Просмотр кода страницы Обратные тригонометрические функции

'''Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции''' (''круговые функции'', ''аркфункции'') — [[Функция (математика)|математические функции]], являющиеся [[Обратная функция|обратными]] к [[Тригонометрические функции|тригонометрическим функциям]]. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
* арксинус (обозначение: <math>\arcsin x;</math> число, синус которого равен <math>x</math>)
* арккосинус (обозначение: <math>\arccos x;</math> число, косинус которого равен <math>x</math> и т. д.)
* арктангенс (обозначение: <math>\operatorname{arctg} x</math>; в иностранной литературе <math>\arctan x</math>)
* арккотангенс (обозначение: <math>\operatorname{arcctg} x</math>; в иностранной литературе <math>\arccot x</math> или (намного реже) <math>\operatorname{arccotan} x</math>)
* арксеканс (обозначение: <math>\arcsec x</math>)
* арккосеканс (обозначение: <math>\operatorname{arccosec} x</math>; в иностранной литературе <math>\arccsc x</math>)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от {{lang-la|'''arc'''us}} — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с [[Длина дуги|длиной]] [[дуга окружности|дуги]] [[Единичная окружность|единичной окружности]] (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика XVIII века [[Шерфер, Карл|Карла Шерфера]] и закрепилась благодаря [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжу]]. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал [[Бернулли, Даниил|Даниил Бернулли]] в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: <math>\sin^{-1}, \frac{1}{\sin},</math> но они не прижились<ref>{{книга
|автор=Александрова Н. В. |заглавие=История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник,  изд. 3-е
|ссылка=https://archive.org/details/isbn_9785382008394 |издательство=ЛКИ |место=СПб. |год=2008 |страницы=[https://archive.org/details/isbn_9785382008394/page/n210 211] |isbn=978-5-382-00839-4 }}</ref>.
Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin{{sup|−1}}, cos{{sup|−1}} для арксинуса, арккосинуса и т. п.<ref>Здесь знак {{sup|−1}} определяет функцию {{math|''x'' {{=}} ''f''{{sup|−1}} (''y''),}} [[Обратная функция|обратную]] функции {{math|''y'' {{=}} ''f'' (''x'')}}</ref>, — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов ([[Дуга окружности|дуг]]), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, <math>\arcsin 1/2</math> означает множество углов <math>\left ( \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6} \dots ~ (30^\circ, 150^\circ, 390^\circ, 510^\circ \dots) \right )</math>, синус которых равен <math>1/2</math>. Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии <math>-1 \leqslant \alpha \leqslant 1</math> все решения уравнения <math>\sin x = \alpha</math> можно представить в виде <math>x = (-1)^n \arcsin \alpha + \pi n, ~ n = 0, \pm1, \pm2, \dots ~ .</math>{{sfn|Энциклопедический словарь|1985|loc=|p=|pp=|s=|S=|с=220|g=|name=}}
<!--__NOTOC__-->

== Основное соотношение ==
: <math>\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}</math>

: <math>\operatorname {arctg}\, x + \operatorname {arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}</math>

== Функция arcsin ==
[[Файл:Arcsin.png|thumb|График функции <math>y = \arcsin x</math>]]
'''Аркси́нусом''' числа {{math|''x''}} называется такое значение угла {{math|''y''}}, выраженного в [[радиан]]ах, для которого <math>\sin y = x,\quad -\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},\quad |x|\leqslant 1.</math>

Функция <math>y=\arcsin x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

* <math>\sin (\arcsin x) = x\qquad</math> при <math>-1 \leqslant x \leqslant 1,</math>
* <math>\arcsin(\sin y) = y\qquad</math> при <math>-\frac{\pi}{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2},</math>
* <math>D(\arcsin x)=[-1; 1]\qquad</math> (область определения),
* <math>E(\arcsin x) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\qquad</math> (область значений).

