 6 Domains of holomorphy, p. 107}}{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6}}.

Определение 4. Для любой граничной точки <math>P \in \partial D</math> области <math>D \subseteq \C^n</math> существует некоторая голоморфная функция <math>f(z)</math>, которой голоморфно не продолжается в некоторой окрестности точки <math>P</math>{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.9 Preview: analytic continuation, domains of holomorphy…, p. 18}}.

{{Якорь|Открытое множество голоморфности}}
'''''Открытое множество голоморфности''''' — [[открытое множество]] (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все [[Связная компонента|связные компоненты]] которого суть области голоморфности{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 66}}

== Примеры областей и функций ==
=== Единичный круг в C есть область голоморфности ===
'''Предложение 1.''' ''[[Единичный круг]] <math>\Delta = S(0,\, 1)</math> есть область голоморфности комплексной плоскости <math>\C^n</math> как естественная область определения следующей функции{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1030}}{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 66}}:''
: <math>f_0(z) = \sum_{k=0}^\infty z^{k!}</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 66}}
| Содержание    =
Докажем, что функция <math>f_0(z)</math> не ограничена в точках <math>\,z = e^{i\varphi} \in \partial S(0,\, 1)\,</math> границы <math>\,\partial S(0,\, 1)\,</math> единичного круга, где <math>\,\varphi = \frac pq \in \Q</math> — произвольное рациональное число, <math>\,p,\, q \in \Z</math> — целые числа. Действительно,
: <math>|f_0(re^{i\varphi})| = \left|\sum_{k=0}^\infty r^{k!}e^{i\frac pq k!}\right| \geqslant \left|\sum_{k=q+1}^\infty r^{k!}e^{i\frac pq k!}\right| - \left|\sum_{k=0}^q r^{k!}e^{i\frac pq k!}\right| =</math>
: <math>\qquad\qquad\, = \sum_{k=q+1}^\infty r^{k!} - \left|\sum_{k=0}^q r^{k!}e^{i\frac pq k!}\right| \to \infty</math> при <math>r \to 1 - 0</math>.

Следовательно, особенности функции <math>f_0(z)</math> существуют во всех точках границы единичного круга <math>\partial S(0,\, 1),\,</math> поскольку множество рациональных чисел всюду плотно на вещественном отрезке <math>[0,\, 2\pi].</math>
}}

'''Предложение 2.''' ''Единичный круг <math>\Delta = S(0,\, 1)</math> есть область голоморфности комплексной плоскости <math>\C^n</math> как естественная область определения следующей функции{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 6—7}}:''
: <math>f_0(z) = \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}z^{2^k}</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 7}}
| Содержание    =
Согласно [[Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]], ряд, определяющий функцию <math>f_0(z)</math>, сходится [[Абсолютная сходимость|абсолютно]] и [[Равномерная сходимость|равномерно]] на [[Замыкание (топология)|замыкании]] <math>\bar{\Delta} = \Delta \cup \partial \Delta</math> области <math>\Delta = S(0,\, 1)</math>. Следовательно, функцию <math>f_0</math> [[Непрерывная функция|непрерывна]] на <math>\bar{\Delta}</math> и [[Голоморфная функция|голоморфна]] на <math>\Delta</math>. Но следующая граничная функция
: <math>\varphi \mapsto \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}e^{i2^k\varphi}</math>.
есть нигде не [[Дифференцируемая функция|дифференцируемая]] [[функция Вейерштрасса]], поэтому функцию <math>f_0</math> не может быть [[Продолжение функции|продолжена]] на большее открытое множество даже дифференцируемо, а тем более голоморфно. Итак, существует одна голоморфная функция <math>f_0</math> на области <math>\Delta</math>, которая не может быть продолжена на большее открытое множество, то есть область <math>\Delta</math> есть область голоморфности.
}}

=== Единичный бикруг в C×C есть область голоморфности ===
'''Предложение 1.''' ''[[Единичный бикруг]], то есть бикруг радиуса 1, <math>\Delta^2(0,\, 1) \subseteq \C^2</math>, есть область голоморфности комплексного пространства <math>\C^2</math> как естественная область определения следующей функции{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 7}}:''
: <math>u(z_1,\, z_2) = f_0(z_1) \times f_0(z_2),</math>.
''где функция на [[Единичный круг|единичном круге]]''
: <math>f_0(z) = \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}z^{2^k}</math>.

