Проблема Кадисона — Зингера

Проблема Кадисона — Зингера — математическая гипотеза, выдвинутая в 1959 году и подтвержденная в 2013 году, согласно которой расширения линейных функционалов на $C^{*}$-алгебре при некоторых ограничениях являются единственными.

Впервые утверждение встречается в работах Поля Дирака по квантовой механике 1940-х годов, формализовано в 1959 году Шаблон:Iw и Изадором Зингером. Впоследствии было показано, что это утверждение эквивалентно многочисленным открытым математическим проблемам, а также ряду гипотез из прикладных направлений. Кадисон, Зингер и большинство изучавших проблему специалистов считали утверждение ложным, однако в 2013 году его истинность была доказана Адамом Маркусом, Дэниелом Спилменом и Шаблон:Iw, получившими в 2014 году Премию Пойи за этот результат.

Решение стало возможным благодаря альтернативной формулировке, предложенной Джоэлом Андерсоном: в 1979 году им доказана эквивалентность проблемы Кадисона — Зингера сформулированной им «гипотезе о брусчатке»Шаблон:Переход, в которой присутствуют операторы только в конечномерных гильбертовых пространствах. Ник Уивер предложил другую формулировку для конечномерного случая, и эта версия и была доказана с помощью техники случайных многочленов.

Оригинальная формулировка

Оригинальная формулировка использует сепарабельное гильбертово пространство ${\ell }^2$ℓ² и две связанные с ним $C^{*}$-алгебры — алгебру $B$ всех непрерывных линейных операторов ${\ell }^2\to {\ell }^2$ и алгеброй $D$ всех диагональных непрерывных линейных операторов ${\ell }^2\to {\ell }^2$.

Шаблон:Iw на $C^{*}$-алгебре $A$ называют линейный функционал $\phi :A\to ℂ$ такой, что $\phi (I)=1$ (где $I$ обозначает нейтральный элемент алгебры) и $\phi (T)⩾0$ для любого $T⩾0$. Такое состояние называется чистым, если оно является экстремальной точкой множества всех состояний на $A$ (то есть если его нельзя записать в виде выпуклой комбинации других состояний на $A$).

По теореме Хана — Банаха любой функционал на $D$ может быть расширен до $B$. Кадисон и Зингер предположили, что для случая чистых состояний это расширение единственно. То есть задача Кадисона — Зингера заключалась в доказательстве или опровержении следующего утверждения: для любого чистого состояния $\phi$ на $D$ существует единственное состояние на $B$, которое является расширением $\phi$. Утверждение оказалось верным.

Гипотеза о дорожном покрытии

Проблема Кадисона — Зингера имеет положительное решение тогда и только тогда, когда верна следующая «гипотеза о дорожном покрытии» — для каждого $\epsilon >0$ существует натуральное число $k$ такое, что справедливо следующее: для каждого $n$ и каждого линейного оператора $T$, заданного над $n$-мерным гильбертовым пространством ${ℂ}^n$, с нулями на диагонали существует разбиение множества $\{1,\dots ,n\}$ на $k$ наборов $A_1,\dots ,A_k$ такое, что:

$\Vert P_{A_j}T{P}_{A_j}\Vert ⩽\epsilon \Vert T\Vert$ для любых $j=1,\dots ,k$.

Здесь $P_{A_j}$ обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое стандартными единичными векторами, соответствующими элементам Шаблон:Nobr так что матрица $P_{A_j}T{P}_{A_j}$получается из матрицы $T$ заменой всех строк и столбцов, которые не соответствуют индексам в $A_j$ на 0. Матричная норма $\Vert \cdot \Vert$ — спектральная норма, то есть норма оператора относительно евклидовой нормы Шаблон:Nobr. В этом утверждении $k$ может зависеть не только от $\epsilon$, но и от $n$.

Эквивалентное утверждение о несоответствии

Следующее утверждение о «Шаблон:Iw» также эквивалентно проблеме Кадисона — Зингера, как было показано в работе Ника Уивера 2004 года: если векторы $u_1,\dots ,u_m\in {ℂ}^d$ такие, что $\sum _{i=1}^m{u}_i{u}_i^{*}=I$ ($d\times d$ единичная матрица) и $\Vert u_i{\Vert }_2^2⩽\delta$ для любых $i\in 1\dots m$, то существует разбиение $\{1,\dots ,m\}$ на два множества $S_1$ и $S_2$ таких, что:

$\Vert \sum _{i\in S_j}{u}_i{u}_i^{*}\Vert ⩽\frac{{(1+\sqrt{2\delta })}^2}{2}$, где $j=1,2$.

Это утверждение означает следующее: если векторы $v_1,\dots ,v_m\in {ℝ}^d$ таковы, что $\Vert v_i{\Vert }_2^2⩽\alpha$ для $i\in 1\dots m$ и имеет место:

$\sum _{i=1}^m⟨v_i,x{⟩}^2=1\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^d:\Vert x\Vert =1$,

то существует разбиение $\{1,\dots ,m\}$ на два набора $S_1$ и $S_2$ таких, что для $j=1,2$ выполнено:

$|\sum _{i\in S_j}⟨v_i,x{⟩}^2-\frac{1}{2}|⩽5\sqrt{\alpha }$ для всех $x\in {ℝ}^d$ таких, что $\Vert x\Vert =1$.

Здесь «несоответствие» становится видимым, когда $\alpha$ достаточно мало: квадратичная форма на единичной сфере может быть разбита на две примерно равные части, то есть части, значения которых не сильно отличаются от 1/2 на единичной сфере. В этой форме теорему можно использовать для вывода утверждений об определённых разбиениях графов.

К этой формулировке Маркус, Спилмен и Шривастава применили технику случайных многочленов для доказательства гипотезы в 2013 году.

Ссылки

• Шаблон:Cite web