Просмотр кода страницы Преобразование Гольштейна — Примакова

'''Преобразование Гольштейна — Примакова''' — переход от [[Оператор (физика)|операторов]] [[спин]]а к [[Вторичное квантование|операторам рождения и уничтожения]] [[магнон]]ов (являющихся [[бозон]]ами{{sfn|Гуревич, Мелков|1994|с=225}}). Было предложено [[Гольштейн, Теодор|Теодором Гольштейном]] (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и [[Примаков, Генри Хаимович|Генри Примаковым]] (1914—1983){{sfn|Rössler|2009|p=173}} в оригинальной работе 1940 года<ref name="Holstein.PR.40">{{статья
 | автор    = T. Holstein, H. Primakoff.
 | заглавие = Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet
 | ссылка  = https://archive.org/details/sim_physical-review_1940-12-15_58_12/page/n86
 | издание  = Phys. Rev
 | год      = 1940
 | том      = 58
 | номер    = 12
 | страницы = 1098–1113
 | doi      = 10.1103/PhysRev.58.1098
}}</ref>.

== Первое преобразование Гольштейна — Примакова ==
При изучении [[Спиновые волны|спиновых волн]] обычно переходят к циклическим комбинациям компонент [[спин]]ов. Это выполняют следующим образом. Динамика [[Магнитный момент|магнитных моментов]] (или спинов) описывается [[Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)|уравнением Ландау — Лифшица]]. Предполагая, что [[Ферромагнетики|ферромагнетик]] помещён в сильное магнитное поле [[Напряженность магнитного поля|напряжённостью]] <math>H_\mathrm{ext}</math> вдоль оси ''z'' и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной ''S'' выполняются соотношения <math>S_z \approx S</math>, <math>S_{x,y}\ll S</math>) уравнение Ландау — Лифшица в приближении [[Магнитная анизотропия|магнитной анизотропии]] для ''j''-го спина принимает вид
:<math> \frac{\mathrm dS_j^x}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_i^y-S_j^y) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^y, </math>
:<math> \frac{\mathrm dS_j^y}{\mathrm dt} = - S\sum_{j}J_{ji}(S_j^x-S_i^x) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^x, </math>
где магнитная анизотропия включена в [[Обменное взаимодействие|обменный интеграл]] <math>J_{ji}</math>, ''g'' — [[Множитель Ланде|фактор Ланде]], <math>\mu_B</math> — [[магнетон Бора]]. Для изучения [[Спиновые волны|спиновых волн]] эти два уравнения записывают для операторов
:<math>S_j^\pm = S_j^x\pm iS_j^y,</math>
в форме
:<math> \frac{\mathrm dS_j^\pm}{\mathrm dt} = \mp i\left( S\sum_{j}J_{ji}(S_j^\pm-S_i^\pm) + g\mu_B H_\mathrm{ext}S_j^\pm\right), </math>
где ''i'' — мнимая единица.{{sfn|Rössler|2009|pp=171—172}}

В таком случае ''преобразованием Гольштейна — Примакова'' (первым) называют замену
:<math> S_j^+ = \sqrt{2S}\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}a_j ,\quad S_j^- = \sqrt{2S}a_j^\dagger\left(1 - \frac{1}{2S}a_j^\dagger a_j\right)^{1/2}, </math>
где <math>a_j^\dagger</math> — оператор рождения спиновых возбуждений ([[Квазичастица|квазичастиц]]), <math>a_j</math> — оператор их уничтожения.{{sfn|Rössler|2009|p=173}}{{sfn|Гуревич, Мелков|1994|с=230}}

Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование [[Диагонализация оператора|диагонализации]] спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться [[спиновые волны]] (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.{{sfn|Гуревич, Мелков|1994|с=231—232}}

== Второе преобразование Гольштейна — Примакова ==
Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея в виду переход к операторам рождения и уничтожения [[Спиновые волны|спиновых волн]] путём [[Преобразование Фурье|преобразования Фурье]] операторов для квазичастиц <math>a_j</math> и <math>a_j^\dagger</math> и их представления через [[Волновой вектор|волновые вектора]] <math>\mathbf k</math>:
:<math>a_{\mathbf k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j e^{-i\mathbf k \mathbf r_j},\quad a_{\mathbf k}^\dagger = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j a_j^\dagger e^{i\mathbf k \mathbf r_j}.</math>
Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы <math>a_{\mathbf k}</math> и <math>a_{\mathbf k}^\dagger</math> называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или [[магнон]]ов.{{sfn|Гуревич, Мелков|1994|с=232—233}}

== См. также ==
* [[Вторичное квантование]]

== Примечания ==
{{примечания }}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = Гуревич А. Г., Мелков Г. А.
 |заглавие      = Магнитные колебания и волны 
 |место         = М.
 |издательство  = Физматлит
 |год           = 1994
 |страниц       = 464
 |isbn          = 5-02-014366-9
 |тираж         = 2000
 |ref           = Гуревич, Мелков
}}
* {{книга
 |автор         = Давыдов А. С.
 |заглавие      = Теория твердого тела
 |ссылка       = https://archive.org/details/libgen_00152332
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1976
 |страницы      = [https://archive.org/details/libgen_00152332/page/n103 106]—108
 |страниц       = 646
 |ref           = Давыдов
}}
* {{книга
 |автор         =  Х. Xакен. 
 |заглавие      = Квантовополевая теория твердого тела
 |место         = М.
 |издательство  = Наука
 |год           = 1980
 |страницы      = 
 |страниц       = 
 |тираж         = 
 |ref           = Хакен
}}
* {{статья
 | автор    = T. Holstein, H. Primakoff.
 | заглавие = Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet
 | ссылка  = https://archive.org/details/sim_physical-review_1940-12-15_58_12/page/n86
 | издание  = Phys. Rev
 | год      = 1940
 | том      = 58
 | номер    = 12
 | страницы = 1098–1113
 | doi      = 10.1103/PhysRev.58.1098
}}
* {{книга
 |автор         = Kei Yosida.
 |заглавие      = Theory of magnetism
 |издательство  = Springer
 |год           = 1998
 |volume        = 122
 |pages         = 120—125
 |allpages      = 320
 |серия         = Springer series in solid-state sciences
 |isbn          = 9783540606512
 |ref           = Yosida
}}
* {{книга
 |автор         = Ulrich Rössler.
 |заглавие      = Solid state theory: an introduction
 |издание       = 2nd ed
 |издательство  = Springer
 |год           = 2009
 |allpages      = 398
 |isbn          = 9783540927617
 |ref           = Rössler
}}

[[Категория:Квантовая физика]]
[[Категория:Магнетизм]]