Обобщённый собственный вектор

Обобщённый собственный вектор $n\times n$ матрицы $A$ — вектор, который удовлетворяет определённым критериям, которые слабее, чем критерии для (обычных) собственных векторовШаблон:Sfn.

Пусть $V$ будет $n$-мерным векторным пространством. Пусть $\varphi$ будет линейным отображением в $L(V)$, множества всех линейных отображений из $V$ в себя. Пусть $A$ будет матричным представлением отображения $\varphi$ для некоторого упорядоченного базиса.

Может не существовать полного набора $n$ линейно независимых собственных векторов матрицы $A$, которые образуют полный базис для $V$. То есть, матрица $A$ не может быть диагонализированаШаблон:SfnШаблон:Sfn. Это происходит, когда алгебраическая кратность по меньшей мере одного собственного значения ${\lambda }_i$ больше, чем его геометрическая кратность (степень вырожденности матрицы $(A-{\lambda }_{i}E)$, или размерность его ядра). В этом случае ${\lambda }_i$ называется Шаблон:Не переведено 5, а сама матрица $A$ называется Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Обобщённый собственный вектор $x_i$, соответствующий ${\lambda }_i$, вместе с матрицей $(A-{\lambda }_{i}E)$ образует цепочку Жордана линейно независимых обобщённых собственных векторов, которые образуют базис для инвариантного подпространства пространства $V$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Используя обобщённые собственные векторы, множество линейно независимых собственных векторов матрицы $A$ может быть расширено, если необходимо, до полного базиса для $V$Шаблон:Sfn. Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» $J$ в жордановой нормальной форме, подобной матрице $A$, что применяется при вычислении определённых матричных функций от $A$Шаблон:Sfn. Матрица $J$ также применяется при решении системы линейных дифференциальных уравнений ${𝐱}^{\prime }=A𝐱$, где $A$ не обязательно диагонализируемаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Размерность обобщённого собственного пространства, соответствующего заданному собственному значению $\lambda$, равна алгебраической кратности $\lambda$Шаблон:Sfn.

Обзор и определение

Имеется несколько эквивалентных путей определения обычного собственного вектораШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Для наших целей собственным вектором $𝐮$, ассоциированным с собственным значением $\lambda$ $n\times n$ матрицы $A$, является ненулевой вектор, для которого $(A-\lambda E)𝐮=\mathrm{𝟎}$, где $E$ является $n\times n$ единичной матрицей, а $\mathrm{𝟎}$ является нулевым вектором длины $n$Шаблон:Sfn. То есть, $𝐮$ является ядром преобразования $(A-\lambda E)$. Если $A$ имеет $n$ линейно независимых собственных векторов, то $A$ подобна диагональной матрице $D$. То есть, существует невырожденная матрица $M$, такая что $A$ диагонализируема с помощью преобразование подобия $D=M^{-1}AM$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Матрица $D$ называется Шаблон:Не переведено 5 матрицы $A$. Матрица $M$ называется Шаблон:Не переведено 5 матрицы $A$Шаблон:Sfn. Диагонализируемые матрицы представляют определённый интерес, поскольку матричные функции от неё могут быть легко вычисленыШаблон:Sfn.

С другой стороны, если матрица $A$ не имеет $n$ линейно независимых собственных векторов, ассоциированных с ней, то $A$ не диагонализируемаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определение: Вектор ${𝐱}_m$ является обобщённым собственным вектором ранга $m$ матрицы $A$, соответствующим собственному значению $\lambda$, если:

$(A-\lambda E{)}^m{𝐱}_m=\mathrm{𝟎},$

но

$(A-\lambda E{)}^{m-1}{𝐱}_m\ne \mathrm{𝟎}.$ Шаблон:Sfn.

