Просмотр кода страницы Признаки сходимости

'''При́знаки сходи́мости'''  [[Ряд (математика)|числового ряда]] — методы, позволяющие установить [[Предел последовательности|сходимость или расходимость]] бесконечного ряда <math>a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n+\ldots = \sum_{n=1}^{\infty}a_n.</math>

Здесь <math>a_1, a_2,a_3\dots</math> — [[числовая последовательность|последовательность]] [[Вещественное число|вещественных]] или [[Комплексное число|комплексных чисел]]; эти числа называются '''членами ряда'''.

== Необходимое условие сходимости рядов ==
{{main|Необходимое условие сходимости рядов}}

{{рамка}}
Если с ростом <math>n</math> предел члена ряда <math>\lim_{n \to \infty}a_n</math> не существует или не равен нулю, то ряд расходится{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=293—294}}.
|}
Следовательно, условие <math>\lim_{n \to \infty}a_n = 0</math> необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, [[гармонический ряд]].

== Основные признаки сходимости ==
{{also|:Категория:Признаки сходимости}}

=== Ряды с неотрицательными членами ===
Ряды с неотрицательными членами называют также ''знакоположительными''{{sfn |Матвеева и др.}} или просто положительными{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=262}}.

==== Критерий сходимости знакоположительных рядов ====
{{main|Критерий сходимости знакоположительных рядов}}
{{рамка}}
Знакоположительный ряд <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> сходится [[тогда и только тогда]], когда [[последовательность]] его [[Частичная сумма|частичных сумм]] <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math> ограничена сверху{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=264—266}}.
|}

==== Признак сравнения с мажорантой ====
{{main|Признак сравнения}}
Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («''[[Мажоранта|мажорантой]]''»), поведение которого уже известно{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=264—266}}.

{{рамка}}
Пусть даны два знакоположительных ряда: <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> и <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>. Если, начиная с некоторого номера (<math>n>N</math>), выполняется неравенство: <math>0 \leqslant a_n \leqslant b_n</math>, то{{sfn |Воробьёв|1979|с=51—52}}:
* из сходимости ряда <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> следует сходимость ряда  <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>;
* из расходимости ряда <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> следует расходимость и ряда<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>.
|}
Следствие для рядов с членами произвольного знака:
{{рамка}}
Если ряд <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]] и начиная с некоторого номера все <math>|a_n|\leqslant |b_n|</math>, то и ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> сходится абсолютно. 
|}
'''Пример'''{{sfn |Воробьёв|1979|с=52}}. Докажем сходимость [[Ряд обратных квадратов|ряда обратных квадратов]]:
: <math>\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots</math>
Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:
: <math>1 + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} + \cdots</math>
[[Частичная сумма|Частичную сумму]] этого ряда можно представить в виде:
: <math>S_n = 1 + \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots\ + \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) = 2-{1\over n} </math>
Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по [[Признак сравнения|признаку сравнения]], и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в [[Интервал числовой оси|интервале]] <math>(1,2)</math>.

==== Признак Раабе ====
{{main|Признак Раабе}}
Этот признак сильнее, чем [[#Признак Даламбера|признак Даламбера]] и [[#Радикальный признак Коши|радикальный признак Коши]]<ref>{{книга |автор=Корн Г., Корн Т. |заглавие=Справочник по математике (для научных работников и инженеров) |издание=2-е изд |страниц=720 |издательство=Наука |место=М. |год=1970 |страницы=137}}</ref>.
{{рамка}}
Если для ряда <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> существует предел:

:<math>R=\lim_{n \to \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right),</math>

то при <math>R>1</math> ряд сходится, а при <math>R<1</math> — расходится. Если <math>R=1</math>, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=273—274}}.
|}

==== Интегральный признак Коши — Маклорена ====
{{main|Интегральный признак Коши — Маклорена}}
Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд.
{{рамка}}
Пусть функция <math>f(x)</math> определена при <math>x\geqslant 1</math>, неотрицательна, [[Монотонная функция|монотонно убывает]] и <math>f(n) = a_n</math>.

