Просмотр кода страницы Правильный пятиугольник

{{другое название|Пентагон|Пентагон (значения)}}
{{Многоугольник
|название=Пятиугольник
|изображение=Regular pentagon 1.svg
|подпись=Правильный пятиугольник
|тип=[[Правильный многоугольник]]
|рёбра=5
|шлефли={5} 
|диаграмма={{CDD|node_1|5|node}}
|симметрия=[[Диэдрическая группа]] (D<sub>5</sub>)
|площадь=<math>
\frac{{t^2\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} =
</math><br><math>\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}};</math>
|угол= 108°
|параметр1= сумма углов
|значение1= 540°
|свойства= [[выпуклый многоугольник|выпуклый]], [[описанная окружность|вписанный]], [[равносторонний многоугольник|Равносторонний]], {{не переведено 5|равноугольная фигура|равноугольный||Isogonal figure}}, [[изотоксальная фигура|изотоксальный]] 
}}

'''Правильный пятиугольник''' (или '''пентагон''' от {{lang-el|πενταγωνον}}) — [[Фигура (геометрия)|геометрическая фигура]], [[правильный многоугольник]] с пятью сторонами.

== Свойства ==
* Угол <math>\alpha</math> у [[правильный многоугольник|правильного]] пятиугольника (из формулы для всех правильных многоугольников <math>\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ</math>, где ''n'' — количество сторон мноугольника):

:: <math>\alpha= \frac{5-2}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ</math>

* [[площадь фигуры|Площадь]] правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:
:: <math>S = \frac{5}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 = \frac{5}{12}Rd = \frac{5}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{5} = 5 r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{5}</math>,
: где <math>R</math> — [[радиус]] описанной [[окружность|окружности]], <math>r</math> — радиус вписанной окружности, <math>d</math> — [[диагональ]], <math>t</math> — сторона.
* Высота правильного пятиугольника:
:: <math>h= \frac{\operatorname{tg}\,72^\circ}{2} t = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} t \approx 1{,}5388417685876268 t</math>
* Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
* Отношение [[диагональ|диагонали]] <math>d</math> правильного пятиугольника к стороне <math>t</math> равно «[[золотое сечение|золотому сечению]]», то есть числу <math>\Phi =\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>.
Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
* Сторона:
:: <math>t =R \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \approx 1{,}1755705045849463 ~R</math>

* Радиус вписанной окружности:
:: <math>r = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{10} t \approx 0{,}6881909602355869 ~t</math>

* Радиус описанной окружности:
:: <math>R = \frac{\sqrt 10 \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{10} t \approx 0{,}85065080835204 ~t</math>

* Диагональ:
:: <math>d = {\sqrt {\Phi{\sqrt5}}}R = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} t \approx 1{,}9021130325903073 ~R \approx 1{,}618033988749895 ~t</math>

* Площадь:
:: <math>S = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2 \approx 1{,}7204774005889671 ~t^2</math>

* Правильным пятиугольником невозможно заполнить [[плоскость (геометрия)|плоскость]] без [[Промежуток (математика)|промежутков]] (см. также [[Паркет (геометрия)|Паркет]])
* Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
:: <math>\frac{S}{s} = \Phi^4 = 3\Phi + 2 = \frac{3\sqrt{5} + 7}{2} \approx 6{,}854101966249685</math>
: где <math>\Phi</math> — отношение [[золотое сечение|золотого сечения]].

== Построение ==
Правильный пятиугольник может быть [[Построение с помощью циркуля и линейки|построен с помощью циркуля и линейки]] или вписыванием его в заданную [[окружность]], или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан [[Евклид]]ом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

# Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как ''O''. (Это зелёная окружность на схеме справа).
# Выберите на окружности точку ''A'', которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через ''O'' и ''A''.
# Постройте прямую перпендикулярно прямой ''OA'', проходящую через точку ''O''. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку ''B''.
# Постройте точку ''C'' посередине между ''O'' и ''B''.
# Проведите окружность с центром в точке ''C'' через точку ''A''. Обозначьте её пересечение с прямой ''OB'' (внутри первоначальной окружности) как точку ''D''.
# Проведите окружность с центром в ''A'' через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки ''E'' и ''F''.
# Проведите окружность с центром в ''E'' через точку ''A''. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку ''G''.
# Проведите окружность с центром в ''F'' через точку ''A''. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку ''H''.
# Постройте правильный пятиугольник ''AEGHF''.

<gallery mode="packed" heights="200">
Файл:Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.ogv|Построение правильного пятиугольника
Файл:Pentagon-construction.svg|Построение правильного пятиугольника
Файл:Pentagram composition.gif|Построение правильного пятиугольника
Файл:Pentagon construct.gif|Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля
</gallery>

== Получение с помощью полоски бумаги ==
Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.
[[Файл:Knot.jpg|мини|Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник|центр]]
 

== В природе ==
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K
показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 [[нм]] не гексагональной, а пентагональной структуры.<ref>[http://www.nature.com/nmat/journal/vaop/ncurrent/full/nmat2403.html A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009] {{Wayback|url=http://www.nature.com/nmat/journal/vaop/ncurrent/full/nmat2403.html |date=20090422231856 }}{{ref-en}}</ref>
Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта [[мушмула германская]].
[[Радиальная симметрия|Пентасимметрией]] обладают [[иглокожие]] (например [[морские звёзды]]) и некоторые растения. См. также [[Закономерности в природе]].
<gallery mode="packed" heights="200">
Файл:Starfish 02 (paulshaffner) cropped.jpg|[[Иглокожие]], например [[морские звёзды]], обладают пентасимметрией
Файл:Medlar 5-symmetry.jpg|Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как [[мушмула германская]]
</gallery>

== Интересные факты ==
{{trivia|дата=24 июля 2020}}{{нет ссылок в разделе|дата=24 июля 2020}}
[[Файл:The Pentagon DCA 08 2010 9854.jpg|мини|Здание министерства обороны США, известное как Пентагон]]
* [[Додекаэдр]] — единственный из [[правильный многогранник|правильных многогранников]], грани которого представляют собой правильные пятиугольники<ref>{{Статья|ссылка=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10586458.2020.1712564|автор=Jayadev S. Athreya, David Aulicino, W. Patrick Hooper, with an appendix by Anja Randecker|заглавие=Platonic Solids and High Genus Covers of Lattice Surfaces|год=2022-07-03|язык=en|издание=Experimental Mathematics|том=31|выпуск=3|страницы=847–877|issn=1058-6458|doi=10.1080/10586458.2020.1712564}}</ref>.
* Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя [[Замощение (геометрия)|замостить плоскость]]<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/PentagonTiling.html|title=Pentagon Tiling|lang=en|first=Eric W.|last=Weisstein|website=mathworld.wolfram.com|access-date=2024-08-29}}</ref>.
* Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного [[пятиячейник]]а (4-симплекса).
* [[Пентагон]] — здание [[Министерство обороны США|министерства обороны США]] — имеет форму правильного пятиугольника.

== См. также ==
* [[Золотое сечение]]
* [[Пятиугольник]]
* [[Пентаэдр]]
* [[Пентаграмма]]
* [[Государственный знак качества СССР]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Многоугольники}}
{{Символ Шлефли}}

[[Категория:Правильные многоугольники|5]]