Область голоморфности

Область голоморфности — комплексная область U такая, что для любого участка её границы в ней найдётся голоморфная функция, непродолжаемая через него

О́бласть голомо́рфности (Шаблон:Lang-enШаблон:SfnШаблон:Sfn, от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образШаблон:Sfn) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область комплексного пространства такая, что существует функция, голоморфная в этой области, но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область (точнее, не продолжаемая за пределы области)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Другими словами, область голоморфности — область комплексного пространства такая, что нет никакого участка её границы, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию, голоморфную в этой областиШаблон:Sfn, другими словами, для любого участка границы области в ней найдётся голоморфная функция, которую нельзя продолжить через этот участокШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синоним: область регулярностиШаблон:Sfn.

Область голоморфности функции — область комплексного пространства такая, что функция в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области, то есть голоморфно не продолжается за пределы областиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Область голоморфности — область голоморфности какой-нибудь функцииШаблон:Sfn, то есть максимальная область существования какой-нибудь функции $f(z)$Шаблон:Sfn.

Синонимы: область существования функцииШаблон:SfnШаблон:Sfn; естественная область определения функцииШаблон:Sfn; область регулярности функцииШаблон:Sfn.

На комплексной плоскости любая область голоморфна: всегда имеется некоторая функция, которая голоморфна в этой области и не продолжается аналитически за её границуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Но в комплексном пространстве ${ℂ}^n$, $n⩾2$, ситуация совсем другая. Например, голоморфные функции в ${ℂ}^n$ не могут иметь изолированных особенностей: особенности «распространяются» определенным образомШаблон:Sfn. В ${ℂ}^n$, $n⩾2$, не каждая область голоморфна, то есть имеются области, из которых любая голоморфная в ней функция всегда продолжается в более обширную область. Например, не логарифмически выпуклая область РейнхартаШаблон:Sfn. Также не голоморфна область с полостью, то есть вид разности множеств

$D\setminus K\subset {ℂ}^n$,

где ${ℂ}^n\supset D\supset K$ — компактное множествоШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Неправильно считать, что область голоморфности в комплексном пространстве есть просто область того же пространства, равная своему голоморфному расширению, поскольку голоморфное продолжение функции из исходной области может привести к многолистной областиШаблон:Sfn.

Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфностиШаблон:Sfn

Определения области голоморфности

Определение 1. Область голоморфности (Шаблон:Lang-enШаблон:SfnШаблон:Sfn) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ такая, что существует функция $f(z)$, голоморфная в $D$, но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область $E\supseteq D$ (точнее, не продолжаемая за пределы $D$)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Синоним: область регулярностиШаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Определение 2.Область голоморфности функции $f(z)$ — область $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ такая, что функция $f$ в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области $E\supseteq D$, то есть голоморфно не продолжается за пределы области $D$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Область голоморфности — область голоморфности $D$ какой-нибудь функции $f(z)$Шаблон:Sfn, то есть максимальная область существования какой-нибудь функции $f(z)$Шаблон:Sfn.

Множество все функций, голоморфных в области $D$, обозначается $H_D$Шаблон:Sfn, или Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒪}(D)} Шаблон:Sfn.

Синонимы: область существования функцииШаблон:SfnШаблон:Sfn; естественная область определения функцииШаблон:Sfn; область регулярности функцииШаблон:Sfn.

Область голоморфности — комплексная область U такая, что для любого участка её границы в ней найдётся голоморфная функция, непродолжаемая через него

Определение 3. Область голоморфности — область комплексного пространства $D\subset {ℂ}^n$ такая, что нет никакого участка её границы $\partial D$, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию $f(z)$, голоморфную в $D$Шаблон:Sfn, то есть для любого участка границы $\partial D$ в $D$ существует голоморфная функция $f(z)$, которую нельзя продолжить через этот участокШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Формально это определение записывается следующим образом: область голоморфности — открытое множество $U\subset {ℂ}^n$, причём не существует никаких двух открытых множеств $U_1,U_2\subset {ℂ}^n$ таких, что $\varnothing \ne U_1\subset U_2\cup U$, $U_2$ связно, $U_2\subset ̸U$, а для любой голоморфной функции $f$ в $U$ существует однозначно определённая голоморфная функция $f_2$ в $U_2$ такая, что $f=f_2$ в $U_1$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение 4. Для любой граничной точки $P\in \partial D$ области $D\subseteq {ℂ}^n$ существует некоторая голоморфная функция $f(z)$, которой голоморфно не продолжается в некоторой окрестности точки $P$Шаблон:Sfn.

Шаблон:Якорь Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфностиШаблон:Sfn

Примеры областей и функций

Единичный круг в C есть область голоморфности

Предложение 1. Единичный круг $\mathrm{\Delta }=S(0,1)$ есть область голоморфности комплексной плоскости ${ℂ}^n$ как естественная область определения следующей функцииШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$f_0(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{k!}$.

Предложение 2. Единичный круг $\mathrm{\Delta }=S(0,1)$ есть область голоморфности комплексной плоскости ${ℂ}^n$ как естественная область определения следующей функцииШаблон:Sfn:

$f_0(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}{z}^{2^k}$.

