Просмотр кода страницы Положительный оператор (гильбертово пространство)

'''Положительный оператор в [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]]''' — [[линейный оператор]] <math>A</math> такой, что <math> (Ax, x) \ge 0</math> для любого <math>x</math> из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение <math> A \ge 0</math>{{sfn|Рудин У. Функциональный анализ|1975|loc=п.12.32}}. Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут <math>A > 0</math>, если оператор <math>A</math> — положительный, и <math>A \ge 0</math>, если <math>A</math> — положительный или нулевой{{sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=317}}.

[[Ограниченный оператор|Ограниченный]] положительный оператор является [[эрмитов оператор|самосопряжённым]], и его [[спектр оператора|спектр]] лежит на положительной полуоси <math>[0, \infty)</math>, причём это [[необходимое и достаточное условие]]{{sfn|Рудин У. Функциональный анализ|1975|loc=п.12.32}}. Неограниченный положительный оператор [[эрмитов оператор|симметричен]] и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором<ref>{{Книга:Математическая энциклопедия|4|автор=Шульман В. С., Ломоносов В. И.|статья=Положительный оператор}}</ref><ref>Строго говоря, в случае неограниченного оператора неравенство <math>(A x, x) \ge 0</math> в определении берётся для всех <math>x</math> из [[область определения|области определения]] [[эрмитов оператор|симметричного оператора]] <math>A</math>, которая [[плотное множество|плотна]] во всём гильбертовом пространстве.</ref>.

== Свойства ==
Для [[ограниченный линейный оператор|ограниченных линейных операторов]] выполняются следующие свойства.
* Если оператор <math>A \ge 0</math> и [[вещественное число]] <math>\alpha \ge 0</math>, то <math>\alpha A \ge 0</math>.
* Если <math>A \ge 0</math> и [[обратный оператор]] <math>A^{-1}</math> существует, то <math>A^{-1} \ge 0</math>.
* <math> A^* A \ge 0, \, A A^* \ge 0 </math> для любого [[линейный оператор|линейного оператора]] <math>A</math>. В частности, <math>A^2 \ge 0</math> для любого [[самосопряженный оператор|самосопряжённого оператора]] <math>A</math>. Следовательно, примером положительного оператора может служить любой [[проектор (математика)|оператор проектирования]]{{sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=317}}.
* Произведение двух [[перестановочные операторы|перестановочных]] положительных операторов также положительный оператор{{sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=318}}.
* Для положительного оператора <math>A</math> и любых элементов <math>x, y</math> [[гильбертово пространство|гильбертова пространства]] выполняется ''обобщённое [[неравенство Коши-Буняковского|неравенство Шварца]]'':
: <math> |(A x, y)|^2 \le (A x, x) (A y, y)</math>{{sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|loc=п. 104}}.

=== Квадратный корень ===
У каждого [[ограниченный оператор|ограниченного]] положительного оператора <math>A</math> существует единственный положительный '''квадратный корень''', то есть такой оператор <math>B</math>, что <math>B^2 = A</math>. Если оператор <math>A</math> [[обратный оператор|обратим]], то <math>B</math> тоже обратим. Квадратный корень <math>B</math> [[перестановочные операторы|перестановочен]] с любым оператором, перестановочным с <math>A</math>{{sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=320}}{{sfn|Рудин У. Функциональный анализ|1975|loc=п.12.33}}.

=== Полярное разложение ===
{{main|Полярное разложение}}
Любой [[ограниченный линейный оператор]] <math>T</math> в [[гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] обладает разложением <math>T = U P</math>, где <math>P</math> — положительный оператор, <math>U</math> — частичная изометрия. Если <math>T</math> — [[нормальный оператор]], то оператор <math>U</math> в полярном разложении [[унитарный оператор|унитарный]].

== Отношение порядка ==
На [[множество (математика)|множестве]] [[эрмитов оператор|симметричных операторов]] вводится частичное [[отношение порядка]]: <math>A \ge B</math> или <math>B \le A</math>, если оператор <math>A - B</math> — положительный, иначе говоря, <math> (A x, x) \ge (B x, x)</math> для любого <math>x</math> из [[гильбертово пространство|гильбертова пространства]]. Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.
* Если <math>A \ge B</math> и <math>C \ge D</math>, то <math>A + C \ge B + D</math>.
* Если <math> A \ge B</math> и <math> B \ge C</math>, то <math> A \ge C</math>.
* Если <math> A \ge B</math> и <math>c > 0</math>, то <math>c A \ge c B</math>.
* Любая [[монотонная последовательность|монотонная]] ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору{{sfn|Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа|1965|с=317}}{{sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|loc=п. 104}}.

