Просмотр кода страницы Отрицательное число

[[Файл:US Navy 070317-N-3642E-379 During the warmest part of the day, a thermometer outside of the Applied Physics Laboratory Ice Station's (APLIS) mess tent still does not break out of the sub-freezing temperatures.jpg|thumb|right|{{center|Отрицательные значения на шкале [[термометр]]а}}]]
[[Файл:Elevator Negative Floor Numbers in Ireland (16785350923).jpg|thumb|upright|Отрицательная этажность в лифте.]]
'''Отрица́тельное число́''' — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с [[0 (число)|нулём]]) появилось в математике при расширении множества [[Натуральное число|натуральных чисел]]{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=111—113|name=VYG111}}. Основной целью расширения было желание сделать [[вычитание]] такой же полноценной операцией, как [[сложение]]. В рамках натуральных чисел можно вычесть только меньшее число из большего, а переместительный закон не включает вычитание — например, выражение <math>3+4-5</math> допустимо, а выражение с переставленными операндами <math>3-5+4</math> недопустимо.

Добавление к натуральным числам отрицательных чисел и нуля делает возможной операцию вычитания для любых пар натуральных чисел. В результате такого расширения получается множество ([[Кольцо (математика)|кольцо]]) «[[Целое число|целых чисел]]». При дальнейших расширениях множества целых чисел до [[Рациональное число|рациональных]] и [[Вещественное число|вещественных чисел]] для них тем же путём получаются соответствующие отрицательные значения. Для [[Комплексное число|комплексных чисел]] понятия «отрицательное число» не существует.

== Построение отрицательных чисел ==
[[Файл:Number-line.svg|center|border|frameless|715x715px|{{center|Отрицательные числа (красным) на [[Числовая ось|числовой оси]]}}]]
{{center|{{small|Положение отрицательных чисел на [[Числовая ось|числовой оси]] (выделены красным)}}}}

Для каждого натурального числа <math>n</math> существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое <math>-n</math>, которое дополняет <math>n</math> до [[Ноль|нуля]]:
: <math>n + (-n) = 0.</math>
Оба числа называются [[Противоположное число|противоположными]] друг для друга.  Далее натуральные числа  будут называться «положительными», в противовес «отрицательным». Если <math>n</math> положительно, то противоположное ему отрицательно, и наоборот. Ноль противоположен самому себе<ref name=VYG111/>. Аналогично определяются положительные и отрицательные значения для [[Рациональное число|рациональных]] и [[Вещественное число|вещественных чисел]]: каждому положительному числу <math>a</math> сопоставляется отрицательное <math>-a.</math>

[[Файл:AdditionRules.svg|thumb|upright|240px|Наглядное представление сложения положительных и отрицательных чисел. Бо́льшие кружки представляют собой числа с большей [[Абсолютная величина|абсолютной величиной]].]]
Для отрицательных чисел, как и для положительных, определена [[отношение порядка|упорядоченность]], позволяющая сравнивать одно число с другим. Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль, а также меньше, чем положительные числа. На [[числовая ось|числовой оси]] отрицательные числа располагаются слева от нуля.

[[Абсолютная величина|Абсолютной величиной]] для числа <math>a</math> называется это число с отброшенным знаком{{sfn|Справочник по элементарной математике|1978|с=114}}. Обозначение: <math>\left| a \right|.</math>
: Примеры: <math>\left| 4 \right| = 4;\ \left| -5 \right| = 5;\ \left| 0 \right| = 0</math>

[[Вычитание]] числа <math>a</math>' из другого числа <math>b</math> равносильно сложению <math>b</math> с противоположным для <math>a</math>:
: <math>b - a = b + (-a).</math>
Пример: <math>25 - 75=-50.</math>

О том, как выполнять [[арифметические операции]] с отрицательными числами, см. [[Целое число#Алгебраические свойства]].

== Свойства отрицательных чисел ==
Отрицательные числа подчиняются практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
# Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
# При умножении целых чисел действует ''правило знаков'': произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
# При умножении обеих частей [[Неравенство|неравенства]] на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, деление −24 на 5 с остатком допускает два представления:
: <math>-24 = 5 \cdot (-5) + 1; \ -24 =  5 \cdot (-4) - 4</math>
Правильным является только первое из них, в котором остаток неотрицателен.

== Вариации и обобщения ==
Понятия положительных и отрицательных чисел можно определить в любом [[Упорядоченное кольцо|упорядоченном кольце]]. Чаще всего эти понятия относятся к одной из следующих числовых систем:
* [[Целые числа]]
* [[Рациональные числа]]
* [[Вещественные числа]]
Приведенные выше свойства 1-3 имеют место и в общем случае. К [[Комплексное число|комплексным числам]] понятия «положительный» и «отрицательный» неприменимы.

== Исторический очерк ==
{{См. также|Развитие числовой системы в исламском мире}}
[[Математика в Древнем Египте|Древний Египет]], [[Вавилонская математика|Вавилон]] и [[Математика в Древней Греции|Древняя Греция]] не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял [[Диофант Александрийский|Диофант]], который в [[III век]]е уже знал ''правило знаков'' и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.

