Признак Шлёмильха

Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом.

Формулировка в предельной форме

Замечание. Если $S=1$, то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Сравнение с признаком Раабе

Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе. Например, для ряда:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^{n-1}[(n-1)!{]}^2}{[(2n-1)!!{]}^2}$,

соотношение соседних членов:

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{4^{n-1}[(n-1)!{]}^2}{[(2n-1)!!{]}^2}\cdot \frac{[(2n+1)!!{]}^2}{4^n[n!{]}^2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{(2n+1{)}^2}{n^2}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}$;

признак Раабе для него даёт:

$R_n=1+\frac{1}{4n}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }1$,

а признак Шлёмильха:

$S_n=n\cdot \ln (1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2})\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$

Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:

$B_n=\frac{\ln n}{4n}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$.

Пример неприменимости

Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!{]}^2}$

Для него соотношение соседних членов:

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{(n-1)!\cdot (n+2)!}{[(n+1)!{]}^2}\cdot \frac{[(n+2)!{]}^2}{n!\cdot (n+3)!}=\frac{(n+2{)}^2}{n\cdot (n+3)}=1+\frac{n+4}{n^2+3n}$

Признак Раабе для него даёт:

$R_n=n\cdot \frac{n+4}{n^2+3n}=\frac{n^2+4n}{n^2+3n}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }1$,

также, как и признак Шлёмильха:

$S_n=n\cdot \ln (1+\frac{n+4}{n^2+3n})\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }1$

С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:

$B_n=\ln n\cdot (\frac{n^2+4n}{n^2+3n}-1)=\frac{\ln n}{n+3}\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }0$.

Литература

• Шаблон:Книга