Обобщённый собственный вектор ранга 1 является обычным собственным векторомШаблон:Sfn. Любая $n\times n$ матрица $A$ имеет $n$ линейно независимых обобщённых собственных векторов, ассоциированных с ней, и можно показать, что она подобна «почти диагональной» матрице $J$ в жордановой нормальной формеШаблон:Sfn. То есть, существует обратимая матрица $M$, такая что $J=M^{-1}AM$Шаблон:Sfn. Матрица $M$ в этом случае называется Шаблон:Не переведено 5 матрицы $A$Шаблон:Sfn. Если $\lambda$ является собственным значением с алгебраической кратностью $\mu$, то $A$ будет иметь $\mu$ линейно независимых обобщённых собственных векторов, соответствующих $\lambda$Шаблон:Sfn. Эти результаты, в свою очередь, предоставляют метод вычисления определённых матричных функций от $A$Шаблон:Sfn.

Шаблон:AnchorПримечание: Для того, что бы $n\times n$ матрица $A$ над полем $F$ могла быть выражена в жордановой нормальной форме, все собственные значения матрицы $A$ должны быть в $F$. То есть, характеристический многочлен $f(x)$ должен разлагаться полностью на линейные множители. Альтернативный пример: если матрица $A$ состоит из вещественных элементов, может оказаться, что собственные значения и компоненты собственных векторов будут содержать мнимые значенияШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Линейная оболочка всех обобщённых собственных векторов для данного $\lambda$ образует обобщённое собственное пространство для $\lambda$Шаблон:Sfn.

Примеры

Несколько примеров для иллюстрации концепции обобщённых собственных векторов. Некоторые детали будут описаны ниже.

Пример 1

Представленный ниже тип матрицы часто используется в учебникахШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Возьмём матрицу

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$

Тогда имеется только одно собственное значение, $\lambda =1$, и его алгебраическая кратность $m=2$.

Заметим, что эта матрица имеет жорданову нормальную форму, но не диагональна. Следовательно, эта матрица не диагонализируема. Поскольку наддиагональ содержит один элемент, имеется один обобщённый собственный вектор ранга, большего 1 (заметим, что векторное пространство $V$ имеет размерность 2, так что может быть не более одного обобщённого собственного вектора ранга, большего 1). Можно также вычислить размерность ядра матрицы $A-\lambda E$, которая равняется $p=1$, тогда имеется $m-p=1$ обобщённых собственных векторов ранга, большего 1.

Обыкновенный собственный вектор ${𝐯}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ вычисляется стандартным методом (см. статью Собственный вектор). Используя этот собственный вектор определяется обобщённый собственный вектор ${𝐯}_2$ путём решения уравнения:

$(A-\lambda E){𝐯}_2={𝐯}_1.$

Выписывая значения:

$(\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)-1\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right))\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$

Это выражение упрощается до:

$v_{22}=1.$

Элемент $v_{21}$ не имеет ограничений. Обобщённый собственный вектор ранга 2 равен тогда ${𝐯}_2=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)$, где $a$ может иметь любое скалярное значение. Выбор $a=0$ является, как правило, простейшим.

При этом:

$(A-\lambda E){𝐯}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)={𝐯}_1,$

так что ${𝐯}_2$ является обобщённым собственным вектором,

$(A-\lambda E){𝐯}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

так что ${𝐯}_1$ является обычным собственным вектором, а ${𝐯}_1$ и ${𝐯}_2$ являются линейно независимыми, и, следовательно, образуют базис для векторного пространства $V$.

Пример 2

Следующий пример несколько сложнее примера 1, но также небольшого размераШаблон:Sfn. Матрица

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 3& 1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 2& 0& 0\\ 10& 6& 3& 2& 0\\ 15& 10& 6& 3& 2\end{array}\right)$

имеет собственные значения ${\lambda }_1=1$ и ${\lambda }_2=2$ с алгебраическими кратностями ${\mu }_1=2$ и ${\mu }_2=3$, но геометрические кратности будут равны ${\gamma }_1=1$ и${\gamma }_2=1$.

