Признаки сходимости

При́знаки сходи́мости числового ряда — методы, позволяющие установить сходимость или расходимость бесконечного ряда $a_1+a_2+a_3+\dots +a_n+\dots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

Здесь $a_1,a_2,a_3\dots$ — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Необходимое условие сходимости рядов

Шаблон:Рамка Если с ростом $n$ предел члена ряда $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ не существует или не равен нулю, то ряд расходитсяШаблон:Sfn. |} Следовательно, условие $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ необходимо (но не достаточно) для сходимости ряда. Другими словами, если это условие не выполнено, то ряд заведомо расходится, однако если оно выполнено, то нет гарантии, что ряд сходится — см., например, гармонический ряд.

Основные признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами

Ряды с неотрицательными членами называют также знакоположительнымиШаблон:Sfn или просто положительнымиШаблон:Sfn.

Критерий сходимости знакоположительных рядов

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Знакоположительный ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ ограничена сверхуШаблон:Sfn. |}

Признак сравнения с мажорантой

Шаблон:Main Заключение о сходимости или расходимости ряда можно сделать на основании почленного сравнения его с другим рядом («мажорантой»), поведение которого уже известноШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Пусть даны два знакоположительных ряда: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ и $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$. Если, начиная с некоторого номера ($n>N$), выполняется неравенство: $0⩽a_n⩽b_n$, тоШаблон:Sfn:

• из сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ следует сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$;
• из расходимости ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ следует расходимость и ряда$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$.

|} Следствие для рядов с членами произвольного знака: Шаблон:Рамка Если ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ абсолютно сходится и начиная с некоторого номера все $|a_n|⩽|b_n|$, то и ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится абсолютно. |} ПримерШаблон:Sfn. Докажем сходимость ряда обратных квадратов:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\dots$

Для него рядом-мажорантой можно выбрать ряд:

$1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\cdots$

Частичную сумму этого ряда можно представить в виде:

$S_n=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2-\frac{1}{n}$

Поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, по признаку сравнения, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале $(1,2)$.

Признак Раабе

Шаблон:Main Этот признак сильнее, чем признак Даламбера и радикальный признак Коши. Шаблон:Рамка Если для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ существует предел:

$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1),$

то при $R>1$ ряд сходится, а при $R<1$ — расходится. Если $R=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости рядаШаблон:Sfn. |}

Интегральный признак Коши — Маклорена

Шаблон:Main Этот признак позволяет с полной определённостью определить, сходится или расходится ряд. Шаблон:Рамка Пусть функция $f(x)$ определена при $x⩾1$, неотрицательна, монотонно убывает и $f(n)=a_n$.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ и несобственный интеграл:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx$

сходятся или расходятся одновременноШаблон:Sfn. |} ПримерШаблон:Sfn. Выясним сходимость ряда для дзета-функции Римана (в вещественном случае):

$\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\dots$

Для него порождающая функция имеет вид: $1/x^s$. Вычислим интеграл:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^s}dx=\frac{1}{s-1},$ если $s>1$, или $\mathrm{\infty },$ если $s⩽1.$ Вывод: данный ряд сходится при $s>1$ и расходится при $s⩽1$.

Признак Гаусса

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Пусть для знакоположительного ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ отношение $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ может быть представлено в виде:

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda +\frac{\mu }{n}+\frac{{\theta }_n}{n^2},$

где $\lambda ,\mu$ — постоянные, а последовательность $\{{\theta }_n\}$ ограничена. ТогдаШаблон:Sfn:

• ряд сходится, если либо $\lambda >1,$ либо $\lambda =1,\mu >1;$
• ряд расходится, если либо $\lambda <1,$ либо $\lambda =1,\mu ⩽1.$

|}

Признак Куммера

Шаблон:Main Признак Куммера— чрезвычайно общий и гибкий признак сходимости рядов с положительными членами. Фактически он представляет собой схему для конструирования конкретных признаковШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Пусть даны знакоположительный ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ и последовательность положительных чисел $\{c_n\}$ такая, что ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{c_n}$ расходится.

Если, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство:

$K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}⩾\delta ,$

где $\delta$.— положительная постоянная, то ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится.

Если же, начиная с некоторого номера, $K_n⩽0,$ то ряд расходится. Шаблон:Конец рамки

Чаще на практике применяют предельную форму признака Куммера: находим $K=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_n,$ тогда в случае $K>0$ ряд сходится, а при $K<0$ — расходится.