== Полуограниченный оператор ==
[[Эрмитов оператор|Симметричный оператор]] <math>S</math> называется '''полуограниченным снизу''', если существует [[действительное число]] <math>c</math> такое, что
: <math> (S x, x) \ge c(x, x) </math>
для любого <math>x</math> из [[область определения|области определения]] оператора <math>S</math>; наибольшее из всех значений <math>c</math>, для которых выполняется это неравенство, называется '''нижней гранью''' оператора <math>S</math>. Аналогично определяется оператор, ''полуограниченный сверху'', и его ''верхняя грань''{{sfn|Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве|1966}}.

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор <math>P</math> посредством одной из следующих формул:
: <math> S = P + cI, \quad S = -P + cI, </math>
где <math>I</math> — [[оператор (математика)#единичный (тождественный) оператор|единичный оператор]]{{sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|loc=п. 122}}.

''Расширение по Фридрихсу.'' Всякий полуограниченный симметричный оператор <math>S</math> (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного [[самосопряженный оператор|самосопряжённого оператора]] <math>A</math>, причём оператор <math>A</math> будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и <math>S</math>{{sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|loc=п. 124}}.

== Случай конечномерного пространства ==
Симметрический оператор <math>S</math> (оператор с [[симметричная матрица|симметричной матрицей]]) в [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]] <math>R</math> называется ''неотрицательным'', если <math> (S x, x) \ge 0</math> для любого <math> x \in R</math>. В этом случае [[квадратичная форма]] <math>(S x, x)</math> называется ''неотрицательной'', а [[матрица (математика)|матрица]] оператора <math>S</math> — ''неотрицательно определённой''.

Симметрический оператор <math>S</math> называется ''положительно определённым'', если для любого вектора <math>x \ne 0</math> из <math>R</math> <math> (S x, x) > 0</math>. В этом случае [[квадратичная форма]] <math>(S x, x)</math> и [[матрица (математика)|матрица]] оператора <math>S</math> называются ''положительно определёнными''.

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи [[критерий Сильвестра|критерия Сильвестра]]<ref>{{книга|автор=[[Гантмахер, Феликс Рувимович|Гантмахер Ф. Р.]]|заглавие=Теория матриц|издание=Изд. 2-е, доп.|место=М.|издательство=Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.|год=1966}}</ref>.

== Пример ==
Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля
: <math> A u(x) = -(p(x)u'(x))' + q(x) u(x), </math>
где
: <math> p(x) \ge 0, \quad q(x) \ge q_0, \quad (0 \le x \le 1), </math>
если его рассматривать в [[пространство Lp|пространстве <math>L_2(0, 1)</math>]], отнеся к [[область определения|области определения]] функции <math>u(x)</math>, дважды [[гладкая функция|непрерывно дифференцируемые]] и удовлетворяющие условиям
: <math> u(0) = 0, \quad u'(1) + h u(1) = 0, </math>
где <math>h \ge 0</math> — некоторая [[математическая константа|постоянная]]; функции <math>p(x), p'(x), q(x)</math> также предполагаются [[непрерывная функция|непрерывными]]. Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что
: <math> (A u, u) = h p(1) |u(1)|^2 + \int\limits_0^1 p(x) |u'(x)|^2  dx + \int\limits_0^1 q(x) |u(x)|^2 dx \ge \int\limits_0^1 q_0 |u(x)|^2 dx = q_0 (u, u).</math>.
Если <math>q_0 \ge 0</math>, то оператор положительный{{sfn|Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу|1979|loc=п. 124}}.

== См. также ==
* [[Эрмитов оператор]]
* [[Квадратичная форма]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Люстерник, Лазарь Аронович|Люстерник Л. А.]], [[Соболев,_Владимир_Иванович_(математик)|Соболев В. И.]]|заглавие=Элементы функционального анализа|год=1965|издание=Изд. 2-е, перераб. |место=М. |издательство=Наука |страниц=520 |ref=Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа}}
* {{книга|автор=[[Рудин, Уолтер|Рудин У.]]|заглавие=Функциональный анализ |место=М. |издательство=Мир |год=1975 |страниц=444 |ref=Рудин У. Функциональный анализ}}
* {{книга|автор=[[Рис, Фридьеш|Рисс Ф.]], [[Сёкефальви-Надь, Бела| Сёкефальви-Надь Б.]]|заглавие=Лекции по функциональному анализу|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страниц=592|ref=Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу}}
* {{книга|автор = [[Ахиезер, Наум Ильич|Ахиезер Н. И.]], Глазман И. М.|заглавие=Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве|издание=Изд. 2-е, перераб. и доп.|издательство=Наука, гл. ред. физ-мат. лит.|год=1966|страниц=543|ref=Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве}}

[[Категория:Теория операторов]]