Обобщённое собственное подпространство матрицы $A$ вычисляется ниже. ${𝐱}_1$ является обычным собственным вектором, ассоциированным с ${\lambda }_1$. ${𝐱}_2$ является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с ${\lambda }_1$. ${𝐲}_1$ является обобщённым собственным вектором, ассоциированным с ${\lambda }_2$. ${𝐲}_2$ и ${𝐲}_3$ являются обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с ${\lambda }_2$.

$(A-1E){𝐱}_1=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 3& 1& 0& 0\\ 10& 6& 3& 1& 0\\ 15& 10& 6& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

$(A-1E){𝐱}_2=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0& 0\\ 6& 3& 1& 0& 0\\ 10& 6& 3& 1& 0\\ 15& 10& 6& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 30\\ -1\\ -45\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)={𝐱}_1,$

$(A-2E){𝐲}_1=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\mathrm{𝟎},$

$(A-2E){𝐲}_2=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)={𝐲}_1,$

$(A-2E){𝐲}_3=\left(\begin{array}{ccccc}-1& 0& 0& 0& 0\\ 3& -1& 0& 0& 0\\ 6& 3& 0& 0& 0\\ 10& 6& 3& 0& 0\\ 15& 10& 6& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)={𝐲}_2.$

Получаем базис для каждого из обобщённых собственных пространств матрицы $A$. Вместе линейные комбинации двух цепочек обобщённых собственных векторов заполняют пространство всех 5-мерных векторов-столбцов:

$\{{𝐱}_1,{𝐱}_2\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ -9\\ 9\\ -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -15\\ 30\\ -1\\ -45\end{array}\right)\right\},\{{𝐲}_1,{𝐲}_2,{𝐲}_3\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -2\\ 0\end{array}\right)\right\}.$

«Почти диагональная» матрица $J$ в жордановой нормальной форме, подобная $A$, получается следующим образом:

$M=\left(\begin{array}{ccccc}{𝐱}_1& {𝐱}_2& {𝐲}_1& {𝐲}_2& {𝐲}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 3& -15& 0& 0& 0\\ -9& 30& 0& 0& 1\\ 9& -1& 0& 3& -2\\ -3& -45& 9& 0& 0\end{array}\right),$

$J=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{array}\right),$

где $M$ является Шаблон:Не переведено 5 матрицы $A$, столбцы матрицы $M$ являются Шаблон:Не переведено 5 матрицы $A$, и $AM=MJ$Шаблон:Sfn.

Цепочки Жордана

Определение: Пусть ${𝐱}_m$ будет обобщённым собственным вектором ранга $m$, соответствующим матрице $A$ и собственному значению $\lambda$. Цепочка, образованная вектором ${𝐱}_m$ — это набор векторов $\{{𝐱}_m,{𝐱}_{m-1},\dots ,{𝐱}_1\}$, определённых выражением: Шаблон:EF Тогда: Шаблон:EF Вектор ${𝐱}_j$, заданный формулой (Шаблон:Eqref), является обобщённым собственным вектором ранга $j$, соответствующим собственному значению $\lambda$. Цепочка является набором линейно независимых векторовШаблон:Sfn.

Канонический базис

Шаблон:Основная статья Определение: Набор $n$ линейно независимых обобщённых собственных векторов является каноническим базисом, если набор полностью состоит из цепочек Жордана.

Таким образом, если обобщённый собственный вектор ранга $m$ находится в каноническом базисе, то $m-1$ векторов ${𝐱}_{m-1},{𝐱}_{m-2},\dots ,{𝐱}_1$, находящихся в цепочке Жордана, образованной ${𝐱}_m$, также находятся в каноническом базисеШаблон:Sfn.