=== Свойства функции arcsin ===
* <math>\arcsin (-x) = -\arcsin x \qquad</math> (функция является [[нечётная функция|нечётной]]).
* <math>\arcsin x>0</math> при <math>0 < x \leqslant 1</math>.
* <math>\arcsin x = 0</math> при <math>x=0.</math>
* <math>\arcsin x < 0</math> при <math>-1 \leqslant x < 0.</math>
* <math>\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arccos x.</math>
* <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \arccos \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 
\\ -\arccos \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.</math>
* <math>\arcsin x = \operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math>
* <math>\arcsin x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\ \operatorname{arcctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}-\pi,\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}\right.</math>

=== Получение функции arcsin ===
Дана функция <math>y=\sin x</math>. На всей своей [[Функция (математика)|области определения]] она является [[Монотонная функция|кусочно-монотонной]], и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие <math>y= \arcsin x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок <math>[-\pi/2; \pi/2]</math>, на котором функция <math>y=\sin x</math> строго монотонно возрастает и принимает все значения своей [[Функция (математика)|области значений]] только один раз. Тогда на отрезке <math>[-\pi/2; \pi/2]</math> существует [[обратная функция]] <math>y=\arcsin x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\sin x</math> относительно [[Линейная функция|прямой]] <math>y=x</math>.

== Функция arccos ==
[[Файл:Arccos function.png|thumb|График функции <math>y=\arccos x</math>]]
'''Аркко́синусом''' числа {{math|''x''}} называется такое значение угла {{math|''y''}} в радианной мере, для которого <math>\cos y = x,\qquad 0 \leqslant y \leqslant \pi,\quad |x|\leqslant 1.</math>

Функция <math>y=\arccos x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

* <math>\cos (\arccos x)=x</math> при <math>-1 \leqslant x \leqslant 1,</math>
* <math>\arccos (\cos y) = y</math> при <math>0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
* <math>D(\arccos x)=[-1; 1]</math> (область определения),
* <math>E(\arccos x)=[0; \pi]</math> (область значений).

=== Свойства функции arccos ===
* <math>\arccos(-x) = \pi - \arccos x.</math> Функция центрально-симметрична относительно точки <math>\left (0; \frac{\pi}{2}\right),</math> является [[Нечётные и чётные функции|индифферентной (ни чётной, ни нечётной)]].
* <math>\arccos x > 0</math> при <math>-1 \leqslant x < 1.</math>
* <math>\arccos x = 0</math> при <math>x=1.</math>
* <math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x.</math>
* <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0 
\end{matrix}\right.</math>
* <math>\arccos x = \operatorname{arcctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>
* <math>\arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1 
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}
\right.</math>
* <math>\arccos x = 2 \arcsin \sqrt \frac{1-x}{2} </math>
* <math>\arccos x = 2 \arccos \sqrt \frac{1+x}{2} </math>
* <math>\arccos x = 2 \operatorname{arctg} \sqrt \frac{1-x}{1+x}  = 2 \operatorname{arctg} \frac {\sqrt {1-x^2}}{1+x}</math>

=== Получение функции arccos ===
Дана функция <math>y=\cos x</math>. На всей своей [[Функция (математика)|области определения]] она является [[Монотонная функция|кусочно-монотонной]], и, значит, на всей числовой прямой обратное соответствие <math>y=\arccos x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок <math>[0; \pi]</math>, на котором функция <math>y=\cos x</math> строго монотонно убывает и принимает все значения своей [[Функция (математика)|области значений]] только один раз. Тогда на отрезке <math>[0; \pi]</math> существует [[обратная функция]] <math>y = \arccos x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\cos x</math> относительно [[Линейная функция|прямой]] <math>y=x</math>.

== Функция arctg ==
[[Файл:Arctangent-ru.svg|thumb|500px|График функции <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math>]]
'''Аркта́нгенсом''' числа {{math|''x''}} называется такое значение угла <math>y,</math> выраженное в [[радиан]]ах, для которого <math>\operatorname{tg} y = x, \quad -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.</math>

Функция <math>y=\operatorname{arctg} x</math> определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

* <math>\operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x</math> при <math>x \in \mathbb R,</math>
* <math>\operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y</math> при <math>-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},</math>
* <math>D(\operatorname{arctg}\,x) = (-\infty; \infty)</math> (область определения),
* <math>E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)</math> (область значений).