Тогда ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> и несобственный интеграл:
: <math>\int\limits_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int\limits_1^t f(x) \, dx</math> 
сходятся или расходятся одновременно{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=282—285}}.
|}
'''Пример'''{{sfn |Воробьёв|1979|с=61}}. Выясним сходимость ряда для [[Дзета-функция Римана|дзета-функции Римана]] (в вещественном случае):
: <math>\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \dots</math>
Для него порождающая функция имеет вид: <math>1/x^s</math>. Вычислим интеграл:

: <math>\int\limits_1^\infty \frac{1}{x^s} \, dx=\frac{1}{s-1},</math> если <math>s>1</math>, или <math>\infty,</math> если <math>s \leqslant 1.</math> Вывод: данный ряд сходится при <math>s>1</math> и расходится при <math>s\leqslant 1</math>.

==== Признак Гаусса ====
{{main|Признак Гаусса}}
{{рамка}}
Пусть для знакоположительного ряда <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> отношение <math>\frac{a_n}{a_{n+1}}</math> может быть представлено в виде:
: <math>\frac{a_n}{a_{n + 1}} = \lambda+ \frac{\mu}{n} + \frac{\theta_n}{n^2},</math>
где <math>\lambda, \mu</math> — постоянные, а последовательность <math>\{\theta_n\}</math> ограничена. Тогда{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=279}}:
* ряд сходится, если либо <math>\lambda > 1,</math> либо <math>\lambda=1, \mu>1;</math>
* ряд расходится, если либо <math>\lambda < 1,</math> либо <math>\lambda=1, \mu\leqslant 1.</math>
|}

==== Признак Куммера ====
{{main|Признак Куммера}}
Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаков{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=277—279}}.

{{рамка}}
Пусть даны знакоположительный ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> и последовательность положительных чисел <math>\{c_n\}</math> такая, что ряд <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c_n}</math> расходится.

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство:
:<math>K_n=c_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\geqslant\delta,</math>
где <math>\delta</math>.— положительная постоянная, то ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> сходится.

Если же, начиная с некоторого номера, <math>K_n\leqslant 0,</math> то ряд расходится.
{{конец рамки}}

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим <math>K = \lim_{n\to\infty}K_n,</math> тогда в случае <math>K>0</math> ряд сходится, а при <math>K<0</math> — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:
* При <math>c_n = 1</math> — [[признак Даламбера]];
* При <math>c_n = n</math> — [[признак Раабе]];
* При <math>c_n = n\,\mathrm{ln}\,n</math> — [[признак Бертрана]].

==== Признак Бертрана ====
{{main|Признак Бертрана}}
{{рамка}}
Если для ряда <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> существует предел:

:<math>B=\lim_{n \to \infty}\ln n\cdot \left( n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right),</math>

то при <math>B>1</math> ряд сходится, а при <math>B<1</math> — расходится. Если <math>B=1</math>, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда{{sfn|Фихтенгольц|1966|с=279}}.
|}

=== Знакопеременные ряды ===
''Знакопеременными'' называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

==== Признак Даламбера ====
{{main|Признак Даламбера}}
Этот признак также известен как '''критерий Даламбера'''. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатов{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=271—272, 275}}.
{{рамка}}
Если существует <math>\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r,</math> то:
* если <math>r<1,</math> то ряд [[Абсолютная сходимость|абсолютно сходится]];
* если <math>r>1,</math> то ряд расходится;
* если <math>r=1</math>, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.
|}
'''Пример'''<ref>{{книга |автор=[[Бронштейн И. Н.]], [[Семендяев К. А.]] |заглавие=[[Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов]] |издание=изд. 13-е |страниц=544 |место=М. |издательство=Наука |год=1985 |страницы=274}}</ref>. Исследуем сходимость ряда <math>\sum_{n=1}^{\infty}n!\left(\frac{x}{n}\right)^n,</math> где <math>x>0.</math> Вычислим предел:
: <math>r =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = \lim_{n\to\infty}\frac{n^n x}{(n+1)^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{x}{(1+1/n)^n}  = \frac{x}{e}</math>
Следовательно, ряд сходится при <math>x<e</math> и расходится при <math>x>e.</math> Случай <math>x=e</math> следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают (<math>(1+1/n)^n < e</math>, поэтому <math>\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1,</math>) так что и в этом случае ряд расходится.

