Преобразование Ландена

Преобразова́ние Ла́ндена относится к эллиптическим интегралам. Имеет смысл говорить о преобразовании Ландена в узком смысле и в широком смысле. В узком смысле, о котором будет идти речь ниже, британский математик Шаблон:Нп3 (1719—1790) в 1775 году предложил очень удачную замену переменной в неопределённом интеграле, определяющем значение неполного эллиптического интеграла первого рода

$F(\phi ,x_1)=F(\phi |x_1^2)=F(\sin \phi ;x_1)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-x_1^2{\sin }^2\theta }},$

то есть в первообразной функции

$\int \frac{d\theta }{\sqrt{1-x_1^2{\sin }^2\theta }}.$

Предложенная Ланденом замена переменной описывается следующей формулой:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{\sin 2\phi }{x_1+\cos 2\phi }.$

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:

$(1+\sqrt{1-x^2})\int \frac{d\phi }{\sqrt{1-x^2{\sin }^2\phi }}.$

Параметры Шаблон:Math и Шаблон:Math связаны зависимостями:

$x=\frac{2\sqrt{x_1}}{x_1+1},$

$x_1=\frac{2(1-\sqrt{1-x^2})}{x^2}-1.$

Таким образом, в результате подстановки Ландена неопределённый интеграл преобразуется в неопределённый интеграл того же вида, но с другим параметром и умноженный на некий коэффициент, зависящий от нового параметра. При последовательном применении преобразования параметр Шаблон:Math стремится к 1, параметр Шаблон:Math к 0. Для этих крайних значений параметра величины неопределённых интегралов очевидны:

$\int \frac{d\theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \theta }{1-\sin \theta },$

$\int d\theta =\theta .$

Эллиптические интегралы часто представляют в виде функции ряда различных аргументов. Эти различные аргументы полностью эквивалентны (они дают одни и те же интегралы), но может возникнуть путаница, связанная с их различным происхождением. В вышеприведённых формулах мы использовали т. н. модуль эллиптического интеграла Шаблон:Math (Шаблон:Math). Этот модуль связан с модулярным углом и параметром эллиптического интеграла формулами

$\alpha$ — модулярный угол;

$x=\sin \alpha$ — модуль эллиптического интеграла;

$m=x^2={\sin }^2\alpha$ — параметр эллиптического интеграла.

Легко видеть, что формулы, связывающие значения Шаблон:Math и Шаблон:Math и углы Шаблон:Math и Шаблон:Math, для случая, когда итерации начинаются с параметров Шаблон:Math и Шаблон:Math, можно представить в виде:

$(1+\sin {\alpha }_n)(1+\cos {\alpha }_{n+1})=2,$

$\sin {\alpha }_{n+1}=x,$

$\sin {\alpha }_n=x_1,$

${\phi }_n=\theta ,$

${\phi }_{n+1}=\phi ,$

$\mathrm{tg}({\phi }_{n+1}-{\phi }_n)=\cos {\alpha }_n\mathrm{tg}{\phi }_n.$

Если же итерации начинаются с параметров Шаблон:Math и Шаблон:Math, то формулы имеют вид:

$(1+\sin {\alpha }_{n+1})(1+\cos {\alpha }_n)=2,$

$\sin {\alpha }_{n+1}=x_1,$

$\sin {\alpha }_n=x,$

${\phi }_n=\phi ,$

${\phi }_{n+1}=\theta ,$

$\mathrm{tg}({\phi }_n-{\phi }_{n+1})=\cos {\alpha }_{n+1}\mathrm{tg}{\phi }_{n+1}.$

Следует указать на некоторую особенность предложенной Ланденом замены переменной, то есть перехода независимой переменной от Шаблон:Math к Шаблон:Math. При изменении угла Шаблон:Math от 0 до Шаблон:Math/2 угол Шаблон:Math терпит разрыв. Это обстоятельство необходимо учитывать при численной реализации формулы Ландена.

В широком смысле Ланденом был открыт новый способ вычисления, причём не только эллиптических функций. Его основная идея, заключающаяся в том, что вычисляемую функцию можно представить в виде такого же вида функции, но с другими параметрами, которые при рекурсии стремятся к некоторым пределам, была в дальнейшем широко использована в вычислительной математике. Укажем, что наряду с указанной Ланденом и приведенной выше формулой замены переменной интегрирования, существуют и другие, например такая:

$\mathrm{tg}\theta ={(1-x_1^2)}^{-1/4}\frac{1+\sin \phi }{\cos \phi }.$

В результате такой замены переменной неопределённый интеграл преобразуется в следующий:

$\frac{1+x}{2}\int \frac{d\phi }{\sqrt{1-x^2{\sin }^2\phi }}.$Шаблон:Сомнительная ссылка

Параметры x и x1 связаны зависимостями:

$x=\frac{2(1-\sqrt{(1-x_1^2)}}{x_1^2}-1,$Шаблон:Сомнительная ссылка

$x_1=\frac{2\sqrt{x}}{x+1}.$Шаблон:Сомнительная ссылка

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite doi
• Шаблон:АбрамовицСтиган
• Корн Г., Корн Т. // Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.
• Шаблон:Книга