Пусть ${\lambda }_i$ будет собственным значением матрицы $A$ с алгебраической кратностью ${\mu }_i$. Найдём (матричные) ранги матриц $(A-{\lambda }_{i}E),(A-{\lambda }_{i}E{)}^2,\dots ,(A-{\lambda }_{i}E{)}^{m_i}$. Целое число $m_i$ определяется как первое число, для которого $(A-{\lambda }_{i}R{)}^{m_i}$ имеет ранг $n-{\mu }_i$ (здесь $n$ равно числу строк или столбцов матрицы $A$, то есть, матрица $A$ имеет размер $n\times n$).

Далее определим:

${\rho }_k=\mathrm{rank}(A-{\lambda }_{i}E{)}^{k-1}-\mathrm{rank}(A-{\lambda }_{i}E{)}^k(k=1,2,\dots ,m_i).$

Переменная ${\rho }_k$ обозначает число линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга $k$, соответствующих собственному значению ${\lambda }_i$, которые появятся в каноническом базисе матрицы $A$. При этом:

$\mathrm{rank}(A-{\lambda }_{i}E{)}^0=\mathrm{rank}(E)=n$Шаблон:Sfn.

Вычисление обобщённых собственных векторов

В предыдущих разделах представлены техники получения $n$ линейно независимых обобщённых собственных векторов канонического базиса для векторного пространства $V$, ассоциированного с $n\times n$ матрицей $A$. Эти техники могут быть собраны в процедуре:

Решаем характеристический многочлен матрицы $A$, чтобы получить собственные значения ${\lambda }_i$ и их алгебраические кратности ${\mu }_i$;

Для каждого ${\lambda }_i$:

Определяем $n-{\mu }_i$;

Определяем $m_i$;

Определяем ${\rho }_k$ для $(k=1,\dots ,m_i)$;

Определяем каждую жорданову цепь для ${\lambda }_i$.

Пример 3

Матрица

$A=\left(\begin{array}{cccc}5& 1& -2& 4\\ 0& 5& 2& 2\\ 0& 0& 5& 3\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$

имеет собственное значение ${\lambda }_1=5$ с алгебраической кратностью ${\mu }_1=3$ и собственное значение ${\lambda }_2=4$ с алгебраической кратностью ${\mu }_2=1$, при этом $n=4$. Для каждого ${\lambda }_1$ выполняется: $n-{\mu }_1=4-3=1$.

$(A-5E)=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -2& 4\\ 0& 0& 2& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),\mathrm{rank}(A-5E)=3.$

$(A-5E{)}^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 2& -8\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),\mathrm{rank}(A-5E{)}^2=2.$

$(A-5E{)}^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 14\\ 0& 0& 0& -4\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),\mathrm{rank}(A-5E{)}^3=1.$

Первое целое $m_1$, для которого $(A-5E{)}^{m_1}$ имеет ранг $n-{\mu }_1=1$, равно $m_1=3$.

Далее определяем:

${\rho }_3=\mathrm{rank}(A-5E{)}^2-\mathrm{rank}(A-5E{)}^3=2-1=1,$

${\rho }_2=\mathrm{rank}(A-5E{)}^1-\mathrm{rank}(A-5E{)}^2=3-2=1,$

${\rho }_1=\mathrm{rank}(A-5E{)}^0-\mathrm{rank}(A-5E{)}^1=4-3=1.$

Следовательно, будет три линейно независимых обобщённых собственных вектора, по одному из рангов 3, 2 и 1. Поскольку ${\lambda }_1$ соответствует одной цепи из трёх линейно независимых обобщённых собственных векторов, существует обобщённый собственный вектор ${𝐱}_3$ ранга 3, соответствующий ${\lambda }_1$, такой что: Шаблон:EF но: Шаблон:EF Выражения (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref) представляют линейную систему, которую можно решить относительно ${𝐱}_3$. Пусть

${𝐱}_3=\left(\begin{array}{c}{x}_{31}\\ x_{32}\\ x_{33}\\ x_{34}\end{array}\right).$

Тогда:

