Просмотр кода страницы Преобразование Конторовича — Лебедева

Преобразование Конторовича — Лебедева — [[Интегральные преобразования|интегральное преобразование]], задаваемое для функции <math>f(x)</math> формулой:
:<math>F(\tau) = \int_0^{\infty}f(x) K_{i \tau} (x) dx,</math>
где <math>K_{\nu} (x)</math> — [[функция Макдональда]].  Обратное преобразование имеет вид:
:<math>f(x) = \frac{2}{\pi^2 x} \int_0^{\infty} K_{i\tau} (x) \; \tau \; \mathrm{sh}\, \pi \tau \; F(\tau) \; d\tau, \qquad x > 0.</math>
Впервые данное преобразование было рассмотрено [[Конторович, Михаил Иосифович|М. И. Конторовичем]] и [[Лебедев, Николай Николаевич (математик)|Н. Н. Лебедевым]] в 1938 году.

== Другие определения ==
Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:
:<math>F^s(\tau) = \int_0^{\infty}f(x) \frac{K_{i \tau} (x)}{\sqrt{x}} dx, \qquad \tau \geqslant 0,</math>

:<math>f(x) = \int_0^{\infty}F^s(\tau) \frac{2 \tau \mathrm{sh}\, \pi \tau}{\pi^2} \frac{K_{i \tau} (x)}{\sqrt{x}} d\tau, \qquad x > 0.</math>

Ещё одним вариантом определения является:
:<math>F^a(\tau) = \frac{2 \tau \mathrm{sh}\, \pi \tau}{\pi^2} \int_0^{\infty}f(x) \frac{K_{i \tau} (x)}{x} dx, \qquad \tau \geqslant 0,</math>

:<math>f(x) = \int_0^{\infty}F^a(\tau) K_{i \tau} (x) d\tau, \qquad x > 0.</math>

== Условия обратимости ==
Пусть функция <math>f(x)</math> является [[Непрерывная функция|непрерывной]] вместе со своей [[Производная функции|производной]], удовлетворяющая условиями  <math>x f(x), x^2 f(x) \in L(0, +\infty)</math>, тогда она может быть получена из своего образа  <math>F(\tau)</math> посредством обратного преобразования:
:<math>f(x) = \frac{2}{\pi^2 x} \int_0^{\infty} K_{i\tau} (x) \; \tau \; \mathrm{sh}\, \pi \tau \; F(\tau) \; d\tau.</math>

Более общая формула обращения может быть получена, если <math>f(x)</math> имеет ограниченное изменение в точке <math>x_0 > 0</math> и
:<math>f(x)\ln x \in L \left(0 , \frac{1}{2}\right), f(x) \sqrt{x} \in  L \left( \frac{1}{2}, \infty\right),</math>
тогда:
:<math>\frac{f(x_0 + 0) + f(x_0 - 0)}{2} = \frac{2}{\pi^2 x_0} \int_0^{\infty} K_{i\tau} (x_0) \; \tau \; \mathrm{sh}\, \pi \tau \; F(\tau) \; d\tau</math>,

в частности если, кроме того,  для любого <math>x</math> выполнено:
:<math>\frac{f(x + 0) + f(x - 0)}{2} = f(x)</math>,
то
:<math> f(x) = \frac{2}{\pi^2 x} \int_0^{\infty} K_{i\tau} (x) \; \tau \; \mathrm{sh}\, \pi \tau \; F(\tau) \; d\tau.</math>

== Теорема Парсеваля ==
Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог [[Теорема Парсеваля|теоремы Парсеваля]]:

Пусть <math>g(x)</math> — [[вещественная функция]], удовлетворяющая условиям:

* <math>g(x)x^{-\frac{3}{4}} \in L(0, +\infty),</math>

* <math>g(x) \in L_2(0, +\infty),</math>

:<math>G(\tau) = \int_0^{\infty}g(x)\frac{\sqrt{2 \tau \mathrm{sh}\, \pi \tau}}{\pi} \frac{K_{i \tau}(x)}{\sqrt{x}} dx</math>

тогда

:<math>\int_0^{\infty} \left(G(\tau)\right)^2 d \tau = \int_0^{\infty} \left(g(x)\right)^2 d x.</math>

Справедлива и более общая теорема:

Пусть <math>g_i(x), \quad i = 1, 2</math> — две [[Вещественная функция|вещественные функции]], удовлетворяющая условиям:

* <math>g_i(x)x^{-\frac{3}{4}} \in L(0, +\infty),</math>

* <math>g_i(x) \in L_2(0, +\infty),</math>

:<math>G_i(\tau) = \int_0^{\infty}g_i(x)\frac{\sqrt{2 \tau \mathrm{sh}\, \pi \tau}}{\pi} \frac{K_{i \tau}(x)}{\sqrt{x}} dx</math>

тогда

:<math>\int_0^{\infty} G_1(\tau) G_2(\tau) d \tau = \int_0^{\infty} g_1(x)g_2(x) d x.</math>