Единичный бикруг в C×C есть область голоморфности

Предложение 1. Единичный бикруг, то есть бикруг радиуса 1, ${\mathrm{\Delta }}^2(0,1)\subseteq {ℂ}^2$, есть область голоморфности комплексного пространства ${ℂ}^2$ как естественная область определения следующей функцииШаблон:Sfn:

$u(z_1,z_2)=f_0(z_1)\times f_0(z_2),$.

где функция на единичном круге

$f_0(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-k}{z}^{2^k}$.

Доказательство. Согласно предложению 2 раздела Единичный круг комплексной плоскости, функции $f_0(z_1)$ и $f_0(z_2)$ голоморфны в единичных кругах комплексных плоскостей, поэтому функция $u(z_1,z_2)$ голоморфна по совокупности переменных в единичном бикруге по теореме Хартогса как прямое произведение голоморфных функций и голоморфно не продолжается ни в какую бо́льшую областьШаблон:Sfn.□

Если бы эта простая конструкция из прямого произведения была единственным способом построения голоморфных областей в комплексных пространствах нескольких переменных, то было бы мало оснований для изучения этого предмета. Но в действительности характеристика областей голоморфности нескольких комплексных переменных достаточно хитроумна. Например, в доказательстве того, что единичный шар $B^n(0,1)\subseteq {ℂ}^n$ есть голоморфная область, прямое произведение не поможетШаблон:Sfn.

Слой бикруга в C×C не является областью голоморфности

Теорема 1. Шаблон:Iw (Шаблон:Iw). Каждая голоморфная функция в следующей области с полостью, то есть в выпуклом слое бикруга,

$\mathrm{\Omega }\equiv {\mathrm{\Delta }}^2(0,3)\setminus {\overline{\mathrm{\Delta }}}^2(0,1)\subseteq {ℂ}^2$

голоморфно продолжается в область без полости ${\mathrm{\Delta }}^2(0,3)$Шаблон:Sfn.

Сферический слой в C×R не является областью голоморфности

Здесь используется метод, который базируется на интегральной формуле Коши для комплексной плоскости. При этом необходимо, чтобы исследуемая голоморфная функция зависела как минимум от двух переменных, причём как минимум одна переменная комплексная. Комплексная переменная нужна не только для использования метода, но и сами результаты могут оказаться неверны в случае отсутствия комплексной переменнойШаблон:Sfn.

Два следующих условия существенны при данном использовании метода: 1) наличие в каждой комплексной плоскости, параллельной координатной, контура интегрирования, вдоль которого голоморфная функция в сферическом слое голоморфна; 2) существование некоторой точки, в окрестности которой равны голоморфные функции в шаровом слое и в шареШаблон:Sfn.

Пример из раздела «Сферический слой в C×С не является областью голоморфности» есть небольшая модификация данного примераШаблон:Sfn.

Теорема 1. Функция $f(z,u)$, голоморфная в сферическом слое

$S=\{(z,u)\in ℂ\times ℝ:(R-ϵ{)}^2<|z{|}^2+u^2<(R+ϵ{)}^2\},$

голоморфна в шаре

$\tilde{S}=\{(z,u)\in ℂ\times ℝ:|z{|}^2+u^2<(R+ϵ{)}^2\},$

то есть область $\tilde{S}$ есть голоморфное расширение области $S$Шаблон:Sfn.

Сферический слой в C×С не является областью голоморфности

Данный пример есть небольшая модификация примера из раздела «Сферический слой в C×R не является областью голоморфности»Шаблон:Sfn.

Теорема 1. Любая функция $f(z)$, голоморфная в шаре с полостью, то есть в сферическом слое

$S=\{z=(z_1,z_2)\in ℂ\times ℂ:\frac{1}{2}<|z|<1\},$

голоморфна в большей области, шаре $|z|<1$, точнее, допускает голоморфное продолжение в шар $|z|<1$, то есть область $S$ не может быть областью голоморфности никакой функцииШаблон:Sfn.

Достаточные условия области голоморфности

Рассмотрим простые достаточные условия, характеризующие области голоморфностиШаблон:Sfn.

Барьер, или граничное свойство, граничной точки $z_0\in \partial D$ области $D\subset {ℂ}^n$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ — функция $f_{z_0}(z)$, которая голоморфна в области $D$, но не продолжается голоморфно в граничную точку $z_0$Шаблон:Sfn.

Альтернативное определение: барьер, или граничное свойство, граничной точки $z_0\in \partial D$ области $D\subset {ℂ}^n$ комплексного пространства ${ℂ}^n$ — свойство граничной точки $z_0$ такое, что для любого компактного множества $K\subset D$ и любого числа $ϵ>0$ существует некоторая функция $f_{z_0}(z)$, голоморфная в области $D$, причём $\Vert f_{z_0}(z){\Vert }_K=\underset{z\in K}{\max }|f_{z_0}(z)|⩽1$ и $|g(z)|>1$ в некоторой точке $z\in U(z_0,ϵ)$ окрестности $U(z_0,ϵ)$ точки $z_0$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Теорема 1. Любая выпуклая область есть область голоморфностиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H