$(A-5E{)}^3{𝐱}_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 14\\ 0& 0& 0& -4\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{31}\\ x_{32}\\ x_{33}\\ x_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14x_{34}\\ -4x_{34}\\ 3x_{34}\\ -x_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

и

$(A-5E{)}^2{𝐱}_3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 2& -8\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{31}\\ x_{32}\\ x_{33}\\ x_{34}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x_{33}-8x_{34}\\ 4x_{34}\\ -3x_{34}\\ x_{34}\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Тогда, чтобы удовлетворить условиям (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref), необходимо иметь $x_{34}=0$ и $x_{33}\ne 0$. Никакие ограничения не накладываются на $x_{31}$ и $x_{32}$. Выбрав $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$, получим:

${𝐱}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),$

как обобщённый собственный вектор ранга 3, соответствующий ${\lambda }_1=5$. Можно получить бесконечно много других обобщённых собственных векторов ранга 3, выбрав другие значения $x_{31}$, $x_{32}$ и $x_{33}$ при $x_{33}\ne 0$. Сделанный выбор, однако, самый простойШаблон:Sfn.

Теперь, используя равенства (Шаблон:Eqref), получим ${𝐱}_2$ и ${𝐱}_1$ как обобщённые собственные векторе ранга 2 и 1 соответственно, где:

${𝐱}_2=(A-5E){𝐱}_3=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

и

${𝐱}_1=(A-5E){𝐱}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right).$

Некратное собственное значение ${\lambda }_2=4$ может быть вычислено с помощью стандартных техник и оно соответствует обычному собственному вектору:

${𝐲}_1=\left(\begin{array}{c}-14\\ 4\\ -3\\ 1\end{array}\right).$

Каноническим базисом матрицы $A$ будет:

$\{{𝐱}_3,{𝐱}_2,{𝐱}_1,{𝐲}_1\}=\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-14\\ 4\\ -3\\ 1\end{array}\right)\right\}.$

${𝐱}_1,{𝐱}_2$ и ${𝐱}_3$ будут обобщёнными собственными векторами, ассоциированными с ${\lambda }_1$, в то время как ${𝐲}_1$ является обычным собственным вектором, ассоциированным с ${\lambda }_2$.

Это довольно простой пример. В общем случае количества ${\rho }_k$ линейно независимых обобщённых собственных векторов ранга $k$ не всегда будут одинаковыми. То есть, могут быть цепочки с разными длинами соответствующих собственных значенийШаблон:Sfn.

Обобщённая модальная матрица

Шаблон:Основная статья Пусть $A$ является $n\times n$ матрицей. Обобщённая модальная матрица $M$ для $A$ — это $n\times n$ матрица, столбцы которой, рассматриваемые как вектора, образуют канонический базис матрицы $A$ и появляются в $M$ по следующим правилам:

• Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (то есть, длиной в один вектор) появляются в первом столбце матрицы $M$.
• Все вектора одной цепочки появляются вместе в смежных столбцах матрицы $M$.
• Каждая цепочка появляется в $M$ в порядке увеличения ранга (то есть, обобщённый собственный вектор ранга 1 появляется до обобщённого собственного вектора ранга 2 той же цепочки, этот вектор появляется до обобщённого собственного вектора ранга 3 той же цепочки, и т. д.)Шаблон:Sfn.

Жорданова нормальная форма

Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Серые блоки называются блоками Жордана.