=== Свойства функции arctg ===
* <math>\operatorname{arctg} (- x) = -\operatorname{arctg} x \qquad</math> (функция является [[нечётная функция|нечётной]]).
* <math> \operatorname{arctg} x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. </math>
* <math>\operatorname{arctg} x = \left\{\begin{matrix} \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad  x \geqslant 0 
\\-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.</math>
* <math>\operatorname{arctg} x = 2\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1}=2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}.</math>
* <math>\operatorname{arctg} x = \pi/2-\operatorname{arcctg} x.</math>
* <math>\operatorname{arctg} x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg} \frac{1}{x},\qquad  x > 0 
\\ \operatorname{arcctg} \frac{1}{x} -\pi,\qquad  x < 0\end{matrix}\right.</math>
* <math> \operatorname{arctg} x = -i \operatorname{arth} {ix} </math>, где <math> \operatorname{arth} </math> — обратный гиперболический тангенс, [[ареатангенс]].
* <math> \operatorname{arth} x = i \operatorname{arctg} {ix}. </math>

=== Получение функции arctg ===
Дана функция <math>y=\operatorname{tg}\, x</math>. На всей своей [[Функция (математика)|области определения]] она является [[Монотонная функция|кусочно-монотонной]], и, значит, обратное соответствие <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал <math>(-\pi/2; \pi/2)</math>, на котором функция <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> строго монотонно возрастает и принимает все значения своей [[Функция (математика)|области значений]] только один раз. Тогда на интервале <math>(-\pi/2; \pi/2)</math> существует [[обратная функция]] <math>y=\operatorname{arctg}\, x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\operatorname{tg}\, x</math> относительно [[Линейная функция|прямой]] <math>y=x</math>.

== Функция arcctg ==
[[Файл:Arccotangent-ru.svg|500px|thumb|График функции <math>y = \operatorname{arcctg} x</math>]]
'''Арккота́нгенсом''' числа {{math|''x''}} называется такое значение угла {{math|''y''}} (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\operatorname{ctg}\,y = x,\quad 0 < y < \pi.</math>

Функция <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

* <math>\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg}\, x) = x</math> при <math>x \in \mathbb R,</math>
* <math>\operatorname{arcctg}(\operatorname{ctg}\, y) = y</math> при <math>0<y<\pi,</math>
* <math>D(\operatorname{arcctg} x) = (-\infty; \infty),</math>
* <math>E(\operatorname{arcctg} x) = (0; \pi).</math>

=== Свойства функции arcctg ===
* <math>\operatorname{arcctg} (-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x.</math> График функции центрально-симметричен относительно точки <math>\left(0; \frac{\pi}{2}\right).</math> Функция является [[Нечётные и чётные функции|индифферентной (ни чётной, ни нечётной)]].
* <math>\operatorname{arcctg} x > 0</math> при любых <math>x.</math>
* <math> \operatorname{arcctg} x = \arccos \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}. </math>
* <math>\operatorname{arcctg} x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad  x \geqslant 0 
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \leqslant 0\end{matrix}\right.</math>
* <math>\operatorname{arcctg} x = 2\operatorname{arctg} (\sqrt{x^2+1}-x)=2\operatorname{arcctg} (\sqrt{x^2+1}+x).</math>
* <math>\operatorname{arcctg} x = \pi/2-\operatorname{arctg} x.</math>
* <math>\operatorname{arcctg} x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg} \frac{1}{x},\qquad  x > 0 
\\ \operatorname{arctg} \frac{1}{x} +\pi,\qquad  x < 0\end{matrix}\right.</math>

=== Получение функции arcctg ===
Дана функция <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math>. На всей своей [[Функция (математика)|области определения]] она является [[Монотонная функция|кусочно-монотонной]], и, значит, обратное соответствие <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math> функцией не является. Поэтому рассмотрим интервал <math>(0; \pi)</math>, на котором функция <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> строго монотонно убывает и принимает все значения своей [[Функция (математика)|области значений]] только один раз. Тогда на интервале <math>(0; \pi)</math> существует [[обратная функция]] <math>y=\operatorname{arcctg}\, x</math>, график которой симметричен графику функции <math>y=\operatorname{ctg}\, x</math> относительно [[Линейная функция|прямой]] <math>y=x</math>.

