Просмотр кода страницы Преобразование Гильберта

__NOTOC__
'''Преобразова́ние Ги́льберта''' в [[математика|математике]] и [[обработка сигналов|обработке сигналов]] — [[линейный оператор]], сопоставляющий каждой функции <math>u(t)</math> от действительной переменной функцию <math>H(u)(t)</math> в той же области с помощью [[Свёртка (математический анализ)|свёртки]] исходной функции с функцией <math>1/(\pi t)</math>. В [[Физика|физике]] эти соотношения известны как [[соотношения Крамерса — Кронига]], связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

== Определение ==
Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает [[главное значение несобственного интеграла по Коши]]):
: <math> H(u)(t) = \frac{1}{\pi} \operatorname{v.p.} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{u(\tau)}{t - \tau} \,d\tau, </math>
или, более явно:
: <math>H(u)(t) = \frac{1}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int\limits_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{\tau} \,d\tau=\frac{2}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int\limits_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau} \,d\tau=H(\delta)(t)*u(t):=\delta(jt)*u(t).</math>

== Свойства ==
Результат двукратного применения преобразования Гильберта — исходная функция с обратным знаком:
: <math>H\big(H(u)\big)(t) = -u(t),</math>
при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию <math>H\big(u(t)\big)</math>, ортогональную функции <math>u(t)</math><ref>{{cite web |author=Григорьев А. А. |title=Лекции по теории сигналов |url=https://mipt.ru/drec/upload/342/f_503a1y-arpgnh7ifva.pdf |accessdate=2017-06-21 |pages=С. 13 |archive-date=2014-07-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140703163156/http://mipt.ru/drec/upload/342/f_503a1y-arpgnh7ifva.pdf |deadlink=no }}</ref>.

== Связь с преобразованием Фурье ==
Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

: <math>
\mathcal{F}\big(H(u)\big)(\omega) = -i \operatorname{sgn}(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega),
</math>

где <math> \mathcal{F}(u)(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} u(t) e^{-i\omega t} \,dt </math>
— вариант прямого [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]] без нормировочного множителя.

== Обратное преобразование ==
: <math>H^{-1} = -H.</math>

== Некоторые преобразования Гильберта ==
В следующей таблице параметр [[частота|частоты]] <math>\omega</math> является действительным числом.

{| class="wikitable"
|-
! Сигнал<br> <math>u(t)\,</math> !! Преобразование Гильберта<br>
<math>H(u)(t)</math>
|-
| align="center"| константа ||  align="center"| 0
|-
| align="center"| <math> \sin \omega t </math> ||  align="center"| <math> \sgn(\omega) \sin\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right) = -\sgn(\omega) \cos \omega t </math>
|-
| align="center"| <math> \cos \omega t </math> ||  align="center"| <math>\sgn(\omega) \cos\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right) =  \sgn(\omega) \sin \omega t  </math>
|-
| align="center"| <math> e^{i \omega t} </math> || align="center"| <math> \sgn(\omega) e^{i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)} = -i\cdot \sgn(\omega) e^{i \omega t} </math>
|-
| align="center"| <math> 1 \over t^2 + 1 </math> || align="center"| <math> t \over t^2 + 1 </math>
|-
| align="center"| <math> e^{-t^2} </math> || align="center"| <math> 2\pi^{-1/2} F(t) </math><br>({{math|''F''(''t'')}} — [[интеграл Доусона]])
|-
| align="center"| '''[[Sinc]]''' <br> <math> \frac{\sin t}{t} </math> || align="center"| <math>\frac{ 1 - \cos t}{ t} </math>
|-
| align="center"| '''[[Индикатор (математика)|Характеристическая функция]]''' <br>над отрезком {{math|[''a'', ''b'']}} <br> <math> \chi_{[a,b]}(t) </math> ||  align="center"| <math>{ \frac{1}{\pi}\ln \left\vert \frac{t - a}{t - b}\right\vert }</math>
|-
| align="center"| '''[[Прямоугольная функция]]''' <br>(частный случай предыдущего) <br> <math> \sqcap(t) </math> || align="center"| <math> {1 \over \pi} \ln \left\vert {t + {1 \over 2} \over t - {1 \over 2}} \right\vert </math>
|-
| align="center"| '''[[Дельта-функция]]''' <br><math> \delta(t) </math> || align="center"| <math> {1 \over \pi t} </math>
|}