Шаблон:Основная статья Пусть $V$ является $n$-мерным векторным пространством. Пусть $\varphi$ будет линейным отображением из $L(V$), множества всех линейных отображений из $V$ в себя. Пусть $A$ будет матричным представлением $\varphi$ для некоторого упорядоченного базиса. Можно показать, что если характеристический многочлен $f(\lambda )$ матрицы $A$ разлагается на линейные множители, так что $f(\lambda )$ имеет вид:

$f(\lambda )=\pm (\lambda -{\lambda }_1{)}^{{\mu }_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{{\mu }_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_r{)}^{{\mu }_r},$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_r$ являются различными собственными значениями $A$, то каждое ${\mu }_i$ является алгебраической кратностью соответствующего собственного значения ${\lambda }_i$, а $A$ подобна матрице $J$ в жордановой нормальной форме, где каждая ${\lambda }_i$ появляется ${\mu }_i$ раз последовательно на диагонали. При этом элемент непосредственно над каждой ${\lambda }_i$ (то есть, на наддиагонали) равен либо 0, либо 1 — элементы, выше первого вхождения каждой ${\lambda }_i$ всегда равны 0; все другие элементы на наддиагонали равны 1. При этом все другие элементы вне диагонали и наддиагонали равны 0. Матрица $J$ наиболее близка к диагонализации матрицы $A$. Если матрица $A$ диагонализируема, все элементы выше диагонали равны нулю Шаблон:Sfn. Заметим, что в некоторых книгах единицы располагаются на поддиагонали, то есть, непосредственно под главной диагонали, а не на наддиагонали. Собственные значения при этом остаются на главной диагоналиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Любая $n\times n$ матрица $A$ подобна матрице $J$ в жордановой нормальной форме, которая получается посредством преобразований подобия $J=M^{-1}AM$, где $M$ является обобщённой модальной матрицей матрицы $A$Шаблон:Sfn (См. Примечание выше).

Пример 4

Найдём матрицу в жордановой нормальной форме, которая подобна матрице:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 2\\ -3& 8& 3\\ 4& -8& -2\end{array}\right).$

Решение: Характеристическое уравнение матрицы $A$ — $(\lambda -2{)}^3=0$, следовательно, ${\lambda }_1=2$ является единственным собственным значением с алгебраической кратностью ${\mu }_1=3$. Следуя процедуре из предыдущего раздела, находим что:

$\mathrm{rank}(A-2E)=1$

и

$\mathrm{rank}(A-2E{)}^2=0=n-{\mu }_1.$

Тогда ${\rho }_2=1$ и ${\rho }_1=2$, откуда следует, что канонический базис матрицы $A$ будет содержать один линейно независимый обобщённый собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщённых собственных вектора ранга 1, или, что эквивалентно: одну цепочку из двух векторов $\{{𝐱}_2,{𝐱}_1\}$ и одну цепочку векторов $\left\{{𝐲}_1\right\}$. Обозначив $M=\left(\begin{array}{ccc}{𝐲}_1& {𝐱}_1& {𝐱}_2\end{array}\right)$, получим:

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 1& 3& 0\\ 0& -4& 1\end{array}\right)$

и

$J=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),$

где $M$ является обобщённой модальной матрицей матрицы $A$, столбцы матрицы $M$ являются каноническим базисом матрицы $A$, и $AM=MJ$Шаблон:Sfn. Поскольку обобщённые собственные векторы сами по себе не единственны, и поскольку некоторые из столбцов матриц $M$ и $J$ могут быть обменены, то отсюда следует, что как матрица $M$, так и $J$ не уникальныШаблон:Sfn.

Пример 5

В Примере 3 был найден канонический базис линейно независимых обобщённых собственных векторов матрицы $A$. Обобщённая модальная матрица матрицы $A$ равна:

$M=\left(\begin{array}{cccc}{𝐲}_1& {𝐱}_1& {𝐱}_2& {𝐱}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-14& 2& -2& 0\\ 4& 0& 2& 0\\ -3& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Матрица в жордановой нормальной форме, подобная матрице $A$, равна:

$J=\left(\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 0\\ 0& 5& 1& 0\\ 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right),$

так что $AM=MJ$.