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, <math>x \rightarrow -x</math>) и сместить вверх на {{math|π/2}}; это вытекает из вышеупомянутой формулы <math>\operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} (-x)+\pi/2.</math>

== Функция arcsec ==
[[Файл:Arcsecant.svg|500px|thumb|График функции <math>y = \arcsec x</math>]]
'''Арксе́кансом''' числа {{math|''x''}} называется такое значение угла {{math|''y''}} (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\sec y = x,\qquad |x| \geqslant 1,\quad 0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>

Функция <math>y=\arcsec x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

* <math>\sec (\arcsec x)=x</math> при <math>|x| \geqslant 1,</math>
* <math>\arcsec (\sec y) = y</math> при <math>0 \leqslant y \leqslant \pi.</math>
* <math>D(\arcsec x)=(-\infty; -1]\cup [1,\infty)</math> (область определения),
* <math>E(\arcsec x)=[0;\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2};\pi]</math> (область значений).

=== Свойства функции arcsec ===
* <math>\arcsec(-x) = \pi - \arcsec x.</math> График функции центрально-симметричен относительно точки <math>\left(0; \frac{\pi}{2}\right).</math> Функция является [[Нечётные и чётные функции|индифферентной (ни чётной, ни нечётной)]].
* <math>\arcsec x \geqslant 0</math> при любых <math>x.</math>
* <math>\arcsec x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},\qquad  x \geqslant 1 
\\\pi+\arcsin \frac{\sqrt{x^2-1}}{x},\qquad x \leqslant -1\end{matrix}\right.</math>
* <math>\arcsec x = \frac{\pi}{2}-\operatorname{arccosec} x.</math>
* <math>\arcsec x = \arccos  \frac{1}{x}.</math>

== Функция arccosec ==
[[Файл:Arccosecant.svg|500px|thumb|График функции <math>y = \operatorname{arccosec} x</math>]]
'''Арккосе́кансом''' числа {{math|''x''}} называется такое значение угла {{math|''y''}} (в радианной мере измерения углов), для которого <math>\operatorname{cosec} y = x,\qquad |x| \geqslant 1, \quad -\pi/2 \leqslant y \leqslant \pi/2.</math>

Функция <math>y=\operatorname{arccosec} x</math> непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

* <math>\operatorname{cosec} (\operatorname{arccosec} x)=x</math> при <math>|x| \geqslant 1,</math>
* <math>\operatorname{arccosec} (\operatorname{cosec} y) = y</math> при <math>-\pi/2 \leqslant y \leqslant \pi/2.</math>
* <math>D(\operatorname{arccosec} x)=(-\infty; -1]\cup [1,\infty)</math> (область определения),
* <math>E(\operatorname{arccosec} x)=[-\frac{\pi}{2};0)\cup(0; \frac{\pi}{2}]</math> (область значений).

=== Свойства функции arccosec ===
* <math>\operatorname{arccosec} (-x) = - \operatorname{arccosec} x</math> (функция является [[Нечётные и чётные функции|нечётной]]).
* <math>\operatorname{arccosec}\, x = \operatorname{arctg} \frac{\operatorname{sgn}x}{\sqrt{x^2-1}} = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\qquad  x > 1 
\\-\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{x^2-1}},\qquad x < -1\end{matrix}\right.</math>
* <math>\operatorname{arccosec} x = \pi/2-\arcsec x.</math>
* <math>\operatorname{arccosec} x = \arcsin \frac{1}{x}.</math>

== Разложение в ряды ==
* <math>\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1</math><ref>При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой <math>\arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2},</math> где <math>\arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x</math></ref>
* <math>\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> для всех <math> \left| x \right| \le 1</math>
* <math>\displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> для всех <math>\left| x \right| \le 1</math>

== Производные от обратных тригонометрических функций ==
Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:

[[Файл:Производные обратно тригонометрических функций.png|545px|мини|справа|производные обратных тригонометрических функций]]