'''Доказательство.''' Согласно предложению 2 раздела [[#Единичный круг комплексной плоскости|Единичный круг комплексной плоскости]], функции <math>f_0(z_1)</math> и <math>f_0(z_2)</math> голоморфны в единичных кругах комплексных плоскостей, поэтому функция <math>u(z_1,\, z_2)</math> голоморфна по совокупности переменных в единичном бикруге по [[Теорема Хартогса|теореме Хартогса]] как [[прямое произведение]] голоморфных функций и голоморфно не продолжается ни в какую бо́льшую область{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 7}}.□

Если бы эта простая конструкция из прямого произведения была единственным способом построения голоморфных областей в комплексных пространствах нескольких переменных, то было бы мало оснований для изучения этого предмета. Но в действительности характеристика областей голоморфности нескольких комплексных переменных достаточно хитроумна. Например, в доказательстве того, что единичный [[шар]] <math>B^n(0,\, 1) \subseteq \C^n</math> есть голоморфная область, прямое произведение не поможет{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 7—8}}.

=== Слой бикруга в C×C не является областью голоморфности ===
{{Обзорная статья|Выпуклый слой}}

'''Теорема 1. {{iw|Теорема расширения Хартогса|Теорема расширения Хартогса|en|Hartogs's extension theorem}} ({{iw|Феномен Хартогса|Феномен Хартогса|en|Hartogs's phenomenon}}).''' ''Каждая голоморфная функция в следующей области с [[полость]]ю, то есть в выпуклом '''слое бикруга''''',
: <math>\Omega \equiv \Delta^2(0,\, 3) \setminus \bar{\Delta}^2(0,\, 1) \subseteq \C^2</math>
''голоморфно продолжается в область без полости <math>\Delta^2(0,\, 3)</math>{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8}}.''

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|loc=0.3.1 Domains of Holomorphy, p. 8}}
| Содержание    =
Приведём узкоспециализированное доказательство, используя только элементарные факты о [[Степенной ряд|степенных рядах]] с одной переменной.

Рассмотрим функцию <math>h</math>, голоморфную в области <math>\Omega</math>. Пусть <math>z_1,\, |z_1| < 3,\,</math> фиксировано. Запишем для этой функции [[ряд Лорана]]
: <math>h_{z_1}(z_2) = h(z_1,\, z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k(z_1)a_2^k</math>
с коэффициентами
: <math>a_k(z_1) = \frac1{2\pi i} \oint_{|w|=2} \frac{h(z_1,\, w)}{w^{k+1}}dw.</math>

Заметим, что коэффициент <math>a_k(z_1)</math> голоморфно зависит от <math>z_1</math> (например, по [[Теорема Мореры|теореме Мореры]]). Но <math>a_k(z_1) = 0</math> при <math>k < 0</math> и <math>1 < |z_1| < 3</math>, поэтому при голоморфном продолжении получаем <math>a_k(z_1) \equiv 0</math> при <math>k < 0</math>. Но тогда исходный ряд Лорана превращается в обычный степенной ряд
: <math>\sum_0^\infty a_k(z_1)a_2^k</math>,
который определяет во всей области <math>\Delta^2(0,\, 3)</math> некоторую голоморфную функцию <math>\hat{h}</math>, которая согласована с исходной функцией <math>h</math> в области <math>\Omega</math>. Получается, что область <math>\Omega</math> не является областью голоморфности, поскольку все голоморфные функции в <math>\Omega</math> продолжаются в бо́льшую область <math>\Delta^2(0,\, 3)</math>. 
}}

=== Сферический слой в C×R не является областью голоморфности ===
{{Обзорная статья|Выпуклый слой}}

Здесь используется метод, который базируется на [[Интегральная формула Коши|интегральной формуле Коши]] для комплексной плоскости. При этом необходимо, чтобы исследуемая [[голоморфная функция]] зависела как минимум от двух переменных, причём как минимум одна переменная комплексная. Комплексная переменная нужна не только для использования метода, но и сами результаты могут оказаться неверны в случае отсутствия комплексной переменной{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91}}.