Из признака Куммера получаются ряд других признаков:

• При $c_n=1$ — признак Даламбера;
• При $c_n=n$ — признак Раабе;
• При $c_n=n\mathrm{l}\mathrm{n}n$ — признак Бертрана.

Признак Бертрана

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Если для ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ существует предел:

$B=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln n\cdot (n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)-1),$

то при $B>1$ ряд сходится, а при $B<1$ — расходится. Если $B=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости рядаШаблон:Sfn. |}

Знакопеременные ряды

Знакопеременными называются ряды, члены которых могут быть как положительны, так и отрицательны.

Признак Даламбера

Шаблон:Main Этот признак также известен как критерий Даламбера. Он проще, чем признак Коши, однако слабее — если работает признак Даламбера, то всегда работает и признак Коши, однако существуют ряды, к которым признак Коши примени́м, а признак Даламбера не даёт результатовШаблон:Sfn. Шаблон:Рамка Если существует $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=r,$ то:

• если $r<1,$ то ряд абсолютно сходится;
• если $r>1,$ то ряд расходится;
• если $r=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости ряда.

|} Пример. Исследуем сходимость ряда $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n!{\left(\frac{x}{n}\right)}^n,$ где $x>0.$ Вычислим предел:

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{n}x}{(n+1{)}^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{(1+1/n{)}^n}=\frac{x}{e}$

Следовательно, ряд сходится при $x<e$ и расходится при $x>e.$ Случай $x=e$ следует разобрать отдельно; проверка показывает, что тогда члены ряда не убывают ($(1+1/n{)}^n<e$, поэтому $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1,$) так что и в этом случае ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Если существует $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=r,$ то:

• если $r<1,$ то ряд сходится, причём абсолютно;
• если $r>1,$ то ряд расходится;
• если $r=1$, то данный признак не позволяет сделать определённый вывод о сходимости рядаШаблон:Sfn.

|} Признак Коши сложнее, однако сильнее, чем признак Даламбера: если признак Даламбера подтверждает сходимость или расходимость ряда, то и признак Коши делает то же, однако обратное неверноШаблон:Sfn.

ПримерШаблон:Sfn. Исследуем ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{C}{a_n}\right)}^n,$ где $C>0,\{a_n\}$ — последовательность положительных чисел, причём $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=A.$

$r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{{\left(\frac{C}{a_n}\right)}^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{C}{a_n}=\frac{C}{A}.$

Согласно признаку Коши, возможны три случая.

• Если $0<A<+\mathrm{\infty },$ то при $C<A$ ряд сходится, при $C>A$ — расходится, при $C=A$ определённый вывод сделать нельзя.
• Если $A=0,$ то ряд расходится.
• Если $A=+\mathrm{\infty },$ ряд сходится.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов

Шаблон:Main Этот признак также называют критерий Лейбница.

Шаблон:Рамка Пусть для знакочередующегося ряда:

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n$, где $a_n⩾0$,

выполняются следующие условия:

• последовательность $\{a_n\},$ начиная с некоторого номера ($n>N$) монотонно убывает: $a_{n+1}⩽a_n$;
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0.$

Тогда такой ряд сходитсяШаблон:Sfn. |}

Признак Абеля

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Числовой ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ сходится, если выполнены следующие условияШаблон:Sfn:

• Последовательность $\{a_n\}$ монотонна и ограничена.
• Ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ сходится.

|}

Признак Дирихле

Шаблон:Main Шаблон:Рамка Пусть выполнены условия:

• последовательность частичных сумм $B_n=\sum _{k=1}^n{b}_k$ ограничена;
• последовательность $a_n$, начиная с некоторого номера, монотонно убывает: $a_n⩾a_{n+1}$;
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$.

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ сходится. |} Описанные выше признаки Лейбница и Абеля вытекают из признака Дирихле и поэтому слабее последнегоШаблон:Sfn.

Вариации и обобщения

Хотя большинство признаков имеют дело с сходимостью бесконечных рядов, их нередко можно использовать, чтобы показать сходимость или расходимость бесконечных произведений. Этого можно добиться, используя следующую теорему:

Теорема. Пусть ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — последовательность положительных чисел. Тогда бесконечное произведение $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

Также аналогично, если $0<a_n<1$, то $\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-a_n)$ имеет ненулевой предел тогда и только тогда, когда ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ сходится. Это можно доказать, логарифмируя произведение.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web