Просмотр кода страницы Преобразование Ландена

'''Преобразова́ние Ла́ндена''' относится к [[эллиптический интеграл|эллиптическим интегралам]]. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик {{нп3|Ланден, Джон|Джон Ланден|en|John Landen}} (1719—1790) в 1775 году предложил<ref>{{cite doi|10.1098/rstl.1775.0028}}</ref> очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода
: <math> F(\varphi,x_1) = F(\varphi \,|\, x_1^2) = F(\sin \varphi ; x_1) = \int_0^\varphi \frac {d\theta}{\sqrt{1 - x_1^2 \sin^2 \theta}},</math>
то есть в первообразной функции
: <math>  \int\frac {d\theta}{\sqrt{1 - x_1^2 \sin^2 \theta}}.</math>

Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой:
: <math>\operatorname{tg}\theta=\frac{\sin{2}\varphi }{x_1+\cos{2}\varphi } .</math>

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:
: <math>\left(1+\sqrt{1-x^2}\right)\int\frac {d\varphi }{\sqrt{1 - x^2 \sin^2 \varphi }}.</math>

Параметры {{math|''x''}} и {{math|''x''<sub>1</sub>}} связаны зависимостями:
: <math>x=\frac{{2}\sqrt{x_1}}{x_1+1}, </math>
: <math>x_1=\frac{{2}\left(1-\sqrt{1-x^2}\right)}{x^2}-1. </math>

Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр {{math|''x''}} стремится к 1, параметр {{math|''x''<sub>1</sub>}} к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны:
: <math>\int\frac {d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta},</math>
: <math>\int{d}\theta=\theta.</math>

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла {{math|''x''}} ({{math|''x''<sub>1</sub>}}). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром  эллиптического интеграла формулами
: <math>\alpha</math> — модулярный угол;
: <math>x=\sin \alpha</math> — модуль эллиптического интеграла;
: <math>m=x^2=\sin^2 \alpha</math> — параметр эллиптического интеграла.

Легко видеть, что формулы, связывающие значения {{math|''x''}} и {{math|''x''<sub>1</sub>}} и углы {{math|φ}} и {{math|θ}}, для случая, когда итерации начинаются с параметров {{math|''x''<sub>1</sub>}} и {{math|θ}}, можно представить в виде:
: <math>(1+\sin\alpha_n)(1+\cos\alpha_{n+1})=2, </math>
: <math>\sin\alpha_{n+1}=x ,</math>
: <math>\sin\alpha_n=x_1 ,</math>
: <math>\varphi_n=\theta ,</math>
: <math>\varphi_{n+1} =\varphi ,</math>
: <math>\operatorname{tg}(\varphi_{n+1}-\varphi_n) =\cos\alpha_n\operatorname{tg}\varphi_n. </math>

Если же итерации начинаются с параметров {{math|''x''}} и {{math|φ}}, то формулы имеют вид:
: <math>(1+\sin\alpha_{n+1})(1+\cos\alpha_n)=2, </math>
: <math>\sin\alpha_{n+1}=x_1, </math>
: <math>\sin\alpha_n=x, </math>
: <math>\varphi_n=\varphi, </math>
: <math>\varphi_{n+1} =\theta, </math>
: <math>\operatorname{tg}(\varphi_n-\varphi_{n+1}) =\cos\alpha_{n+1}\operatorname{tg}\varphi_{n+1}. </math>

Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от {{math|θ}} к {{math|φ}}. При изменении угла {{math|φ}} от 0 до {{math|π}}/2 угол {{math|θ}} терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена.

В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая:
: <math>\operatorname{tg}\theta={(1-x_1^2)}^{-1/4}\frac{{1}+\sin\varphi}{\cos\varphi}. </math>
В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:
: <math>\frac{1+x}{2}\int\frac {d\varphi}{\sqrt{1 - x^2 \sin^2 \varphi}}.</math>{{Сомнительная ссылка}}

Параметры x и x1 связаны зависимостями:
: <math>x=\frac{{2}(1-\sqrt{(1-x_1^2)}}{x_1^2}-1, </math>{{Сомнительная ссылка}}
: <math>x_1=\frac{{2}\sqrt{x}}{x+1}. </math>{{Сомнительная ссылка}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{книга|автор=King L. V.|часть=|заглавие=On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals|оригинал= |ссылка=http://www.archive.org/details/onthenumerical032686mbp|издание=|ответственный=|место=|издательство=Cambridge University Press|год=1924|том=|страницы=|страниц=|isbn=|язык=en}}
* {{книга|автор=Cayley A.|часть=|заглавие=An Elementary Treatise on Elliptic Functions|оригинал= |ссылка=|издание=|ответственный=|место=|издательство=G. Bell and Sons|год=1895 |том=|страницы=|страниц=|isbn=|язык=en}}
* {{cite doi|10.1080/00029890.1988.11972055}}
* {{АбрамовицСтиган |автор = Милн-Томсон Л.|глава = Гл. 17. Эллиптические интегралы |с = 401—441}}
* ''Корн Г., Корн Т.'' // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.
* {{книга|автор=Сикорский Ю. С.|часть=|заглавие=Элементы теории эллиптических функций: С приложением к механике|оригинал= |ссылка=|издание=Изд. 2-е, испр|ответственный=|место=М.|издательство=Ком Книга|год=2006|том=|страницы=|страниц=368|isbn=|тираж=}}

[[Категория:Эллиптические функции]]