Два следующих условия существенны при данном использовании метода: 1) наличие в каждой комплексной плоскости, параллельной координатной, [[Контур интегрирования|контура интегрирования]], вдоль которого голоморфная функция в [[Сферический слой|сферическом слое]] голоморфна; 2) существование некоторой точки, в окрестности которой равны голоморфные функции в шаровом слое и в [[шар]]е{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение, с. 93}}.

Пример из раздела «[[#Сферический слой в C×С не является областью голоморфности|Сферический слой в C×С не является областью голоморфности]]» есть небольшая модификация данного примера{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 67}}.

'''Теорема 1.''' ''Функция <math>f(z,\, u)</math>, голоморфная в сферическом слое''
: <math>S = \{(z,\, u) \in \C \times \R\colon (R - \epsilon)^2 < |z|^2 + u^2 < (R + \epsilon)^2\},</math>
''голоморфна в шаре''
: <math>\tilde{S} = \{(z,\, u) \in \C \times \R\colon |z|^2 + u^2 < (R + \epsilon)^2\},</math>
''то есть область <math>\tilde{S}</math> есть голоморфное расширение области <math>S</math>{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91}}.''

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91—93}}
| Содержание    =
'''1.''' Сразу определим новую функцию
: <math>\varphi(z,\, u) = \frac1{2\pi i} \int\limits_{C(u)} \frac{f(t,\, u)}{t - z} dt</math>
для каждого фиксированного значения <math>u</math> из интервала <math>-R < u < R</math>, где <math>C(u)</math> есть окружность
: <math>|t| = \sqrt{R^2 - u^2}</math>.

'''2.''' Получаем, что, поскольку <math>f(t,\, u)</math> непрерывна и даже голоморфна по <math>t</math> при любых точках контура <math>t \in C(u)</math>, то тогда и функция <math>\varphi(z,\, u)</math> тоже голоморфна по <math>z</math> при любых <math>z</math>, принадлежащих открытому кругу 
: <math>|z| < \sqrt{R^2 - u^2}</math>.

По причине голоморфности функции <math>f(t,\, u)</math> в сферическом слое <math>S</math> можно без изменения значений функции <math>\varphi(z,\, u)</math> вместо контура <math>C(u)</math> использовать произвольный простой контур из кольца
: <math>\sqrt{(R - \epsilon)^2 - u^2} < |t| < \sqrt{(R + \epsilon)^2 + u^2}</math>,
где <math>u</math> — по-прежнему некоторое фиксированное значение из интервала <math>-R < u < R</math>.

'''3.''' Далее, пусть теперь <math>u_0</math>, <math>-R < u_0 < R</math>, есть некоторое конкретное фиксированное значение <math>u</math>. Определим новый интеграл
: <math>I(z,\, u) = \int\limits_{C(u_0)} \frac{f(t,\, u)}{t - z} dt</math>,
в котором контур <math>C(u_0)</math> фиксирован, а <math>u_0 - \epsilon < u < u_0 + \epsilon</math>.

Следовательно, так как функция <math>f(z,\, u)</math> голоморфна по <math>z,\, u</math> в сферическом слое <math>S</math>, а точечное множество
: <math>[t \in C(u_0); u_0 - \epsilon < u < u_0 + \epsilon]</math>
тоже принадлежит шаровому слою <math>S</math>, построенный интеграл <math>I(z,\, u)</math> задаёт голоморфную функцию в области
: <math>[|z|^2 < R^2 - u_0^2; u_0 - \epsilon < u < u_0 + \epsilon].</math>

'''4.''' Приведём два факта: 1) непосредственно из определений следует, что функции <math>\varphi(z,\, u)</math> и <math>I(z,\, u)</math> равны при <math>u = u_0</math>; 2) поскольку величина <math>\varphi(z,\, u)</math> не изменится, если в её интегральном выражении вместо контура <math>C(u)</math> использовать другой допустимый, то указанное равенство имеет место для любых значений из интервала <math>u_0 - \epsilon < u < u_0 + \epsilon</math>. Следовательно, функция <math>\varphi(z,\, u)</math> голоморфна во всех точках открытого шара <math>|z|^2 + u^2 < R^2</math> на том основании, что <math>u_0</math> есть любое число из интервала <math>(-R ,\, R).</math>

