Просмотр кода страницы Пирамида (геометрия)

{{значения|Пирамида (значения)}}
[[Файл:Hexagonal pyramid.png|thumb|300px|Шестиугольная пирамида]]
'''Пирами́да''' (от {{lang-grc|πυραμίς}}, [[Родительный падеж|род. п.]] {{lang-el2|πυραμίδος}}) — [[многогранник]], одна из граней которого (называемая '''основанием''') — произвольный [[многоугольник]], а остальные грани (называемые '''боковыми гранями''') — [[треугольник]]и, имеющие общую вершину<ref>{{книга|автор=Александров А. Д., Вернер А. Л.|заглавие=Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений|издание=2-е изд|место=М.|издательство=Просвещение|год=2003|страниц=271|isbn=5-09-010773-4}}</ref>. По числу углов основания различают пирамиды треугольные ([[тетраэдр]]), четырёхугольные и т. д. Если в основании лежит {{nobr|<math>n</math>-угольник}}, пирамида называется {{nobr|<math>n</math>-угольной}}. Она имеет <math>n</math> боковых граней.

Пирамида является частным случаем [[конус]]а<ref>Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л. В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.</ref>.

== История развития пирамиды в геометрии ==
Начало геометрии пирамиды было положено в [[Древний Египет|Древнем Египте]] и [[Вавилония|Вавилоне]], однако активное развитие получило в [[Древняя Греция|Древней Греции]]. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был [[Демокрит]]
<ref name="vard">{{книга|автор=Б. Л. ван дер Варден.|заглавие=Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции|издание=3-е изд.|место=М.|издательство=КомКнига|год=2007|страниц=456|isbn=978-5-484-00848-3}}</ref>, а доказал [[Евдокс Книдский]]. Древнегреческий математик [[Евклид]] систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих [[Начала Евклида|«Начал»]], а также вывел первое определение пирамиды: '''телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке''' (книга XI, определение 12<ref>{{Книга|автор = [[Ващенко-Захарченко, Михаил Егорович|М. Е. Ващенко-Захарченко]]|заглавие = Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями|ответственный = |издание = |место = Киев|издательство = |год = 1880|страницы = 473|страниц = 749|isbn = |ссылка = https://ru.wikisource.org/w/index.php?title=Файл:Евклид_(Ващенко-Захарченко).djvu&page=491}}</ref>).

== Элементы пирамиды ==
[[Файл:Апофема пирамиды.TIF|thumb|200px|SO — высота<br>SF — апофема<br>OF — радиус вписанной в основание окружности]]
* '''вершина пирамиды''' — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
* '''основание''' — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
* '''боковые грани''' — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
* '''боковые рёбра''' — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
* '''высота пирамиды''' — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
* '''[[апофема]]''' — высота боковой грани [[Пирамида (геометрия)#Правильная пирамида|правильной пирамиды]], проведённая из её вершины;
* '''диагональное сечение пирамиды''' — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

== Развёртка пирамиды ==
[[Файл:Развёртка правильной пятиугольной пирамиды.TIF|thumb|300px|Развёртка правильной пятиугольной пирамиды:<br>1. в плоскости основания («звезда»)<br>2. в плоскости одной из боковых граней]]
'''Развёрткой''' называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

== Свойства ==
'''Если все боковые рёбра равны''', то:
* вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
* боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
* также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

'''Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом''', то:
* в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
* высоты боковых граней равны;
* [[площадь]] боковой поверхности равна половине произведения [[периметр]]а основания на [[высота|высоту]] боковой грани.

== Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами ==
[[Файл:Сфера вокруг пирамиды.tiff|300px|thumb|Описание сферы вокруг правильной пирамиды:<br>SD — высота пирамиды.<br>AD — радиус окружности, описывающей основание.<br>В — середина ребра боковой грани<br>С — точка пересечения плоскостей проходящих через середину рёбер перпендикулярно им.<br>AC=CS — радиус сферы описывающей пирамиду]]
[[Файл:Сфера вписана в пирамиду.TIF|thumb|300px|Сфера, вписанная в правильную пирамиду:<br>D — центр основания<br>SF — апофема<br>ASD — биссекторная плоскость угла между боковыми гранями<br>BCE — биссекторная плоскость угла между основанием и боковой гранью<br>С — точка пересечения всех биссекторных плоскостей<br>CK=CD — радиус сферы вписанной в пирамиду]]

=== [[Сфера]] ===
* около пирамиды можно [[Описанная сфера|описать сферу]] тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)<ref>{{книга|автор=Саакян С. М., Бутузов В. Ф.|заглавие=Изучение геометрии в 10—11-х классах: книга для учителя|издание=4-е изд., дораб.|место=М.|издательство=Просвещение|год=2010|серия=Математика и информатика|страниц=248|isbn=978-5-09-016554-9}}</ref>. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
* в пирамиду можно [[Вписанная сфера|вписать сферу]] тогда, когда [[биссекторная плоскость|биссекторные плоскости]] внутренних [[двугранный угол|двугранных углов]] пирамиды пересекаются в одной точке ([[необходимое и достаточное условие]]). Эта точка будет центром сферы.

