Просмотр кода страницы Признак Шлёмильха

{{Не путать|Признак сгущения Шлёмильха}}

'''Признак Шлёмильха''' — [[признак сходимости]] [[числовые ряды|числовых рядов]] с положительными членами, установленный [[Шлёмильх, Оскар Ксавер|Оскаром Шлёмильхом]].

==Формулировка==
{{Теорема| Если существует такое <math>\delta>0</math>, что начиная с некоторого номера <math>n</math> выполняется неравенство:
:<math>S_n=n\cdot \ln\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)\geqslant 1+\delta,</math>
то ряд <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> сходится.

Если же <math>S_n\leqslant 1</math>, начиная с некоторого <math>n</math>, то ряд расходится.
}}

==Формулировка в предельной форме==
{{Теорема|Если существует [[Предел (математика)|предел]]:
:<math>S=\lim_{n \to \infty} S_n</math>

то при <math>S > 1</math> ряд сходится, а при <math>S < 1</math> — расходится.
}}

'''Замечание.''' Если <math>S = 1</math>, то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

== Сравнение с признаком Раабе ==
Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим [[признак Раабе]]<ref name="prus">Franciszek Prus-Wiśniowski, [https://www.sav.sk/journals/uploads/0317141314prus.pdf Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests] {{Wayback|url=https://www.sav.sk/journals/uploads/0317141314prus.pdf |date=20220129094219 }}, Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119—130</ref>. Например, для ряда:
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{4^{n-1}[(n-1)!]^2}{[(2n-1)!!]^2}</math>,
соотношение соседних членов:
: <math>\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4^{n-1}[(n-1)!]^2}{[(2n-1)!!]^2}\cdot \frac{[(2n+1)!!]^2}{4^{n}[n!]^2} = \frac1{4}\cdot \frac{(2n+1)^2}{n^2} = 1+\frac1{n}+\frac1{4n^2}</math>;
признак Раабе для него даёт:
: <math>R_n = 1 + \frac{1}{4n}\xrightarrow{n \to \infty} 1</math>,
а признак Шлёмильха:
: <math>S_n = n\cdot \ln \left(1+\frac1{n}+\frac1{4n^2}\right) \xrightarrow{n \to \infty} 0</math>
Аналогично, [[признак Бертрана]] также подтверждает сходимость этого ряда:
: <math>B_n=\frac{\ln n}{4n} \xrightarrow{n \to \infty} 0</math>.

== Пример неприменимости ==
Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:<ref name="prus"/>
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^2}</math>
Для него соотношение соседних членов:
: <math>\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!]^2}\cdot\frac{[(n+2)!]^2}{n!\cdot (n+3)!} = \frac{(n+2)^2}{n\cdot (n+3)} = 1+\frac{n+4}{n^2+3n}</math>
Признак Раабе для него даёт:
: <math>R_n = n\cdot\frac{n+4}{n^2+3n}=\frac{n^2+4n}{n^2+3n}\xrightarrow{n \to \infty} 1</math>,
также, как и признак Шлёмильха:
: <math>S_n = n\cdot \ln \left(1+\frac{n+4}{n^2+3n}\right) \xrightarrow{n \to \infty} 1</math>
С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:
: <math>B_n=\ln n\cdot\left(\frac{n^2+4n}{n^2+3n}-1\right)=\frac{\ln n}{n+3} \xrightarrow{n \to \infty} 0</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор         = Subir Kumar Mukherjee
 | часть         = Theorem 15
| ссылка = https://books.google.ru/books?id=n5AhsN5UQ8IC&lpg=PP1&hl=ru&pg=PA190#v=onepage&q&f=false
 | заглавие      = First Course in Real Analysis
 | язык          = en
 | место         = Kolkata
 | издательство  = Academic Publishers
 | год           = 2009
 | страницы      = 190
 | страниц       = 383
 | isbn          = 9788189781903
}}

{{Признаки сходимости рядов}}

[[Категория:Признаки сходимости|Ш]]