'''5.''' Наконец, докажем, что функции <math>f</math> и <math>\varphi</math> тождественны. На значениях переменной <math>u</math> из интервала
: <math>-R - \epsilon < u < R - \frac\epsilon2</math>
функция <math>f(t,\, u)</math> аналитична не только в некоторой окрестности контура <math>C(u)</math>, но и везде внутри него, поэтому для указанных значений <math>u</math> имеем: <math>\varphi(z,\, u) \equiv f(z,\, u),</math> то есть функция <math>\varphi(z,\, u)</math> представляет собой искомое голоморфное продолжение функции <math>f(t,\, u)</math> на область <math>|z|^2 + u^2 < R^2</math>.
}}

=== Сферический слой в C×С не является областью голоморфности ===
{{Обзорная статья|Выпуклый слой}}

Данный пример есть небольшая модификация примера из раздела «[[#Сферический слой в C×R не является областью голоморфности|Сферический слой в C×R не является областью голоморфности]]»{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 67}}.

'''Теорема 1.''' ''Любая функция <math>f(z)</math>, голоморфная в шаре с полостью, то есть в [[Сферический слой|сферическом слое]]''
: <math>S = \{z = (z_1,\, z_2) \in \C \times \C\colon \frac12 < |z| < 1\},</math>
''голоморфна в большей области, шаре <math>|z| < 1</math>, точнее, допускает голоморфное продолжение в шар <math>|z| < 1</math>, то есть область <math>S</math> не может быть областью голоморфности никакой функции{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 67}}.''

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 8. Области голоморфности, с. 67—68}}
| Содержание    =
[[Файл:Reinhardt domain of spherical shell in CxC.svg|thumb|250px|[[Диаграмма Рейнхарта]] шара с полостью в <math>\C^2</math>]]

Построим функцию
: <math>\varphi(z) = \frac1{2\pi i} \int\limits_{|w|=\frac34} \frac{f(w,\, z_2)}{w - z_1} dw</math>,
которая в отдельности голоморфна по <math>z_1</math> м <math>z_2</math> в [[бикруг]]е
: <math>|z_1| < \frac34</math>, <math>\quad|z_2| < \frac{\sqrt7}4</math>,
поскольку
: <math>\{(w,\, z_2)\colon |w| = \frac34,\, |z_2| < \frac{\sqrt7}4\} \subset S</math>
(как показано на рисунке справа на [[Диаграмма Рейнхарта|диаграмме Рейнхарта]]). Следовательно, функция <math>\varphi(z)</math> просто голоморфна в этом бикруге по фундаментальной [[Теорема Хартогса|теореме Хартогса]].

Рассмотрим область
: <math>|z_1| \leqslant \frac34</math>, <math>\quad\frac12 < |z_2| < \frac{\sqrt7}4</math>
(она показана на рисунке справа). Функция <math>\varphi(z)</math> равна функции <math>f(z)</math> во всех точках этой области
по следующим причинам: эта область принадлежит области <math>S</math>, тогда для функции <math>f(z)</math> справедлива [[Интегральная формула Коши|формула Коши]]
: <math>f(z) = \frac1{2\pi i} \int\limits_{|w|=\frac34} \frac{f(w,\, z_2)}{w - z_1} dw</math>,
откуда, наконец, и получаем равенство <math>f(z) = \varphi(z)</math> в этой области.

Теперь рассмотрим пересечение множеств
: <math>\{z\colon |z_1| < \frac34,\, |z_2| < \frac{\sqrt7}4\} \cap S</math>,
которое есть область. По [[Теорема единственности аналитической функции|теореме единственности аналитической функции]] ('''''принципу голоморфного продолжения''''') функция <math>f(z)</math> голоморфна во всём шаре
: <math>\{z\colon |z| < 1\} = \{z\colon |z_1| < \frac34,\, |z_2| < \frac{\sqrt7}4\} \cup S</math>,
что и требовалось доказать.
}}

== Достаточные условия области голоморфности ==
Рассмотрим простые достаточные условия, характеризующие области голоморфности{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}}.

