Просмотр кода страницы Присоединённое представление алгебры Ли

{{Значения|Присоединённое представление}}
'''Присоединённым представлением [[алгебра Ли|алгебры Ли]]''' <math>\mathfrak g</math> называется [[линейное представление алгебры Ли|линейное представление]] <math>\operatorname{ad}</math> алгебры <math>\mathfrak g</math> в [[модуль над кольцом|модуле]] <math>\mathfrak g</math>, действующее по формуле
: <math>\operatorname{ad}_xy = [x, y],\ \  x,y\in\mathfrak g,</math>
где <math>[ \cdot,\cdot ]</math> ― операция в алгебре <math>\mathfrak g</math>.

== Свойства ==
* [[Ядро (алгебра)|Ядро]] <math>\ker\operatorname{ad}</math> есть [[центр алгебры Ли]] <math>\mathfrak g</math>.
* '''Присоединённые операторы''' <math>\operatorname{ad}_x</math> являются [[дифференцирование алгебры Ли|дифференцированиями алгебры]] <math>\mathfrak g</math> и называются '''внутренними дифференцированиями'''.
* Образ <math>\operatorname{ad}</math> называется '''присоединённой алгеброй''' и является [[идеал (алгебра)|идеалом]] в алгебре Ли <math>\operatorname{Der}\,\mathfrak g</math> всех дифференцирований алгебры <math>\mathfrak g</math>, причём <math>\operatorname{Der}\,\mathfrak g/\operatorname{ad}\,\mathfrak g</math> есть пространство <math>H^1(\mathfrak g,\mathfrak g)</math> 1-мерных [[когомологии алгебры Ли|когомологий алгебры Ли]] <math>\mathfrak g</math>, определяемых присоединённым представлением.
** В частности, <math>\operatorname{Der}\,\mathfrak g=\operatorname{ad}\,\mathfrak g</math>, если <math>\mathfrak g</math> ― [[полупростая алгебра Ли]] над [[поле (алгебра)|полем]] [[характеристика поля|характеристики]] 0.

== Литература ==
* ''Джекобсон Н.'' Алгебры Ли, — {{М}}, 1964;
* [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин Л. С.]]'' Непрерывные группы, — 3 изд. — {{М}}, 1973;
* ''Серр Ж. — П.'' Алгебры Ли и группы Ли, пер. c англ. и франц., {{М}}, 1969;
* ''Хамфрис Дж.'' Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

== См. также ==
* [[Присоединённое представление группы Ли]]

{{algebra-stub}}

[[Категория:Группы Ли]]
[[Категория:Теория представлений]]