{| class="wikitable"
|-
! Функция <math>f(x)</math> !! Производная <math>f'(x)</math>!! Примечание
|-
| <math>\arcsin{x}</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арксинуса можно при помощи взаимно обратных функций.<br>
<math>sin(arcsin((x)) = x</math><br>
После чего мы должны взять производную этих обеих функций.<br>
<math>[sin(arcsin((x))]' = x'</math><br>
<math>cos(arcsin(x)) \cdot (arcsin(x))' = 1</math><br>
Теперь мы должны выразить производную арксинуса.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{cos(arcsin(x))}</math><br>
Исходя из тригонометрического тождества(<math>sin^2 x + cos^2 x = 1</math>) — получаем.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{\pm\sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))}}</math><br>
Для того, чтобы понять плюс должен стоять или минус взглянем какие значения.<br>
<math>D(cos(x)) = [\frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]</math><br>
Так как косинус находится в 2-й и 4-й четвертях то, получается что косинус положительный.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 - sin^2(arcsin(x))}}</math><br>
Получается.<br>
<math>(arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>
}}
|-
| <math>\arccos{x}</math> || <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арккосинуса можно при помощи данного тождества:<br>
<math>arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}</math><br/>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br/>
<math>[arcsin(x) + arccos(x)]' = (\frac{\pi}{2})'</math><br/>
<math>(arcsin(x))' + (arccos(x))' = 0</math><br/>
Теперь выражаем производную арккосинуса.<br/>
<math>(arccos(x))' = -(arcsin(x))'</math><br/>
Получается.<br/>
<math>(arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arctg}\ x</math> || <math>\frac{1}{1+x^2}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арктангенса можно при помощи взаимнообратной функции:<br/>
<math>tg(arctg(x)) = x</math><br/>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br/>
<math>[tg(arctg(x))]' = 1</math><br/>
<math>\frac{1}{cos^2(arctg(x))} \cdot (arctg(x))' = 1</math><br/>
Теперь мы должны выразить производную арктангенса:<br/>
<math>(arctg(x))' = cos^2(arctg(x))</math><br/>
Теперь на помощь нам придет на помощь тождество(<math>cos(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2(x)}}</math>):<br/>
<math>(arctg(x))' =  (\frac{1}{\sqrt{1 + tg^2(arctg(x))}})^2</math><br/>
Получается.<br/>
<math>(arctg(x))' = \frac{1}{1 + x^2}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arcctg}\ x</math> || <math>-\frac{1}{1+x^2}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арккотангенса можно при помощи данного тождества:<br>
<math>arctg(x) + arcctg(x) = \frac{\pi}{2}</math><br/>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br/>
<math>[arctg(x) + arcctg(x)]' = (\frac{\pi}{2})'</math><br/>
<math>(arctg(x))' + (arcctg(x))' = 0</math><br/>
Теперь выражаем производную арккотангенса.<br/>
<math>(arcctg(x))' = -(arctg(x))'</math><br/>
Получается.<br/>
<math>(arcctg(x))' = -\frac{1}{1+x^2}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arcsec}\ x</math> || <math>\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:

<math>arcsec(x) = arccos(\frac{1}{x})</math>

Теперь находим производную обеих частей этого тождества.

<math>(arcsec(x))' = (arccos(\frac{1}{x}))'</math>

<math>(arcsec(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot (-\frac{1}{x^2})</math>

<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}}</math>

<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{x^2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}}</math>

Получается.

<math>(arcsec(x))' = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}</math>
}}
|-
| <math>\mathrm{arccosec}\ x</math> || <math>-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math> ||{{Hider|
  title = Доказательство&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Найти производную арккосеканса можно при помощи данного тождества:<br>
<math>arccosec(x) + arcsec(x) = \frac{\pi}{2}</math><br/>
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.<br/>
<math>[arccosec(x) + arcsec(x)]' = (\frac{\pi}{2})'</math><br/>
<math>(arccosec(x))' + (arcsec(x))' = 0</math><br/>
Теперь выражаем производную арккосинуса.<br/>
<math>(arccosec(x))' = -(arcsec(x))'</math><br/>
Получается.<br/>
<math>(arccosec(x))' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}}</math>
}}
|-
|}