'''''Барьер, или граничное свойство,''''' граничной точки <math>z_0 \in \partial D</math> [[Область (математика)|области]] <math>D \subset \C^n</math> комплексного пространства <math>\C^n</math> — функция <math>f_{z_0}(z)</math>, которая голоморфна в области <math>D</math>, но не [[Голоморфное продолжение|продолжается голоморфно]] в граничную точку <math>z_0</math>{{sfn|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|loc=стб. 1031}}.

Альтернативное определение: '''''барьер, или граничное свойство,''''' граничной точки <math>z_0 \in \partial D</math> [[Область (математика)|области]] <math>D \subset \C^n</math> комплексного пространства <math>\C^n</math> — свойство граничной точки <math>z_0</math> такое, что для любого [[Компактное множество|компактного множества]] <math>K \subset D</math> и любого числа <math>\epsilon > 0</math> существует некоторая функция <math>f_{z_0}(z)</math>, голоморфная в области <math>D</math>, причём <math>\|f_{z_0}(z)\|_K = \max_{z \in K} |f_{z_0}(z)| \leqslant 1</math> и <math>|g(z)| > 1</math> в некоторой точке <math>z \in U(z_0,\, \epsilon)</math> окрестности <math>U(z_0,\, \epsilon)</math> точки <math>z_0</math>{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 155}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 117}}.

'''Теорема 1.''' ''Любая выпуклая область есть область голоморфности{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=27. Понятие области голоморфности, с. 157}}{{sfn|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|loc=Глава V. Особенности в граничных точках, § 1. Неограниченные функции, с. 119}}.''

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Бохнер С., Мартин У. Т.'' Функции многих комплексных переменных, 1951|3=
''[[Бохнер, Саломон|Бохнер С.]], {{iw|Мартин, Уильям Тед|Мартин У. Т.|en|W. T. Martin}}'' Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «[[Издательство иностранной литературы]]», 1951. 300 с.: ил. [''Salomon Bochner, William Ted Martin,'' Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
}}
* {{h|''Владимиров В. С.'' Голоморфности область, 1977|3=
''[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]]'' Голоморфная область // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «[[Советская Энциклопедия]]», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 1030—1032.
}}
* {{h|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|3=
''[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]]'' Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика [[Боголюбов, Николай Николаевич|Н. Н. Боголюбова]]. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1964. 411 с.: ил.
}}
* {{h|''Голоморфная функция'', 1988|3=
''Голоморфная функция'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 159.
}}
* {{h|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|3=
''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: [[Физматлит]], 1962. 419 с.
}}
* {{h|''Хёрмандер, Ларс.'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, 1968|3=
''[[Хёрмандер, Ларс]].'' Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. [[Чирка, Евгений Михайлович|Е. М. Чирки]], под ред. [[Шабат, Борис Владимирович|Б. В. Шабата]]. М.: «[[Мир (издательство)|Мир]]», 1968. 279 с.
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1976. 400 с.: ил.
}}
* {{h|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|3=
''{{iw|Коревар, Якоб|Jaap Korevaar|en|Jacob Korevaar}}, Jan Wiegerinck.'' Several Complex Variables. [[Амстердам|Amsterdam]]: [[Амстердамский университет|University of Amsterdam]], November 18, 2011. 260 p.
}}
* {{h|''Steven G. Krantz.'' Function Theory of Several Complex Variables, 2001|3=
''{{iw|Кранц, Стивен Дж.|Steven G. Krantz|en|Steven G. Krantz}}.'' Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. [[Провиденс|Providence, Rhode Island]]: {{iw|Chelsea Publishing Company|AMS Chelsea Publishing|en|Chelsea Publishing Company}}, 1951. 564 p. 1992 held by [[Американское математическое общество|the American Mathematical Society]]. Printed with corrections, 2001.
}}

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Многомерный комплексный анализ]]