== Геометрический смысл ==
Для <math>2\pi</math>-периодических функций, то есть определённых на единичной окружности, преобразование Гильберта имеет интерпретацию в терминах геометрии бесконечномерных [[однородное пространство|однородных пространств]]. Именно, группа <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)</math> сохраняющих ориентацию [[диффеоморфизм]]ов окружности имеет факторпространство <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)/\mathrm{U}(1)</math> по подгруппе, состоящей из поворотов (то есть сохранящих ориентацию [[изометрия|изометрий]] окружности). Он называется '''пространством [[Кириллов, Александр Александрович|Кириллова]] — Юрьева''', и имеет однородную комплексную структуру. Связанный с ней тензор — это и есть преобразование Гильберта. В самом деле, касательное пространство к пространству Кириллова — Юрьева это фактор алгебры векторных полей на окружности по постоянным векторным полям. Касательное расслоение к окружности тривиально, так что векторные поля можно отождествить с <math>2\pi</math>-периодическими функциями, при этом постоянные векторные поля перейдут в константы. На факторе функций на окружности по константам преобразование Гильберта действительно действует как оператор комплексной структуры (то есть оператор с квадратом <math>-\mathrm{Id}</math>); его собственное подпространство для собственного числа <math>\sqrt{-1}</math> (то, что называется в [[теория Ходжа|теории Ходжа]] <math>(1,0)</math>-подпространство) есть [[пространство Харди]] — граничные значения непрерывных функций на единичном диске, голоморфных на его внутренности (иначе говоря, <math>2\pi</math>-периодические функции, все ненулевые гармоники Фурье которых имеют положительные номера).

Пространство Кириллова — Юрьева допускает расслоение над другим бесконечномерным однородным пространством <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)/\mathrm{M\ddot{o}b}(S^1)</math>, фактором группы диффеоморфизмов по граничным значениям [[преобразование Мёбиуса|мёбиусово преобразование]] (дробно-линейных) преобразований диска. Легко видеть, что слои этого расслоения суть однородные пространства <math>\mathrm{M\ddot{o}b}(S^1)/\mathrm{U}(1)</math>, биголоморфные единичным дискам. Это расслоение популяризовал [[Сергеев, Армен Глебович|А. Г. Сергеев]].

Можно работать и в обратную сторону. Хорошо известен другой пример расслоения на окружности, база которого имеет естественную комплексную структуру, это [[расслоение Хопфа]] <math>S^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathrm{P}^n</math>. Конус же над сферой может быть отождествлён с комплексным векторным пространством <math>\mathbb{C}^{n+1}</math>, из которого выброшен нуль. Так же и группа <math>\mathrm{Diff}^+(S^1)</math> может быть расширена группой <math>\mathbb{R}_{>0}</math> (такое расширение является алгебраическим аналогом восстановления конуса) таким образом, что получившаяся группа будет иметь структуру бесконечномерной комплексной группы Ли. На уровне алгебр Ли это расширение задаётся '''коциклом [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанда]] — [[Фукс, Дмитрий Борисович|Фукса]]''', который в терминах функций на окружности пишется как <math>\omega(f,g) = \int_{S^1}\left|\begin{matrix}f' & g' \\ f'' & g''\end{matrix}\right|dx</math>. Соответствующая группа называется '''группой [[Вирасоро, Мигель Анхель|Вирасоры]]''' (иногда [[Ботт, Рауль|Ботта]] — Вирасоры) и имеет основополагающее значение в [[теория струн|теории струн]] и других разделах [[конформная теория поля|конформной теории поля]].

== См. также ==
* [[Численно-теоретические преобразования]]
* [[Преобразование Фурье]]
* [[Преобразование Лапласа]]
* [[Преобразование Гильберта — Хуанга]]
* [[Соотношения Крамерса — Кронига]]

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Интегральное исчисление}}
{{Интегральные преобразования}}
{{Вклад Давида Гильберта в науку}}

[[Категория:Гармонические функции]]
[[Категория:Обработка сигналов]]
[[Категория:Интегральные преобразования]]