Просмотр кода страницы Обобщённый собственный вектор

{{Не путать|Обобщённая задача нахождения собственных значений}}

'''Обобщённый собственный вектор''' <math>n\times n</math> [[Матрица (математика)|матрицы]] <math>A</math> — [[Вектор (математика)|вектор]], который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) [[Собственный вектор|собственных векторов]]{{sfn|Bronson|1970|с=189}}.

Пусть <math>V</math> будет <math>n</math>-мерным [[Векторное пространство|векторным пространством]]. Пусть <math>\phi</math> будет [[Линейное отображение|линейным отображением]] в <math>L(V)</math>, множества всех линейных отображений из <math>V</math> в себя. Пусть <math>A</math> будет матричным представлением отображения <math>\phi</math> для некоторого упорядоченного [[базис]]а.

Может не существовать полного набора <math>n</math> [[Линейная независимость|линейно независимых]] собственных векторов матрицы <math>A</math>, которые образуют полный базис для <math>V</math>. То есть, матрица <math>A</math> не может быть [[Диагонализируемая матрица|диагонализирована]]{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=310}}{{sfn|Nering|1970|с=118}}. Это происходит, когда [[алгебраическая кратность]] по меньшей мере одного [[Собственное значение|собственного значения]] <math>\lambda_i</math> больше, чем его [[геометрическая кратность]] ([[Ядро (линейная алгебра)|степень вырожденности]] матрицы <math>(A-\lambda_i E)</math>, или [[Векторное пространство#Связанные определения и свойства|размерность]] его ядра). В этом случае <math>\lambda_i</math> называется {{не переведено 5| Дефектная матрица |дефектным собственным значением||defective eigenvalue}}, а сама матрица <math>A</math> называется {{не переведено 5| Дефектная матрица |дефектной матрицей||defective matrix}}{{sfn|Golub, Van Loan|1996|с=316}}.

Обобщённый собственный вектор <math>x_i</math>, соответствующий <math>\lambda_i</math>, вместе с матрицей <math>(A-\lambda_i E)</math> образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для [[Инвариантное подпространство|инвариантного подпространства]] пространства <math>V</math>{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=319}}{{sfn|Bronson|1970|с=194–195}}{{sfn|Golub, Van Loan|1996|с=311}}.

Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы <math>A</math> может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для <math>V</math>{{sfn|Bronson|1970|с=196}}. Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» <math>J</math> в [[Жорданова матрица|жордановой нормальной форме]], [[Подобные матрицы|подобной]] матрице <math>A</math>, что применяется при вычислении определённых [[Матричная функция|матричных функций]] от <math>A</math>{{sfn|Bronson|1970|с=189}}. Матрица <math>J</math> также применяется при решении [[Обыкновенное дифференциальное уравнение|системы линейных дифференциальных уравнений]] <math>\mathbf x' = A \mathbf x</math>, где <math>A</math> не обязательно диагонализируема{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=316–318}}{{sfn|Nering|1970|с=118}}.

Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению <math>\lambda</math>, равна алгебраической кратности <math>\lambda</math>{{sfn|Bronson|1970|с=196}}.

== Обзор и определение ==
Имеется несколько эквивалентных путей определения '''обычного собственного вектора'''{{sfn|Anton|1987|с=301–302}}{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=266}}{{sfn|Burden, Faires|1993|с=401}}{{sfn|Golub, Van Loan|1996|с=310–311}}{{sfn|Harper|1976|с=58}}{{sfn|Herstein|1964|с=225}}{{sfn|Kreyszig|1972|с=273,684}}{{sfn|Nering|1970|с=104}}. Для наших целей собственным вектором <math>\mathbf u</math>, ассоциированным с собственным значением <math>\lambda</math> <math>n \times n</math> матрицы <math>A</math>, является ненулевой вектор, для которого <math>(A - \lambda E) \mathbf u = \mathbf 0</math>, где <math>E</math> является <math>n \times n</math> [[Единичная матрица|единичной матрицей]], а <math>\mathbf 0</math> является [[Нулевой вектор|нулевым вектором]] длины <math>n</math>{{sfn|Burden, Faires|1993|с=401}}. То есть, <math>\mathbf u</math> является [[Ядро (линейная алгебра)|ядром]] [[Линейное отображение|преобразования]] <math>(A - \lambda E)</math>. Если <math>A</math> имеет <math>n</math> линейно независимых собственных векторов, то <math>A</math> подобна диагональной матрице <math>D</math>. То есть, существует [[невырожденная матрица]] <math>M</math>, такая что <math>A</math> диагонализируема с помощью преобразование подобия <math>D = M^{-1}AM</math>{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=270–274}}{{sfn|Bronson|1970|с=179–183}}. Матрица <math>D</math> называется {{не переведено 5|Модальная матрица|спектральной матрицей||spectral matrix}} матрицы <math>A</math>. Матрица <math>M</math> называется {{не переведено 5|Модальная матрица|модальной матрицей||modal matrix}} матрицы <math>A</math>{{sfn|Bronson|1970|с=181}}. Диагонализируемые матрицы представляют определённый интерес, поскольку матричные функции от неё могут быть легко вычислены{{sfn|Bronson|1970|с=179}}.