Приложения

Матричные функции

Шаблон:Основная статья Три главные операции, которые можно проводить с квадратными матрицами — это сложение матриц, умножение на скаляр и матричное умножениеШаблон:Sfn. Это в точности те операции, которые нужны для определения полиномиальной функции от $n\times n$ матрицы $A$Шаблон:Sfn. Многие функции могут быть представлены в виде ряда Маклорена, Следовательно, можно определить более общие функции от матрицШаблон:Sfn. Если матрица $A$ диагонализируема, то есть:

$D=M^{-1}AM,$

с

$D=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right),$

тогда:

$D^k=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^k& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2^k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^k\end{array}\right),$

и суммирование ряда Маклорена функции $A$ сильно упрощается Шаблон:Sfn. Например, для получения любой степени k матрицы $A$, нужно лишь вычислить $D^k$, умножив затем слева матрицу $D^k$ на $M$, а затем справа на $M^{-1}$Шаблон:Sfn.

С помощью обобщённых собственных векторов можно получить жорданову нормальную форму матрицы $A$ и эти результаты можно обобщить для получения прямого метода вычисления функций от недиагонализируемых матрицШаблон:Sfn (См. Разложение Жордана.)

Дифференциальные уравнения

Шаблон:Основная статья Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений: Шаблон:EF

где:

$𝐱=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_n(t)\end{array}\right),{𝐱}^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }(t)\\ {x_2}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {x_n}^{\prime }(t)\end{array}\right),$ Шаблон:Spaces и Шаблон:Spaces $A=(a_{ij}).$

Если матрица $A$ диагонализируема, так что $a_{ij}=0$ для $i\ne j$, система (Шаблон:Eqref) сводится к системе из $n$ уравнений, которые принимают вид: Шаблон:EF

В этом случае общее решение задаётся выражениями:

$x_1=k_1{e}^{a_{11}t}$

$x_2=k_2{e}^{a_{22}t}$

$⋮$

$x_n=k_n{e}^{a_{nn}t}.$

В общем случае следует диагонализировать матрицу $A$ и свести систему (Шаблон:Eqref) к системе вида (Шаблон:Eqref) как указано ниже. Если матрица $A$ диагонализируема, имеем $D=M^{-1}AM$, где $M$ является модальной матрицей матрицы $A$. После подстановки $A=MD{M}^{-1}$ равенство (Шаблон:Eqref) принимает вид $M^{-1}{𝐱}^{\prime }=D(M^{-1}𝐱)$, или: Шаблон:EF

где: Шаблон:EF

Решением уравнения (Шаблон:Eqref) будет:

$y_1=k_1{e}^{{\lambda }_{1}t}$

$y_2=k_2{e}^{{\lambda }_{2}t}$

$⋮$

$y_n=k_n{e}^{{\lambda }_{n}t}.$

Решение $𝐱$ системы (Шаблон:Eqref) получается тогда с помощью отношения (Шаблон:Eqref)Шаблон:Sfn.

С другой стороны, если матрица $A$ не диагонализируема, выберем в качестве матрицы $M$ обобщённую модальную матрицу для матрицы $A$, так что $J=M^{-1}AM$ является жордановой нормальной формой матрицы $A$. Система ${𝐲}^{\prime }=J𝐲$ имеет вид: Шаблон:EF

где значениями ${\lambda }_i$ являются собственные значения с главной диагонали матрицы $J$, а значениями ${ϵ}_i$ будут единицы и нули с наддиагонали матрицы $J$. Систему (Шаблон:Eqref) часто решить проще, чем (Шаблон:Eqref), например, по следующей схеме:

Решая последнее равенство в (Шаблон:Eqref) относительно $y_n$ получаем $y_n=k_n{e}^{{\lambda }_{n}t}$. Подставляя полученное значение $y_n$ в предпоследнее равенство в (Шаблон:Eqref), решаем его относительно $y_{n-1}$. Продолжая этот процесс, пройдём по всем равенствам (Шаблон:Eqref) от последнего до первого, решая тем самым всю систему уравнений. Решение $𝐱$ тогда получается из отношений (Шаблон:Eqref)Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Перевод Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга