Просмотр кода страницы Проблема Кадисона — Зингера

'''Проблема Кадисона — Зингера''' — [[гипотеза (математика)|математическая гипотеза]], выдвинутая в [[1959 год в науке|1959 году]] и подтвержденная в [[2013 год в науке|2013 году]], согласно которой расширения [[Линейная форма|линейных функционалов]] на [[C*-алгебра|<math>C^*</math>-алгебре]] при некоторых ограничениях являются единственными.

Впервые утверждение встречается в работах [[Дирак, Поль|Поля Дирака]] по [[Квантовая механика|квантовой механике]] 1940-х годов, формализовано в 1959 году {{iw|Кадисон, Ричард|Ричардом Кадисоном|en|Richard Kadison}} и [[Зингер, Изадор|Изадором Зингером]]<ref>{{Cite journal|last=Kadison|first=R.|author-link=|last2=Singer|first2=I.|author-link2=|date=1959|title=Extensions of pure states|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1959-04_81_2/page/383|journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume=81|issue=2|pages=383–400|doi=10.2307/2372748|jstor=2372748|mr=0123922}}</ref>. Впоследствии было показано, что это утверждение эквивалентно многочисленным открытым математическим проблемам, а также ряду гипотез из прикладных направлений<ref name="det2">{{cite book|last1=Casazza|first1=P. G.|last2=Fickus|first2=M.|last3=Tremain|first3=J. C.|last4=Weber|first4=E.|title=Operator theory, operator algebras, and applications|location=Providence, RI|publisher=American Mathematical Society|date=2006|volume=414|pages=299–355|isbn=9780821839232|doi=10.1090/conm/414/07820|contribution=The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account|series=Contemporary Mathematics|arxiv=math/0510024|mr=2277219}}</ref><ref name="con3">{{cite arXiv|title=Consequences of the Marcus/Spielman/Stivastava solution to the Kadison–Singer Problem|first=Peter G.|last=Casazza|date=2015|eprint=1407.4768|class=math.FA}}</ref>. Кадисон, Зингер и большинство изучавших проблему специалистов считали утверждение ложным<ref name="det2" /><ref name="con3" />, однако в 2013 году его истинность была доказана [[Маркус, Адам (математик)|Адамом Маркусом]], [[Спилмен, Дэниел|Дэниелом Спилменом]] и {{iw|Шривастава, Нихил|Нихилом Шриваставой|en|Nikhil Srivastava}}<ref>{{cite arXiv|last1=Marcus|first1=Adam|author1-link=|last2=Spielman|first2=Daniel A.|author2-link=|last3=Srivastava|first3=Nikhil|author3-link=|year=2013|title=Interlacing families II: Mixed characteristic polynomials and the Kadison–Singer problem|eprint=1306.3969|class=math.CO}}</ref>, получившими в 2014 году [[Премия Пойи (SIAM)|Премию Пойи]] за этот результат.

Решение стало возможным благодаря альтернативной формулировке, предложенной [[Андерсон, Джоэл|Джоэлом Андерсоном]]: в 1979 году им доказана эквивалентность проблемы Кадисона — Зингера сформулированной им «гипотезе о брусчатке»{{Переход|#Гипотеза о дорожном покрытии}}, в которой присутствуют операторы только в конечномерных гильбертовых пространствах. Ник Уивер предложил другую формулировку для конечномерного случая, и эта версия и была доказана с помощью техники случайных многочленов<ref name="disc">{{Cite web|url=http://windowsontheory.org/2013/07/11/discrepancy-graphs-and-the-kadison-singer-conjecture-2/|title=Discrepancy, Graphs, and the Kadison–Singer Problem|author=Srivastava|first=Nikhil|author-link=|website=Windows on Theory|date=2013-07-11|access-date=2024-04-24|archive-date=2021-04-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210413152042/https://windowsontheory.org/2013/07/11/discrepancy-graphs-and-the-kadison-singer-conjecture-2/|url-status=live}}</ref>.

== Оригинальная формулировка ==
Оригинальная формулировка использует [[Гильбертово пространство|сепарабельное гильбертово пространство]] <math>\ell^2</math>ℓ<sup>2</sup> и две связанные с ним <math>C^*</math>-алгебры — алгебру <math>B</math> всех [[Ограниченный оператор|непрерывных линейных операторов]] <math>\ell^2 \to \ell^2</math> и алгеброй <math>D</math> всех диагональных непрерывных линейных операторов <math>\ell^2 \to \ell^2</math>.

{{iw|Состояние (функциональный анализ)|Состоянием|en|State (functional analysis)}} на <math>C^*</math>-алгебре <math>A</math> называют линейный функционал <math>\varphi \colon A \to \C</math> такой, что <math>\varphi(I)=1</math> (где <math>I</math> обозначает [[нейтральный элемент]] алгебры) и <math>\varphi(T)\geqslant 0</math> для любого <math>T\geqslant 0</math>. Такое состояние называется чистым, если оно является экстремальной точкой множества всех состояний на <math>A</math> (то есть если его нельзя записать в виде [[Выпуклая комбинация|выпуклой комбинации]] других состояний на <math>A</math>).

По [[Теорема Хана — Банаха|теореме Хана — Банаха]] любой функционал на <math>D</math> может быть расширен до <math>B</math>. Кадисон и Зингер предположили, что для случая чистых состояний это расширение единственно. То есть задача Кадисона — Зингера заключалась в доказательстве или опровержении следующего утверждения: для любого чистого состояния <math>\varphi</math> на <math>D</math> существует единственное состояние на <math>B</math>, которое является расширением <math>\varphi</math>. Утверждение оказалось верным.

== Гипотеза о дорожном покрытии ==
Проблема Кадисона — Зингера имеет положительное решение тогда и только тогда, когда верна следующая «гипотеза о дорожном покрытии»<ref>{{Cite journal|last=Anderson|first=Joel|date=1979|title=Restrictions and representations of states on C∗-algebras|url=https://www.ams.org/tran/1979-249-02/S0002-9947-1979-0525675-1/|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=249|issue=2|pages=303–329|doi=10.2307/1998793|jstor=1998793|mr=0525675|access-date=2024-04-24|archive-date=2021-10-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20211016120511/https://www.ams.org/journals/tran/1979-249-02/S0002-9947-1979-0525675-1/|url-status=live}}</ref> — для каждого <math>\varepsilon>0</math> существует натуральное число <math>k</math> такое, что справедливо следующее: для каждого <math>n</math> и каждого линейного оператора <math>T</math>, заданного над <math>n</math>-мерным гильбертовым пространством <math>\C^n</math>, с нулями на диагонали существует разбиение множества <math>\{1,\dots,n\}</math> на <math>k</math> наборов <math>A_1,\dots, A_k</math> такое, что:

: <math>\|P_{A_j} T P_{A_j}\| \leqslant \varepsilon \|T\|</math> для любых <math>j=1,\ldots,k</math>.

Здесь <math>P_{A_j}</math> обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое стандартными единичными векторами, соответствующими элементам {{Nobr|<math>A_j</math>,}} так что матрица <math>P_{A_j} T P_{A_j}</math>получается из матрицы <math>T</math> заменой всех строк и столбцов, которые не соответствуют индексам в <math>A_j</math> на 0. Матричная норма <math>\|\cdot\|</math> — [[Норма матрицы|спектральная норма]], то есть [[Операторная норма|норма оператора]] относительно евклидовой нормы {{Nobr|<math>\C^n</math>}}. В этом утверждении <math>k</math> может зависеть не только от <math>\varepsilon</math>, но и от <math>n</math>.

== Эквивалентное утверждение о несоответствии ==
Следующее утверждение о «{{iw|Теория несоответствия|несоответствии|en|Discrepancy theory}}» также эквивалентно проблеме Кадисона — Зингера, как было показано в работе [[Уивер, Ник|Ника Уивера]] 2004 года<ref>{{Cite journal|last=Weaver|first=Nik|date=2004|title=The Kadison-Singer problem in discrepancy theory|journal=Discrete Mathematics|volume=278|issue=1–3|pages=227–239|arxiv=math/0209078|doi=10.1016/S0012-365X(03)00253-X|s2cid=5304663}}</ref>: если векторы <math>u_1,\ldots,u_m\in\mathbb{C}^d</math> такие, что <math>\sum_{i=1}^m u_i u_i^* = I</math> (<math>d\times d</math> единичная матрица) и <math>\|u_i\|_2^2\leqslant\delta</math> для любых <math>i \in 1 \dots m</math>, то существует разбиение <math>\{1,\ldots,m\}</math> на два множества <math>S_1</math> и <math>S_2</math> таких, что:
: <math>\left\|\sum_{i\in S_j} u_i u_i^*\right\|\leqslant \frac{\left(1+\sqrt{2\delta}\right)^2}{2}</math>, где <math>j=1,2</math>.

Это утверждение означает следующее: если векторы <math>v_1,\ldots,v_m\in\R^d</math> таковы, что <math>\|v_i\|_2^2\leqslant\alpha</math> для <math>i \in 1 \dots m</math> и имеет место:
: <math>\sum_{i=1}^m \langle v_i,x\rangle^2 =1 \qquad
\forall x \in\mathbb{R}^d: \|x\|=1</math>,
то существует разбиение <math>\{1,\ldots,m\}</math> на два набора <math>S_1</math> и <math>S_2</math> таких, что для <math>j=1,2</math> выполнено:
: <math>\left|\sum_{i\in S_j} \langle v_i,x\rangle^2 -\frac{1}{2}\right|\leqslant 5\sqrt{\alpha}</math> для всех <math>x\in\R^d</math> таких, что <math>\|x\|=1</math>.

Здесь «несоответствие» становится видимым, когда <math>\alpha</math> достаточно мало: квадратичная форма на единичной сфере может быть разбита на две примерно равные части, то есть части, значения которых не сильно отличаются от 1/2 на единичной сфере. В этой форме теорему можно использовать для вывода утверждений об определённых разбиениях графов<ref name="disc" />.

К этой формулировке Маркус, Спилмен и Шривастава применили технику случайных многочленов для доказательства гипотезы в 2013 году.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Ссылки ==
* {{cite web|url=http://www.cs.ubc.ca/~nickhar/papers/KS/KS.pdf|title=An introduction to the Kadison–Singer Problem and the Paving Conjecture|author=Nicholas J. A. Harvey|date=2013-07-11|lang=en}}

[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Операторные алгебры]]