==== Радикальный признак Коши ====
{{main|Радикальный признак Коши}}
{{рамка}}
Если существует <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = r,</math> то:
* если <math>r<1,</math> то ряд сходится, причём [[Абсолютная сходимость|абсолютно]];
* если <math>r>1,</math> то ряд расходится;
* если <math>r=1</math>, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=270—271}}.
|}
Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверно{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=272, 275 (примеры 3, 4)}}.

'''Пример'''{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=274 (пример 1)}}. Исследуем ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{C}{a_n}\right)^n,</math> где <math>C>0,\{a_n\}</math> — последовательность положительных чисел, причём <math>\lim_{n\to\infty}a_n = A.</math>

: <math>r = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{C}{a_n}\right)^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{C}{a_n} = \frac{C}{A}.</math>

Согласно признаку Коши, возможны три случая.
* Если <math>0<A<+\infty,</math> то при <math>C<A</math> ряд сходится, при <math>C>A</math> — расходится, при <math>C=A</math> определённый вывод сделать нельзя.
* Если <math>A=0,</math> то ряд расходится.
* Если <math>A=+\infty,</math> ряд сходится.

==== Признак Лейбница для знакочередующихся рядов ====
{{main|Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов}}
Этот признак также называют '''критерий Лейбница'''.

{{рамка}}
Пусть для [[Знакочередующийся ряд|знакочередующегося ряда]]:

: <math> S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n</math>, где <math>a_n \geqslant 0</math>,

выполняются следующие условия:
* последовательность <math>\{a_n\},</math> начиная с некоторого номера (<math>n>N</math>) монотонно убывает: <math>a_{n+1} \leqslant a_n</math>;
* <math>\lim_{n \to \infty} a_n  = 0.</math>
Тогда такой ряд сходится{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=302—303}}.
|}

==== Признак Абеля ====
{{main|Признак Абеля}}
{{рамка}}
Числовой ряд <math>\sum_{n=1}^\infty {a_n}{b_n}</math> сходится, если выполнены следующие условия{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=307—308}}:
* Последовательность <math>\{a_n\}</math> монотонна и ограничена.
* Ряд <math>\sum_{n=1}^\infty {b_n}</math> сходится.
|}

==== Признак Дирихле ====
{{main|Признак Дирихле}}
{{рамка}}
Пусть выполнены условия:
* последовательность [[Частичная сумма|частичных сумм]] <math>B_n=\sum_{k=1}^n b_k</math> ограничена;
* последовательность <math>a_n</math>, начиная с некоторого номера, монотонно убывает: <math>a_n \geqslant a_{n+1}</math>;
* <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>.
Тогда ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n b_n</math> сходится.
|}
Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнего{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=307—308}}.

== Вариации и обобщения ==
Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость [[Бесконечное произведение|бесконечных произведений]]. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

'''Теорема'''. Пусть <math>\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty</math> — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение <math>\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)</math> сходится [[тогда и только тогда]], когда сходится ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math>.

Также аналогично, если <math>0 < a_n < 1</math>, то <math>\prod_{n=1}^\infty (1 - a_n)</math> имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение<ref>{{Cite web|url=https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/|title=Convergence of Infinite Products|author=Belk|first=Jim|date=2008-01-26|publisher=|access-date=2020-09-21|archive-date=2017-01-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20170131192857/https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/|deadlink=no}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Воробьёв, Николай Николаевич (математик)|Воробьёв Н. Н.]] |заглавие=Теория рядов
  |серия=Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов
  |издание=4-е изд|место=М. |издательство=Наука |год=1979 |страниц=408 |ref=Воробьёв}}
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]]
  |заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |ref=Фихтенгольц
  |издание=Изд. 6-е|ссылка= |место=М. |издательство=Наука |год=1966
  |том=2 |страниц=800 }}

== Ссылки ==
* {{cite web |author=Матвеева Т. А., Светличная В. Б., Короткова Н. Н. |accessdate=2020-09-22
   |title=Числовые ряды |url=https://www.volpi.ru/files/vpf/vpf_library/CHislovye_rjady.pdf |ref=Матвеева и др.}}
* {{cite web |title=Признаки сходимости ряда |url=https://math.semestr.ru/math/dalembert.php|accessdate=2020-09-22}}

{{ВС}}

{{Признаки сходимости рядов}}

[[Категория:Признаки сходимости| ]]
[[Категория:Ряды]]