== Таблица преобразований ==
{|border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
!
! Функция <math>f(x)</math>
! Образ <math>F(\tau) = \int_0^{\infty}f(x) K_{i \tau} (x) dx, \quad \tau > 0.</math>
|-
| 1
|<math>x \sin(\alpha x), \quad |\mathrm{Im}\,\alpha| < \frac{\pi}{2}</math>
|<math>\frac{\pi \tau}{2} \mathrm{sh}\, \alpha e^{- \tau \mathrm{ch}\, \alpha}</math>
|-
|2
|<math>\cos(\alpha x), \quad |\mathrm{Im}\,\alpha| < \frac{\pi}{2}</math>
|<math>\frac{\pi}{2} e^{- \tau \mathrm{ch}\, \alpha}</math>
|-
|3
|<math>x \mathrm{th}\,(\pi x) P_{-\frac{1}{2} + i x} (z)</math>
|<math>\sqrt{\frac{\pi \tau}{2}} e^{- \tau z}</math>
|-
|4
|<math>x \mathrm{th}\,(\pi x) K_{i x} (z), \quad |\mathrm{arg}\, z |< \pi</math>
|<math> \frac{\pi}{2}\sqrt{\tau z} \frac{e^{- \tau - z}}{z + \tau}</math>
|-
|5
|<math>x \mathrm{sh}\,(\pi x) K_{2 i x} (z), \quad |\mathrm{arg}\, z| < \frac{\pi}{4}</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi^3 z^2}{2^5 \tau}} e^{-\tau - \frac{z^2}{8 \tau}}</math>
|-
|6
|<math>x \sin(\frac{\pi x}{2}) K_{\frac{i x}{2}} (z), \quad |\mathrm{arg}\, z| < \frac{\pi}{2}</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi^3  \tau^2}{2 z}} e^{-z- \frac{\tau^2}{8 z}}</math>
|-
|7
|<math> \mathrm{ch}\, (\alpha x) K_{i x} (z), \quad |\mathrm{Re}\, \alpha| +|\mathrm{arg}\, z| < \pi</math>
|<math> \frac{\pi}{2} K_0(\sqrt{\tau^2 + z^2 + 2 z \tau \cos \alpha})</math>
|-
|8
|<math> \frac x {x^2 + n^2}\ \mathrm{sh}\, (\pi x) K_{ix}(z) , \quad z > 0,\ n \in \Z_{+}</math>
|<math> \frac{\pi^2}{2} I_n(\tau) K_n(z), 0 < \tau < z</math>

<math> \frac{\pi^2}{2} I_n(z) K_n(\tau), z < \tau < \infty</math>
|-
|9
|<math> x \mathrm{sh}\, (\pi x) K_{i x} (y)K_{i x} (z), </math>

<math> |\mathrm{arg}\, y| + |\mathrm{arg}\, z| < \frac{\pi}{2}</math>
|
<math> 
\frac{\pi^2}{4} e^{- \frac{\tau}{2} \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} + \frac{y z}{\tau^2}\right)}</math>
|-
|10
|<math> x \mathrm{sh}\, (\frac{\pi x}{2}) K_{\frac{i x}{2}} (y)K_{\frac{i x}{2}} (z), </math>

<math> 
|\mathrm{arg}\, y| +|\mathrm{arg}\, z| < \pi</math>
|<math> \frac{\pi^2 \tau}{2 \sqrt{\tau^2 + 4yz}} e^{- \frac{(y + z)}{2}\sqrt{\frac{\tau^2}{yz}+4}}</math>
|-
|11
|<math> x \mathrm{sh}\, (\pi x) K_{\frac{i x}{2} + \lambda} (z)K_{\frac{i x}{2}-\lambda} (z), \quad z > 0</math>
|<math> 0, 0 < \tau < 2 z</math>

<math> \frac{\pi^2 \tau}{2^{2 \lambda +1} z^{2 \lambda} \sqrt{\tau^2 - 4 z^2}} \left((\tau + \sqrt{\tau^2 - 4 z^2})^{2 \lambda} +\right.</math>
<math> \left.  +(\tau -\sqrt{\tau^2 - 4 z^2})^{2 \lambda} \right), 2 z < \tau < \infty</math>
|-
|12
|
<math> 
x \mathrm{sh}\, (\pi x) 
\Gamma (\lambda + ix) \Gamma (\lambda - ix) 
K_{i x} (z) , 
</math>

<math>
|\mathrm{arg}\, z| < \pi, \; 
\mathrm{Re}\, \lambda > 0</math>
|
<math> 2^{\lambda - 1} \pi^{\frac{3}{2}} (z \tau)^{\lambda} (\tau + z)^{-\lambda} \Gamma \left (\lambda + \frac{1}{2}\right ) K_{\lambda}(\tau + z)</math>
|}

== Конечное преобразование Конторовича — Лебедева ==
Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:
:<math> F_{\alpha} (\tau) = \frac{2 \tau \mathrm{sh}\, \pi \tau}{\pi^2 |I_{i \alpha}(\alpha)|^2} \int_0^{\alpha} \left(K_{i \tau}(\alpha)I_{i \tau} (x) - K_{i \tau}(x)I_{i \tau} (\alpha)\right) f(x) \frac{dx}{x}, \quad \tau > 0</math>
где <math>I_{\nu}(x)</math> — [[функция Инфельда]].

== Литература ==
* [[Математическая энциклопедия]] Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] М., «Советская Энциклопедия», 1977—1985 гг.
* {{книга | автор = {{nobr|[[Диткин, Виталий Арсеньевич|Диткин В. А.]]}}, {{nobr|[[Прудников, Анатолий Платонович|Прудников А. П.]]}} | заглавие = Интегральные преобразования и операционное исчисление |место = {{М.}} | издательство = Физмагиз | год = 1961 | ref=Диткин}}
* Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2: преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. — M, Наука, 1970
{{Интегральное исчисление}}
{{Интегральные преобразования}}

[[Категория:Интегральные преобразования]]