=== [[Конус]] ===
* Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);<ref>{{книга|автор=Погорелов А. В.|заглавие=Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений|издание=8-е изд|место=М.|издательство=Просвещение|год=2008|страниц=175|isbn=978-5-09-019708-3|тираж=60000}}</ref>
* Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
* Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

=== [[Цилиндр]] ===
* Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
* Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

== Формулы, связанные с пирамидой ==
* [[Объём]] пирамиды может быть вычислен по формуле:
: <math>V = \frac{1}{3} S h,</math>
: где <math>\ S</math> — [[площадь фигуры|площадь]] основания и <math>\ h</math> — высота;<ref>[https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf Геометрия по Киселёву] {{Wayback|url=https://arxiv.org/pdf/1806.06942.pdf |date=20210301053034 }}, §357.</ref>
: <math>V = \frac{1}{6} V_p,</math>
: где <math display="inline">\ V_p</math> — объём параллелепипеда;
* Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле<ref name="hrono1600">{{книга|автор=Кушнир И. А.|заглавие=Триумф школьной геометрии|место=К.|издательство=Наш час|год=2005|страниц=432|isbn=966-8174-01-1}}</ref>:
: <math>V = \frac{1}{6} a_{1} a_{2} d \sin \varphi,</math>
: где <math>a_{1}, a_{2}</math> — скрещивающиеся рёбра , <math>d</math> — расстояние между <math>a_{1}</math> и <math>a_2</math> , <math>\varphi</math> — угол между <math>a_{1}</math> и <math>a_2</math>;
* Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
: <math>S_b = \sum_{i}^{}S_i</math>
* Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
: <math> \ S_p = S_b + S_o</math>
* Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
: <math>S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha</math>
: где <math> a </math> — [[апофема]] , <math> \ P</math> — [[периметр]] основания, <math> \ n</math> — число сторон основания, <math> \ b</math> — боковое ребро, <math>\alpha</math> — плоский угол при вершине пирамиды.

== Особые случаи пирамиды ==

=== Правильная пирамида ===
Пирамида называется правильной, если основанием её является [[правильный многоугольник]], а вершина проецируется в центр основания.
Тогда она обладает такими свойствами:
* боковые рёбра правильной пирамиды равны;
* в правильной пирамиде все боковые грани — [[Конгруэнтность (геометрия)|конгруэнтные]] равнобедренные треугольники;
* в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
* если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна <math>\pi</math>, а каждый из них соответственно <math display="inline">\frac{\pi}{n}</math>, где <math>n</math> — количество сторон многоугольника основания<ref>''Готман Э.'' [http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу] {{Wayback|url=http://kvant.mirror1.mccme.ru/1998/04/index.htm |date=20120122015916 }} // Квант. — 1998. — № 4.</ref>;
* площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения [[периметр]]а основания на апофему.

=== Прямоугольная пирамида ===
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

=== [[Тетраэдр]] ===
Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «[[правильный тетраэдр]]». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

== См. также ==
* [[Усечённая пирамида]]
* [[Бипирамида]]

== Примечания ==
{{примечания|30em}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Александров А. Д., Вернер А. Л.|заглавие=Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений|издание=2-е изд|место=М.|издательство=Просвещение|год=2003|страниц=271|isbn=5-09-010773-4}}
* {{книга|автор=Калинин А. Ю., Терешин Д. А.|заглавие=Стереометрия. 11 класс|издание=2-е изд|место=М.|издательство=Физматкнига|год=2005|страниц=332|isbn=5-89155-134-9}}
* {{cite arXiv|author=А. П. Киселёв|eprint=1806.06942 |class=math.HO  |title=[[Элементарная геометрия (Киселёв)|Геометрия по Киселёву]]}}
* {{книга|автор=Погорелов А. В.|заглавие=Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений|издание=8-е изд|место=М.|издательство=Просвещение|год=2008|страниц=175|isbn=978-5-09-019708-3|тираж=60000}}

== Ссылки ==
{{Навигация|Викисловарь=пирамида|Тема=Пирамида}}
* [http://www.korthalsaltes.com/selecion.php?sl=selecion2 Бумажные модели пирамид] {{Wayback|url=http://www.korthalsaltes.com/selecion.php?sl=selecion2 |date=20100104123000 }}{{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20111109213439/http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/nachala.djvu «Начала» Евклида].

{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{многогранники}}

[[Категория:Многогранники]]