Впервые отрицательные числа были частично узаконены в классическом [[Математика в древнем Китае|китайском]] трактате «[[Математика в девяти книгах]]» (II в до н. э.), а затем (примерно с VII века) и в [[История математики в Индии|Индии]], где трактовались как долги (недостача), или, как у Диофанта (III в н. э.), признавались как временные значения. Умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик [[Брахмагупта]] ([[VII век]]) уже рассматривал их наравне с положительными, он определил все четыре операции с отрицательными числами.

В [[исламский мир]] отрицательные числа пришли из индийских работ. В X веке, [[Абу Камил]] проиллюстрировал правила знаков для раскрытия скобок в произведении выражений вида <math>(a\pm b)(c\pm d)</math>, а [[Абу Бакр аль-Караджи|аль-Караджи]] в своей книге «Аль-Фахри» отметил, что «отрицательные величины должны учитываться как отдельные члены». Позже, [[Абу-ль-Вафа аль-Бузджани|Абу аль-Вафа аль-Бузджани]] в своём труде "Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и купцов" рассматривал долги как отрицательные числа<ref name="Ismail">{{citation|last=Bin Ismail|first=Mat Rofa|author-link=Mat Rofa bin Ismail|title=Algebra in Islamic Mathematics|encyclopedia=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|volume=1|year=2008|publisher=Springer|isbn=9781402045592|editor=Helaine Selin|editor-link=Helaine Selin|page=115|edition=2nd}}</ref>. В XII веке преемники аль-Караджи, такие как [[Самуил Марокканский]], сформулировали общие правила работы с отрицательными числами и использовали их при [[Деление многочленов|делении многочленов]]<ref name="Rashed">{{Cite book|last=Rashed|first=R.|title=The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra|publisher=Springer|date=1994-06-30|pages=36–37|isbn=9780792325659}}</ref>. Термины ''positivus'' и ''negativus'' (''положительный'' и ''отрицательный'') пришли в Европу из перевода книги «''Мухаммедов трактат по арифметике''» [[Ал-Кушчи|Аль-Кушчи]].

В Европе признание наступило гораздо позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Первое описание их в европейской литературе появилось в [[Книга абака|«Книге абака»]] [[Фибоначчи|Леонарда Пизанского]] ([[1202 год]]), который трактовал отрицательные числа как долг. [[Бомбелли, Рафаэль|Бомбелли]] и [[Жирар, Альбер|Жирар]] в своих трудах считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения нехватки чего-либо. Даже в XVII веке [[Паскаль, Блез|Паскаль]] считал, что <math>0-4=0</math>, так как «ничто не может быть меньше, чем ничто»<ref>''Сухотин А. К.'' Превратности научных идей. М.: Мол. гвардия. 1991, стр. 34.</ref>. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом ([[минус]]), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В [[XVII век]]е, с появлением [[Аналитическая геометрия|аналитической геометрии]], отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на [[Числовая ось|числовой оси]], благодаря введению в 1637 г. Рене Декартом прямоугольной системы координат. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция <math>1:(-1) = (-1):1</math> — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс [[Арно, Антуан (сын)|Арно]]»). [[Валлис, Джон|Валлис]] считал, что отрицательные числа меньше нуля, но в то же время больше, чем бесконечность{{sfn |Панов В. Ф.|2006|с=399.}}. Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии. [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] в [[1831 год]]у считал нужным разъяснить, что отрицательные числа принципиально имеют те же права, что и положительные, а то, что они применимы не ко всем вещам, ничего не означает, потому что дроби тоже применимы не ко всем вещам (например, неприменимы при счёте людей)<ref>''Александрова Н. В.'' Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 164.</ref>.

Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке ([[Уильям Роуан Гамильтон|Уильям Гамильтон]] и [[Грассман, Герман Гюнтер|Герман Грассман]]).

== Знаменитые отрицательные числа ==
{| class="wikitable"
|-
! Число
! Смысл числа
! Примечания
|-
| −273,15&nbsp;°C
| [[Абсолютный нуль]] температуры
| Это ноль градусов по шкале Кельвина.
|-
| −1,602 176 565·10<sup>−19</sup> Кл
| Заряд [[электрон]]а
| [[Элементарный заряд]] может быть и положительным — у [[протон]]ов и [[позитрон]]ов.
|-
| −2,7·10<sup>−9</sup>
| [[Константа де Брёйна — Ньюмана]]
| Числовое значение — по сведениям 2000 года.
|}

== См. также ==
* [[Дополнительный код (представление числа)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978
  |заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике}}
** Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.
* {{книга |автор = [[Глейзер, Герш Исаакович|Глейзер Г. И.]] |заглавие=История математики в школе
  |ссылка = http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/school.htm
  |издательство = Просвещение |место = М. |год = 1964 |страниц = 376 }}
* {{книга |часть=Отрицательные числа |автор=Панов В. Ф. |заглавие=Математика древняя и юная
  |издание=Изд. 2-е, исправленное |место=М. |издательство=[[МГТУ им. Баумана]] |год=2006 |страниц=648
  |страницы=398—401 |ref=Панов В. Ф.|isbn=5-7038-2890-2 }}

{{ВС}}

[[Категория:Отрицательные числа|*]]