== Интегралы от обратных тригонометрических функций ==

=== Неопределённые интегралы ===
Для действительных и комплексных {{math|''x''}}:
: <math>
\begin{align}
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C,\\
\int \operatorname{arctg}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arctg}\,x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\

\int \operatorname{arcctg}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcctg}\, x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C,\\
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\,\right)\!\right) + C.
\end{align}</math>

Для действительных {{math|''x''}} ≥ 1:
: <math>
\begin{align}
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C,\\
\int \operatorname{arccosec}\, x\,dx &{}= x\,\operatorname{arccosec}\, x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C.
\end{align}</math>

: '' См. также '''[[Список интегралов от обратных тригонометрических функций]]''' ''

== Использование в геометрии ==
[[Файл:Triángulo-en-círculo.svg|thumb|right|300px|[[Прямоугольный треугольник]] ''ABC'']]
Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов [[треугольник]]а, если известны его стороны, например, с помощью [[теорема косинусов|теоремы косинусов]].

В [[прямоугольный треугольник|прямоугольном треугольнике]] эти функции от отношений сторон сразу дают угол.
Так, если катет длины <math>a</math> является противолежащим для угла <math>\alpha</math>, то

<math>\alpha = \arcsin (a/c) = \arccos (b/c) = \operatorname{arctg} (a/b) = \operatorname{arccosec} (c/a) = \arcsec (c/b) = \operatorname{arcctg} (b/a).</math>

== Связь с натуральным логарифмом ==
Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

:: <math>
\arcsin z = -i \ln (iz+\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi}{2} + i\ln (z+\sqrt{z^2-1})=-i \operatorname{arsh}\, iz ,
</math>

:: <math>
\arccos z = \dfrac{\pi}{2} + i \ln (iz+\sqrt{1-z^2}) = -i\operatorname{arch} z,
</math>

:: <math>
\operatorname{arctg}z= \dfrac{i}{2} ( \ln(1-iz)-\ln(1+iz) ) = -i\operatorname{arth} iz,
</math>

:: <math>
\operatorname{arcctg}z= \dfrac{i}{2} \left( \ln \left( \dfrac{z-i}{z} \right)-\ln \left( \dfrac{z+i}{z} \right) \right) = i\operatorname{arcth} iz,
</math>

:: <math>
\arcsec z= \arccos\left(z^{-1}\right) = \dfrac{\pi}{2} + i \ln \left( \sqrt{1 +\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{1}{z} \right),
</math>

:: <math>
\operatorname{arccosec}z= \arcsin\left(z^{-1}\right) = - i \ln \left( \sqrt{1-\dfrac{1}{z^2}} + \dfrac{i}{z} \right).
</math>

== См. также ==
* [[Обратные гиперболические функции]]
* [[Теорема Данжуа — Лузина]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|InverseTrigonometricFunctions|Обратные тригонометрические функции}}
* [[Математическая энциклопедия]] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3612/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95 Т. 3. — с. 1135].
* {{из БСЭ|http://bse.sci-lib.com/article083242.html}} — М.: «Советская Энциклопедия», 1974. — Т. 18. — с. 225.
* {{книга |автор= |часть= Обратные тригонометрические функции |ссылка часть= http://yunc.org/%D0%9E%D0%91%D0%A0%D0%90%D0%A2%D0%9D%D0%AB%D0%95_%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%93%D0%9E%D0%9D%D0%9E%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%A0%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%98%D0%95_%D0%A4%D0%A3%D0%9D%D0%9A%D0%A6%D0%98%D0%98 |заглавие= Энциклопедический словарь юного математика |оригинал= |ссылка= https://ru.wikipedia.org/wiki/Энциклопедический_словарь_(Педагогика) |викитека= |ответственный= Савин А.П |издание= |место= М. |издательство= Педагогика |год= 1985 |том= |страницы= 220—221 |столбцы= |страниц= 352 |серия= |isbn= |тираж= |ref= Энциклопедический словарь}}
* [http://yotx.ru Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн]
* [https://planetcalc.ru/326/ Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции]

{{Тригонометрия}}

{{спам-ссылки|1=
* dic.academic.ru
{{Внешние ссылки}}
}}

[[Категория:Тригонометрия]]
[[Категория:Элементарные функции]]