С другой стороны, если матрица <math>A</math> не имеет <math>n</math> линейно независимых собственных векторов, ассоциированных с ней, то <math>A</math> не диагонализируема{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=270–274}}{{sfn|Bronson|1970|с=179–183}}.

'''Определение:''' Вектор <math>\mathbf x_m</math> является '''обобщённым собственным вектором ранга''' <math>m</math> матрицы <math>A</math>, соответствующим собственному значению <math>\lambda</math>, если:

:<math>(A - \lambda E)^m \mathbf x_m = \mathbf 0~,</math>

но

:<math>(A - \lambda E)^{m-1} \mathbf x_m \ne \mathbf 0 ~.</math> {{sfn|Bronson|1970|с=189}}.

Обобщённый собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором{{sfn|Bronson|1970|с=190,202}}. Любая <math>n \times n</math> матрица <math>A</math> имеет <math>n</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов, ассоциированных с ней, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице <math>J</math> в жордановой нормальной форме{{sfn|Bronson|1970|с =189,203}}. То есть, существует обратимая матрица <math>M</math>, такая что <math>J = M^{-1}AM</math>{{sfn|Bronson|1970|с =206–207}}. Матрица <math>M</math> в этом случае называется {{не переведено 5|Модальная матрица|обобщённой модальной матрицей||generalized modal matrix}} <!-- https://studfile.net/preview/718704/page:2/ -->матрицы <math>A</math>{{sfn|Bronson|1970|с =205}}. Если <math>\lambda</math> является собственным значением с алгебраической кратностью <math>\mu</math>, то <math>A</math> будет иметь <math>\mu</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов, соответствующих <math>\lambda</math>{{sfn|Bronson|1970|с =196}}. Эти результаты, в свою очередь, предоставляют метод вычисления определённых матричных функций от <math>A</math>{{sfn|Bronson|1970|с =189,209–215}}.

{{anchor|Note}}''Примечание'': Для того, что бы <math>n \times n</math> матрица <math>A</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>F</math> могла быть выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения матрицы <math>A</math> должны быть в <math>F</math>. То есть, [[Характеристический многочлен матрицы|характеристический многочлен]] <math>f(x)</math> должен разлагаться полностью на линейные множители. Альтернативный пример: если матрица <math>A</math> состоит из [[Вещественное число|вещественных]] элементов, может оказаться, что собственные значения и компоненты собственных векторов будут содержать [[Комплексное число|мнимые значения]]{{sfn|Golub, Van Loan|1996|с=316}}{{sfn|Herstein|1964|с=259}}{{sfn|Nering|1970|с=118}}.

[[Линейная оболочка]] всех обобщённых собственных векторов для данного <math> \lambda </math> образует '''обобщённое собственное пространство''' для <math> \lambda </math>{{sfn|Nering|1970|с=118}}.

== Примеры ==
Несколько примеров для иллюстрации концепции обобщённых собственных векторов. Некоторые детали будут описаны ниже.

=== Пример 1 ===
Представленный ниже тип матрицы часто используется в учебниках{{sfn|Nering|1970|с=118}}{{sfn|Herstein|1964|с=261}}{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=310}}.
Возьмём матрицу
:<math> A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}~. </math>
Тогда имеется только одно собственное значение, <math> \lambda = 1</math>, и его алгебраическая кратность <math>m = 2</math>.

Заметим, что эта матрица имеет жорданову нормальную форму, но не [[Диагональная матрица|диагональна]]. Следовательно, эта матрица не диагонализируема. Поскольку [[Матрица (математика)#Другие диагонали матрицы|наддиагональ]] содержит один элемент, имеется один обобщённый собственный вектор ранга, большего 1 (заметим, что векторное пространство <math> V </math> имеет размерность 2, так что может быть не более одного обобщённого собственного вектора ранга, большего 1). Можно также вычислить размерность [[Ядро (линейная алгебра)|ядра]] матрицы <math> A - \lambda E </math>, которая равняется <math>p = 1</math>, тогда имеется <math>m - p = 1</math> обобщённых собственных векторов ранга, большего 1.

Обыкновенный собственный вектор <math> \mathbf v_1=\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}</math> вычисляется стандартным методом (см. статью [[Собственный вектор]]). Используя этот собственный вектор определяется обобщённый собственный вектор <math> \mathbf v_2 </math> путём решения уравнения:

:<math> (A-\lambda E) \mathbf v_2 = \mathbf v_1~. </math>
Выписывая значения:
:<math> \left(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}~.</math>
Это выражение упрощается до:

:<math> v_{22}= 1~. </math>

Элемент <math>v_{21}</math> не имеет ограничений. Обобщённый собственный вектор ранга 2 равен тогда <math> \mathbf v_2=\begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix}</math>, где <math>a</math> может иметь любое скалярное значение. Выбор <math>a = 0</math> является, как правило, простейшим.

При этом:

:<math> (A-\lambda E) \mathbf v_2 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf v_1~,</math>

так что <math> \mathbf v_2 </math> является обобщённым собственным вектором,

:<math> (A-\lambda E) \mathbf v_1 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf 0~,</math>

так что <math> \mathbf v_1 </math> является обычным собственным вектором, а <math> \mathbf v_1</math> и <math> \mathbf v_2</math> являются линейно независимыми, и, следовательно, образуют базис для векторного пространства <math> V </math>.

=== Пример 2 ===
Следующий пример несколько сложнее [[#Пример 1|примера 1]], но также небольшого размера{{sfn|Nering|1970|с=122,123}}.
Матрица

:<math>A = \begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 2 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 2
\end{pmatrix}</math>

имеет ''собственные значения'' <math> \lambda_1 = 1 </math> и <math> \lambda_2 = 2 </math> с ''алгебраическими кратностями'' <math> \mu_1 = 2 </math> и <math> \mu_2 = 3 </math>, но ''геометрические кратности'' будут равны <math> \gamma_1 = 1 </math> и<math> \gamma_2 = 1</math>.

''Обобщённое собственное подпространство'' матрицы <math>A</math> вычисляется ниже.
<math> \mathbf x_1 </math> является обычным собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_1 </math>.
<math> \mathbf x_2 </math> является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_1 </math>.
<math> \mathbf y_1 </math> является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_2 </math>.
<math> \mathbf y_2 </math> и <math> \mathbf y_3 </math> являются обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с <math> \lambda_2 </math>.

:<math>(A-1 E) \mathbf x_1
 = \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf 0 ~,</math>

:<math>(A - 1 E) \mathbf x_2
 = \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3
\end{pmatrix} = \mathbf x_1 ~,</math>

:<math>(A - 2 E) \mathbf y_1
 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf 0 ~,</math>

:<math>(A - 2 E) \mathbf y_2 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix} = \mathbf y_1 ~,</math>

:<math>(A - 2 E) \mathbf y_3 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf y_2 ~.</math>

Получаем базис для каждого из ''обобщённых собственных пространств'' матрицы <math>A</math>.
Вместе линейные комбинации двух ''цепочек'' обобщённых собственных векторов заполняют пространство всех 5-мерных векторов-столбцов:

:<math>
\left\{ \mathbf x_1, \mathbf x_2 \right\} =
\left\{
\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} 
\right\}~,
\left\{ \mathbf y_1, \mathbf y_2, \mathbf y_3 \right\} =
\left\{ 
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
\right\}~.
</math>

«Почти диагональная» матрица <math>J</math> в ''жордановой нормальной форме'', подобная <math>A</math>, получается следующим образом:

:<math>
M =
\begin{pmatrix} \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 & \mathbf y_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 &  1 & 0 &0& 0 \\
3 &  -15 & 0 &0& 0 \\
-9 &  30 & 0 &0& 1 \\
9 &  -1 & 0 &3& -2 \\
-3 &  -45 & 9 &0& 0
\end{pmatrix}~,</math>
:<math>J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}~,
</math>

где <math>M</math> является {{не переведено 5|Модальная матрица|обобщённой модальной матрицей||generalized modal matrix}} матрицы <math>A</math>, столбцы матрицы <math>M</math> являются {{не переведено 5|Канонический базис|каноническим базисом||Canonical basis}} матрицы <math>A</math>, и <math>AM = MJ</math>{{sfn|Bronson|1970|с =189–209}}.

== Цепочки Жордана ==
'''Определение:''' Пусть <math>\mathbf x_m</math> будет обобщённым собственным вектором ранга <math>m</math>, соответствующим матрице <math>A</math> и собственному значению <math>\lambda</math>. '''Цепочка, образованная''' вектором <math>\mathbf x_m</math> — это набор векторов <math>\left\{ \mathbf x_m, \mathbf x_{m-1}, \dots , \mathbf x_1 \right\}</math>, определённых выражением:
{{EF|:|
<math> \mathbf x_{m-1} = (A - \lambda E) \mathbf x_m~, </math><br />
<math> \mathbf x_{m-2} = (A - \lambda E)^2 \mathbf x_m = (A - \lambda E) \mathbf x_{m-1}~, </math><br />
<math> \mathbf x_{m-3} = (A - \lambda E)^3 \mathbf x_m = (A - \lambda E) \mathbf x_{m-2}~, </math><br />
::<math> \vdots </math>
<math> \mathbf x_1 = (A - \lambda E)^{m-1} \mathbf x_m = (A - \lambda E) \mathbf x_2~. </math>
|ref=1}}
Тогда:
{{EF|:|<math> \mathbf x_j = (A - \lambda E)^{m-j} \mathbf x_m = (A - \lambda E) \mathbf x_{j+1} \qquad (j = 1, 2, \dots , m - 1)~. </math>|ref=2}}
Вектор <math>\mathbf x_j </math>, заданный формулой ({{Eqref |2}}), является обобщённым собственным вектором ранга <math>j</math>, соответствующим собственному значению <math>\lambda</math>. Цепочка является набором линейно независимых векторов{{sfn|Bronson|1970|с =194–195}}.

== Канонический базис ==
{{Основная статья|Канонический базис#Линейная алгебра}}
'''Определение:''' Набор <math>n</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов является '''каноническим базисом''', если набор полностью состоит из цепочек Жордана.

Таким образом, если обобщённый собственный вектор ранга <math>m</math> находится в каноническом базисе, то <math>m - 1</math> векторов <math> \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots , \mathbf x_1 </math>, находящихся в цепочке Жордана, образованной <math> \mathbf x_m </math>, также находятся в каноническом базисе{{sfn|Bronson|1970|с =196,197}}.

Пусть <math> \lambda_i </math> будет собственным значением матрицы <math>A</math> с алгебраической кратностью <math> \mu_i </math>. Найдём (матричные) [[Ранг матрицы|ранги]] матриц <math> (A - \lambda_i E), (A - \lambda_i E)^2, \ldots , (A - \lambda_i E)^{m_i} </math>. Целое число <math>m_i</math> определяется как ''первое число'', для которого <math> (A - \lambda_i R)^{m_i} </math> имеет ранг <math>n - \mu_i </math> (здесь <math>n</math> равно числу строк или столбцов матрицы <math>A</math>, то есть, матрица <math>A</math> имеет размер <math>n \times n</math>).

Далее определим:

:<math> \rho_k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots , m_i)~.</math>

Переменная <math> \rho_k </math> обозначает число линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга <math>k</math>, соответствующих собственному значению <math> \lambda_i </math>, которые появятся в каноническом базисе матрицы <math>A</math>. При этом:

:<math> \operatorname{rank}(A - \lambda_i E)^0 = \operatorname{rank}(E) = n </math>{{sfn|Bronson|1970|с =197,198}}.

== Вычисление обобщённых собственных векторов ==
В предыдущих разделах представлены техники получения <math>n</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов канонического базиса для векторного пространства <math>V</math>, ассоциированного с <math>n \times n</math> матрицей <math>A</math>. Эти техники могут быть собраны в процедуре:

:Решаем [[Характеристический многочлен матрицы|характеристический многочлен]] матрицы <math>A</math>, чтобы получить собственные значения <math> \lambda_i </math> и их алгебраические кратности <math> \mu_i </math>;
:Для каждого <math> \lambda_i </math>:
::Определяем <math>n - \mu_i</math>;
::Определяем <math>m_i</math>;
::Определяем <math>\rho_k</math> для <math>(k = 1, \ldots , m_i)</math>;
::Определяем каждую жорданову цепь для <math>\lambda_i</math>.

=== Пример 3 ===
Матрица

:<math>
A = 
\begin{pmatrix}
 5 &  1 & -2 &  4 \\
 0 &  5 &  2 &  2 \\
 0 &  0 &  5 &  3 \\
 0 &  0 &  0 &  4
\end{pmatrix}
</math>

имеет собственное значение <math>\lambda_1 = 5</math> с алгебраической кратностью <math>\mu_1 = 3</math> и собственное значение <math>\lambda_2 = 4</math> с алгебраической кратностью <math>\mu_2 = 1</math>, при этом <math>n=4</math>. Для каждого <math>\lambda_1</math> выполняется: <math>n - \mu_1 = 4 - 3 = 1</math>.

:<math>
(A - 5E) =
\begin{pmatrix}
 0 &  1 & -2 &  4 \\
 0 &  0 &  2 &  2 \\
 0 &  0 &  0 &  3 \\
 0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}~,
\qquad \operatorname{rank}(A - 5E) = 3~.
</math>
:<math>
(A - 5 E)^2 =
\begin{pmatrix}
 0 &  0 &  2 & -8 \\
 0 &  0 &  0 &  4 \\
 0 &  0 &  0 & -3 \\
 0 &  0 &  0 &  1
\end{pmatrix}~,
\qquad \operatorname{rank}(A - 5E)^2 = 2~.
</math>
:<math>
(A - 5E)^3 =
\begin{pmatrix}
0 &  0 &  0 & 14 \\
 0 &  0 &  0 & -4 \\
 0 &  0 &  0 &  3 \\
 0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}~,
\qquad \operatorname{rank}(A - 5E)^3 = 1~.
</math>

Первое целое <math>m_1</math>, для которого <math>(A - 5E)^{m_1}</math> имеет ранг <math>n - \mu_1 = 1</math>, равно <math>m_1 = 3</math>.

Далее определяем:

:<math> \rho_3 = \operatorname{rank}(A - 5E)^2 - \operatorname{rank}(A - 5E)^3 = 2 - 1 = 1 ~,</math>
:<math> \rho_2 = \operatorname{rank}(A - 5E)^1 - \operatorname{rank}(A - 5E)^2 = 3 - 2 = 1 ~,</math>
:<math> \rho_1 = \operatorname{rank}(A - 5E)^0 - \operatorname{rank}(A - 5E)^1 = 4 - 3 = 1 ~.</math>

Следовательно, будет три линейно независимых обобщённых собственных вектора, по одному из рангов 3, 2 и 1. Поскольку <math>\lambda_1</math> соответствует одной цепи из трёх линейно независимых обобщённых собственных векторов, существует обобщённый собственный вектор <math> \mathbf x_3 </math> ранга 3, соответствующий <math>\lambda_1</math>, такой что:
{{EF|:::|<math>(A - 5E)^3 \mathbf x_3 = \mathbf 0~,</math>|ref=3}}
но:
{{EF|:::|<math>(A - 5E)^2 \mathbf x_3\neq \mathbf 0 ~.</math>|ref=4}}
Выражения ({{Eqref |3}}) и ({{Eqref |4}}) представляют [[Система линейных алгебраических уравнений|линейную систему]], которую можно решить относительно <math> \mathbf x_3 </math>. Пусть

:<math>
\mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
x_{31} \\
x_{32} \\
x_{33} \\
x_{34}
\end{pmatrix}~.
</math>

Тогда:

:<math>
(A - 5E)^3 \mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
 0 &  0 &  0 & 14 \\
 0 &  0 &  0 & -4 \\
 0 &  0 &  0 &  3 \\
 0 &  0 &  0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{31} \\
x_{32} \\
x_{33} \\
x_{34}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
14 x_{34} \\
-4 x_{34} \\
 3 x_{34} \\
-  x_{34}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}
</math>

и

:<math>
(A - 5E)^2 \mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
 0 &  0 &  2 & -8 \\
 0 &  0 &  0 &  4 \\
 0 &  0 &  0 & -3 \\
 0 &  0 &  0 &  1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_{31} \\
x_{32} \\
x_{33} \\
x_{34}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
 2 x_{33} - 8 x_{34} \\
 4 x_{34} \\
-3 x_{34} \\
    x_{34}
\end{pmatrix} \ne 
\begin{pmatrix}
 0 \\
 0 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}~.
</math>

Тогда, чтобы удовлетворить условиям ({{Eqref |3}}) и ({{Eqref |4}}), необходимо иметь <math>x_{34} = 0</math> и <math>x_{33} \ne 0</math>. Никакие ограничения не накладываются на <math>x_{31}</math> и <math>x_{32}</math>. Выбрав <math>x_{31} = x_{32} = x_{34} = 0, x_{33} = 1</math>, получим:

:<math>
\mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
0 \\
 0 \\
 1 \\
 0
\end{pmatrix}~,
</math>

как обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий <math> \lambda_1 = 5 </math>. Можно получить бесконечно много других обобщённых собственных векторов ранга 3, выбрав другие значения <math>x_{31}</math>, <math>x_{32}</math> и <math>x_{33}</math> при <math>x_{33} \ne 0</math>. Сделанный выбор, однако, самый простой{{sfn|Bronson|1970|с =190–191}}.

Теперь, используя равенства ({{Eqref |1}}), получим <math> \mathbf x_2 </math> и <math> \mathbf x_1 </math> как обобщённые собственные векторе ранга 2 и 1 соответственно, где:

:<math>
\mathbf x_2 = (A - 5E) \mathbf x_3 = 
\begin{pmatrix}
-2 \\
 2 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}
</math>

и

:<math>
\mathbf x_1 = (A - 5E) \mathbf x_2 = 
\begin{pmatrix}
 2 \\
 0 \\
 0 \\
 0
\end{pmatrix}~.
</math>

[[Собственный вектор|Некратное собственное значение]] <math>\lambda_2 = 4</math> может быть вычислено с помощью стандартных техник и оно соответствует обычному собственному вектору:

:<math>
\mathbf y_1 = 
\begin{pmatrix}
-14 \\
  4 \\
 -3 \\
  1
\end{pmatrix}~.
</math>

Каноническим базисом матрицы <math>A</math> будет:

:<math>
\left\{ \mathbf x_3, \mathbf x_2, \mathbf x_1, \mathbf y_1 \right\} =
\left\{
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}
\right\}~.
</math>

<math> \mathbf x_1, \mathbf x_2 </math> и <math> \mathbf x_3 </math> будут обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с <math> \lambda_1 </math>, в то время как <math> \mathbf y_1 </math> является обычным собственным вектором, ассоциированным с <math> \lambda_2 </math>.

Это довольно простой пример. В общем случае количества <math>\rho_k</math> линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга <math>k</math> не всегда будут одинаковыми. То есть, могут быть цепочки с разными длинами соответствующих собственных значений{{sfn|Bronson|1970|с=197–198}}.

== Обобщённая модальная матрица ==
{{Основная статья|Обобщённая модальная матрица}}
Пусть <math>A</math> является <math>n \times n</math> матрицей. '''Обобщённая модальная матрица''' <math>M</math> для <math>A</math> — это <math>n \times n</math> матрица, столбцы которой, рассматриваемые как вектора, образуют канонический базис матрицы <math>A</math> и появляются в <math>M</math> по следующим правилам:

* Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть, длиной в один вектор) появляются в первом столбце матрицы <math>M</math>.
* Все вектора одной цепочки появляются вместе в смежных столбцах матрицы <math>M</math>.
* Каждая цепочка появляется в <math>M</math> в порядке увеличения ранга (то есть, обобщённый собственный вектор ранга 1 появляется до обобщённого собственного вектора ранга 2 той же цепочки, этот вектор появляется до обобщённого собственного вектора ранга 3 той же цепочки, и т. д.){{sfn|Bronson|1970|с =205}}.

== Жорданова нормальная форма ==
[[Файл:Jordan blocks.svg|right|thumb|250px|Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Серые блоки называются блоками Жордана.]]
{{Основная статья|Жорданова нормальная форма}}
Пусть <math>V</math> является <math>n</math>-мерным векторным пространством. Пусть <math>\phi</math> будет линейным отображением из <math>L(V</math>''')''', множества всех линейных отображений из <math>V</math> в себя. Пусть <math>A</math> будет матричным представлением <math>\phi</math> для некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если [[Характеристический многочлен матрицы|характеристический многочлен]] <math>f(\lambda)</math> матрицы <math>A</math> разлагается на линейные множители, так что <math>f(\lambda)</math> имеет вид:

:<math> f(\lambda) = \pm (\lambda - \lambda_1)^{\mu_1}(\lambda - \lambda_2)^{\mu_2} \cdots (\lambda - \lambda_r)^{\mu_r} ~,</math>

где <math> \lambda_1, \lambda_2, \ldots , \lambda_r </math> являются различными собственными значениями <math>A</math>, то каждое <math>\mu_i</math> является алгебраической кратностью соответствующего собственного значения <math>\lambda_i</math>, а <math>A</math> подобна матрице <math>J</math> в '''жордановой нормальной форме''', где каждая <math>\lambda_i</math> появляется <math>\mu_i</math> раз последовательно на диагонали. При этом элемент непосредственно над каждой <math>\lambda_i</math> (то есть, на [[Матрица (математика)#Другие диагонали матрицы|наддиагонали]]) равен либо 0, либо 1 — элементы, выше первого вхождения каждой <math>\lambda_i</math> всегда равны 0; все другие элементы на наддиагонали равны 1. При этом все другие элементы вне диагонали и наддиагонали равны 0. Матрица <math>J</math> наиболее близка к диагонализации матрицы <math>A</math>. Если матрица <math>A</math> диагонализируема, все элементы выше диагонали равны нулю {{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=311}}. Заметим, что в некоторых книгах единицы располагаются на поддиагонали, то есть, непосредственно под главной диагонали, а не на наддиагонали. Собственные значения при этом остаются на главной диагонали{{sfn|Cullen|1966|с=114}}{{sfn|Franklin|1968|с=122}}.

Любая <math>n \times n</math> матрица <math>A</math> подобна матрице <math>J</math> в жордановой нормальной форме, которая получается посредством преобразований подобия <math> J = M^{-1}AM </math>, где <math>M</math> является обобщённой модальной матрицей матрицы <math>A</math>{{sfn|Bronson|1970|с =207}} (См. [[#Примечание|Примечание]] выше).

=== Пример 4 ===
Найдём матрицу в жордановой нормальной форме, которая подобна матрице:

:<math>
A = 
\begin{pmatrix}
 0 &  4 &  2 \\
-3 &  8 &  3 \\
 4 & -8 & -2
\end{pmatrix}~.
</math>

'''Решение:''' Характеристическое уравнение матрицы <math>A</math> — <math>(\lambda - 2)^3 = 0</math>, следовательно, <math>\lambda_1 = 2</math> является единственным собственным значением с алгебраической кратностью <math>\mu_1 = 3</math>. Следуя процедуре из предыдущего раздела, находим что:

:<math> \operatorname{rank}(A - 2E) = 1</math>

и

:<math>\operatorname{rank}(A - 2E)^2 = 0 = n - \mu_1 ~.</math>

Тогда <math>\rho_2 = 1</math> и <math>\rho_1 = 2</math>, откуда следует, что канонический базис матрицы <math>A</math> будет содержать один линейно независимый обобщённый собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщённых собственных вектора ранга 1, или, что эквивалентно: одну цепочку из двух векторов <math> \left\{ \mathbf x_2, \mathbf x_1 \right\} </math> и одну цепочку векторов <math> \left\{ \mathbf y_1 \right\} </math>. Обозначив <math> M = \begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 \end{pmatrix} </math>, получим:

:<math>
M = 
\begin{pmatrix}
 2 &  2 &  0 \\
 1 &  3 &  0 \\
 0 & -4 &  1
\end{pmatrix}
</math>

и

:<math>
J = 
\begin{pmatrix}
 2 &  0 &  0 \\
 0 &  2 &  1 \\
 0 &  0 &  2
\end{pmatrix}~,
</math>

где <math>M</math> является обобщённой модальной матрицей матрицы <math>A</math>, столбцы матрицы <math>M</math> являются каноническим базисом матрицы <math>A</math>, и <math>AM = MJ</math>{{sfn|Bronson|1970|с=208}}. Поскольку обобщённые собственные векторы сами по себе не единственны, и поскольку некоторые из столбцов матриц <math>M</math> и <math>J</math> могут быть обменены, то отсюда следует, что как матрица <math>M</math>, так и <math>J</math> не уникальны{{sfn|Bronson|1970|с=206}}.

=== Пример 5 ===
В [[#Пример 3|Примере 3]] был найден канонический базис линейно независимых обобщённых собственных векторов матрицы <math>A</math>. Обобщённая модальная матрица матрицы <math>A</math> равна:

:<math>
M =
\begin{pmatrix} \mathbf y_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
-14 &   2 &  -2 &   0 \\
   4 &   0 &   2 &   0 \\
  -3 &   0 &   0 &   1 \\
   1 &   0 &   0 &   0
\end{pmatrix}~.</math>

Матрица в жордановой нормальной форме, подобная матрице <math>A</math>, равна:

:<math>J = \begin{pmatrix}
 4 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  5 &  1 &  0 \\
 0 &  0 &  5 &  1 \\
 0 &  0 &  0 &  5
\end{pmatrix}~,
</math>

так что <math>AM = MJ</math>.

== Приложения ==

=== Матричные функции ===
{{Основная статья|Матричная функция}}
Три главные операции, которые можно проводить с [[Квадратная матрица|квадратными матрицами]] — это сложение матриц, умножение на скаляр и матричное умножение{{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=57–61}}. Это в точности те операции, которые нужны для определения [[Многочлен|полиномиальной]] функции от <math>n \times n</math> матрицы <math>A</math>{{sfn|Bronson|1970|с=104}}. Многие функции могут быть представлены в виде [[Ряд Маклорена|ряда Маклорена]], Следовательно, можно определить более общие функции от матриц{{sfn|Bronson|1970|с=105}}. Если матрица <math>A</math> диагонализируема, то есть:

:<math> D = M^{-1}AM ~,</math>

с

:<math>
D = 
\begin{pmatrix}
 \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
     0 &  \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots &     \vdots & \ddots & \vdots \\
     0 &          0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}~,
</math>

тогда:

:<math>
D^k = 
\begin{pmatrix}
 \lambda_1^k &           0 & \cdots & 0 \\
           0 & \lambda_2^k & \cdots & 0 \\
      \vdots &      \vdots & \ddots & \vdots \\
           0 &           0 & \cdots & \lambda_n^k
\end{pmatrix}~,
</math>

и суммирование ряда Маклорена функции <math>A</math> сильно упрощается {{sfn|Bronson|1970|с=184}}. Например, для получения любой степени ''k'' матрицы <math>A</math>, нужно лишь вычислить <math>D^k</math>, умножив затем слева матрицу <math>D^k</math> на <math>M</math>, а затем справа на <math>M^{-1}</math>{{sfn|Bronson|1970|с=185}}.

С помощью обобщённых собственных векторов можно получить жорданову нормальную форму матрицы <math>A</math> и эти результаты можно обобщить для получения прямого метода вычисления функций от недиагонализируемых матриц{{sfn|Bronson|1970|с=209–218}} (См. [[Матричная функция#Разложение Жордана|Разложение Жордана]].)

=== Дифференциальные уравнения ===
{{Основная статья|Обыкновенное дифференциальное уравнение}}
Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
{{EF|:|<math> \mathbf x' = A \mathbf x ~,</math>|ref=5}}

где:

:<math>
\mathbf x = 
\begin{pmatrix}
x_1(t) \\
x_2(t) \\
\vdots \\
x_n(t)
\end{pmatrix}~, \quad
\mathbf x' = 
\begin{pmatrix}
x_1'(t) \\
x_2'(t) \\
\vdots \\
x_n'(t)
\end{pmatrix}~,
</math> {{spaces|4}} и {{spaces|4}} <math> A = (a_{ij}) ~.</math>

Если матрица <math>A</math> диагонализируема, так что <math> a_{ij} = 0 </math> для <math>i \ne j</math>, система ({{Eqref|5}}) сводится к системе из <math>n</math> уравнений, которые принимают вид:
{{EF|:|
<math> x_1' = a_{11} x_1 </math><br />
<math> x_2' = a_{22} x_2 </math><br />
:<math> \vdots </math>
<math> x_n' = a_{nn} x_n ~.</math>
|ref=6}}

В этом случае общее решение задаётся выражениями:

:<math> x_1 = k_1 e^{a_{11}t} </math>
:<math> x_2 = k_2 e^{a_{22}t} </math>
::<math> \vdots </math>
:<math> x_n = k_n e^{a_{nn}t} ~.</math>

В общем случае следует диагонализировать матрицу <math>A</math> и свести систему ({{Eqref |5}}) к системе вида ({{Eqref |6}}) как указано ниже. Если матрица <math>A</math> диагонализируема, имеем <math> D = M^{-1}AM </math>, где <math>M</math> является модальной матрицей матрицы <math>A</math>. После подстановки <math> A = MDM^{-1} </math> равенство ({{Eqref |5}}) принимает вид <math> M^{-1} \mathbf x' = D(M^{-1} \mathbf x) </math>, или:
{{EF|:|<math> \mathbf y' = D \mathbf y ~,</math>|ref=7}}

где:
{{EF|:|<math> \mathbf x = M \mathbf y ~.</math>|ref=8}}

Решением уравнения ({{Eqref |7}}) будет:

:<math> y_1 = k_1 e^{\lambda_1 t} </math>
:<math> y_2 = k_2 e^{\lambda_2 t} </math>
::<math> \vdots </math>
:<math> y_n = k_n e^{\lambda_n t} ~.</math>

Решение <math> \mathbf x </math> системы ({{Eqref |5}}) получается тогда с помощью отношения ({{Eqref |8}}){{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=274–275}}.

С другой стороны, если матрица <math>A</math> не диагонализируема, выберем в качестве матрицы <math>M</math> обобщённую модальную матрицу для матрицы <math>A</math>, так что <math> J = M^{-1}AM </math> является жордановой нормальной формой матрицы <math>A</math>. Система <math> \mathbf y' = J \mathbf y </math> имеет вид:
{{EF|::|
<math>
\begin{align}
y_1' & = \lambda_1 y_1 + \epsilon_1 y_2 \\
& \vdots \\
y_{n-1}' & = \lambda_{n-1} y_{n-1} + \epsilon_{n-1} y_n \\
y_n' & = \lambda_n y_n ~,
\end{align}
</math>
|ref=9}}

где значениями <math> \lambda_i </math> являются собственные значения с главной диагонали матрицы <math>J</math>, а значениями <math>\epsilon_i</math> будут единицы и нули с наддиагонали матрицы <math>J</math>. Систему ({{Eqref |9}}) часто решить проще, чем ({{Eqref |5}}), например, по следующей схеме:

Решая последнее равенство в ({{Eqref |9}}) относительно <math>y_n</math> получаем <math>y_n = k_n e^{\lambda_n t} </math>. Подставляя полученное значение <math>y_n</math> в предпоследнее равенство в ({{Eqref |9}}), решаем его относительно <math>y_{n-1}</math>. Продолжая этот процесс, пройдём по всем равенствам ({{Eqref |9}}) от последнего до первого, решая тем самым всю систему уравнений. Решение <math> \mathbf x </math> тогда получается из отношений ({{Eqref |8}}){{sfn|Beauregard, Fraleigh|1973|с=317}}.

==Примечания== 
{{примечания|2}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга 
|ref= Anton 
|автор= Anton Howard
|год=1987 
|isbn= 0-471-84819-0 
|заглавие= Elementary Linear Algebra 
|издание= 5th 
|издательство= [[John Wiley & Sons|Wiley]] 
|место=New York 
}}
* {{книга 
|ref=Axler
|автор=Sheldon Axler 
|заглавие=Linear Algebra Done Right
|издательство=Springer
|год=1997
|издание=2nd
|isbn=978-0-387-98258-8
}}
* {{книга 
|автор=Raymond A. Beauregard, John B. Fraleigh
|ref= Beauregard, Fraleigh 
|год=1973 
|isbn=0-395-14017-X 
|заглавие=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields 
|издательство=[[Houghton Mifflin Co.]] 
|место=Boston 
|ссылка=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
}}
* {{книга 
|автор=Richard Bronson
|ref=Bronson 
|год=1970 
|lccn= 70097490 
|заглавие=Matrix Methods: An Introduction 
|ссылка=https://archive.org/details/matrixmethodsint0000bron
|издательство=[[Academic Press]] 
|место=New York 
}}
* {{книга 
|автор=Richard L. Burden, J. Douglas Faires
|ref=Burden, Faires
|год=1993
|isbn=0-534-93219-3
|заглавие=Numerical Analysis
|издание=5th 
|издательство=[[Prindle, Weber and Schmidt]] 
|место=Boston 
|ссылка= https://archive.org/details/numericalanalysi00burd 
}}
* {{книга 
|автор=Charles G. Cullen
|ref=Cullen 
|заглавие=Matrices and Linear Transformations 
|ссылка=https://archive.org/details/isbn_9780201012255
|место= Reading 
|издательство=[[Addison-Wesley]] 
|год=1966 
|lccn= 66021267
}}
* {{книга 
|автор=Joel N. Franklin
|ref=Franklin 
|заглавие= Matrix Theory 
|место= Englewood Cliffs 
|издательство=[[Prentice-Hall]] 
|год=1968 
|lccn=68016345
}}
* {{книга 
|автор=Gene H. Golub, Charles F. Van Loan
|ref=Golub, Van Loan 
|год=1996 
|isbn=0-8018-5414-8 
|заглавие= Matrix Computations 
|издание=3rd 
|издательство=[[Johns Hopkins University Press]] 
|место=Baltimore 
}}
** Перевод {{книга
|автор=Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун
|заглавие=Матричные вычисления
|издательство= «Мир»
|год=1999
|место=М.
|isbn=5-03-002406-9
}}
*{{книга
|автор=Charlie Harper
|ref=Harper 
|год=1976 
|isbn=0-13-487538-9
|заглавие=Introduction to Mathematical Physics 
|ссылка=https://archive.org/details/introductiontoma0000harp
|издательство= [[Prentice-Hall]] 
|место=New Jersey
}}
*{{книга
|автор=Herstein I. N.
|ref=Herstein
|год=1964 
|isbn=978-1114541016
|заглавие=Topics In Algebra
|издательство= [[Blaisdell Publishing Company]]
|место=Waltham 
}}
* {{книга
|автор=Erwin Kreyszig
|ref=Kreyszig
|год=1972
|isbn=0-471-50728-8
|заглавие=Advanced Engineering Mathematics
|издание= 3rd 
|издательство= [[John Wiley & Sons|Wiley]]
|место=New York
|ссылка=https://archive.org/details/advancedengineer00krey
}}
* {{книга 
|автор=Evar D. Nering
|ref=Nering
|год=1970
|заглавие=Linear Algebra and Matrix Theory
|ссылка=https://archive.org/details/linearalgebramat0000neri_l0g8
|издание= 2nd 
|издательство= [[John Wiley & Sons|Wiley]]
|место=New York 
|lccn= 76091646 
}}
{{refend}}

{{Векторы и матрицы|collapsed}}
{{Разделы математики|collapsed}}

{{rq|checktranslate}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Матрицы]]