Просмотр кода страницы Проект:Избранные статьи/Кандидаты/Фигурные числа

{{Подстраница кандидата в избранные статьи}}

== [[Фигурные числа]] ==
{{закрыто}}
Фигурные числа — очень древнее мистическое понятие, однако у них имеются многочисленные связи с другими, более современными классами чисел, да и вообще очень красивая теория. Статья прошла [[Википедия:Рецензирование/Фигурные числа|рецензирование]] с 10 по 22 февраля 2021. Все конструктивные замечания будут приняты с благодарностью и по возможности реализованы. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 10:25, 22 февраля 2021 (UTC)

=== Поддерживаю ===
* {{За}}. Очередная полная статья.— [[У:Ququ|Alexander Mayorov]] ([[ОУ:Ququ|обс.]]) 10:42, 22 февраля 2021 (UTC)
* {{За}}. Давно не было математических статей такого качества. — '''''[[У:Пенумбра|Penumbra]]'''''<sup>[[ОУ:Пенумбра|disp.]]</sup> 04:45, 24 февраля 2021 (UTC)

=== Комментарии ===
Для начала горячо благодарю {{u|adamant.pwn}} за грандиозный труд по улучшению оформления статьи (а в перспективе — и её содержания). Я опасался, что номинация пройдёт скучно, но, похоже, напрасно. Всё же одно замечание: вы стали выносить завершающие знаки препинания из тегов <nowiki><math></nowiki>, однако, как показывает практика, это не приносит пользы, но может принести вред — если этот знак попадает в конец строки текста, то он нередко переносится на новую строку и неприятно портит внешний вид абзаца. Включение знака препинания в теги <nowiki><math></nowiki> гарантирует от такого безобразия. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 15:43, 22 февраля 2021 (UTC)

* «''произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел''» — по определению из статьи не всегда. Вот <math>(1^2+1^2)(1^2+1^2)=4</math> может быть представлено в виде суммы квадратов только как <math>2^2+0^2</math>, но <math>0</math> не квадратное число. <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 14:05, 22 февраля 2021 (UTC)
** Предлагаю следующую модификацию текста: «Если дополнить ряд квадратных чисел нулём, то имеет место [[тождество Брахмагупты — Фибоначчи]]: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел» {{итд}}. Есть возражения? [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 15:43, 22 февраля 2021 (UTC)
*** А какие-нибудь источники рассматривают многоугольные числа, дополненные нулём? <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 15:46, 22 февраля 2021 (UTC)
**** В OEIS как раз все многоугольные числа начинают с нуля, см., например, {{OEIS short|A000217}} или {{OEIS short|A000290}}. Хотя обычно всё же с единицы. Можно бы рассмотреть расширенное определение многоугольного числа, уже существующее автоматически даёт ноль при <math>n=0,</math> или фиксировать две версии определения. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 16:10, 22 февраля 2021 (UTC)
***** {{done}}. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 12:16, 26 февраля 2021 (UTC)

* Не хватает ссылок на источники:
:# Свойства треугольных чисел — неплохо бы иметь источник на каждое свойство (не у всех есть), а лучше — обобщающий, в котором они собраны, непосредственно после слова «свойства»;
:# Квадратные (про сумму треугольных), шестиугольные (про вычёркивание чётных элементов треугольных чисел), двенадцатиугольные числа (про последнюю цифру в десятичной системе) — то же самое;
:# То же самое по центрированным числам;
: <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 14:21, 22 февраля 2021 (UTC)
** {{done}}. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 15:42, 25 февраля 2021 (UTC)

* В [[Фигурные числа#Определение, является ли заданное число многоугольным]] решение по второй задаче хорошо мотивировано и понятно (вот общая формула, преобразуем, смотрим). Решение же к первой как будто сваливается с неба. Было бы хорошо, если бы к не вполне очевидным манипуляциям из этого решения были какие-то комментарии о том, почему выполняются именно они. <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 14:34, 22 февраля 2021 (UTC)
** {{done}}. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 16:40, 2 марта 2021 (UTC)

* По мотивам [[Фигурные числа#Сводная таблица]] очень напрашивается отдельный раздел по рядам обратных фигурных чисел. Есть ли какие-то общие методы их суммирования? Все ли из них выражаются в [[элементарная функция|элементарных функциях]] целых чисел и числа пи? <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 14:44, 22 февраля 2021 (UTC)
** Судя по wolframalpha, в общем случае сумма равна <math display=inline>-\frac{2}{k-4}\left(\gamma + \psi(\frac{2}{k-2})\right)</math>, где <math>\gamma</math> — [[постоянная Эйлера — Маскерони]], <math>\psi(x)</math> — [[дигамма-функция]]. В свою очередь из [[:en:Digamma function#Gauss's digamma theorem]] следует, что это выражение при <math>k>4</math> очень даже выражается в элементарных функциях. При подстановке выходит (надеюсь, ничего не напутал):{{pb}}<math display=block>\frac{2}{k-4}\left(\ln 2(k-2) + \frac{\pi}{2} \cot (\frac{2\pi}{k-2}) - 2\sum\limits_{n=1}^{\left\lfloor \frac{k-3}{2} \right\rfloor} \cos\left(\frac{4\pi n}{k-2} \right) \ln\sin\left(\frac{\pi n}{k-2}\right) \right)</math>{{pb}}Интересно, пишут ли об этом в АИ. <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 15:34, 22 февраля 2021 (UTC)
*** Даже для ряда обратных кубов теоретическая точная формула суммы неизвестна (см. [[Постоянная Апери]]), так что общего метода суммирования пока не существует и, судя по всему, не существует в принципе. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 15:42, 25 февраля 2021 (UTC)
**** Про постоянную Апери я знаю, но здесь ведь не кубы, а многочлены второй степени. Собственно, общий метод выражения этих чисел в элементарных функциях я как раз привёл в комментарии, на который вы ответили, как и формулу через дигамма-функцию… Она, кстати, именно в таком виде в АИ встречается: [https://pdfs.semanticscholar.org/6677/87cea1a898502086858c43672e12ecde14d1.pdf] (формула 23). <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 16:03, 25 февраля 2021 (UTC)
**** {{done}}. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 14:07, 5 марта 2021 (UTC)

* Для центрированных чисел в явном виде указано геометрическое построение. Для классических же оно не указано, хотя определённо есть и продемонстрировано на иллюстрациях, вместо него сразу идёт формальное определение. Было бы неплохо в явном виде прописать геометрическое построение для классических многоугольных чисел. <span style="font:111% Helvetica Neue">'''adamant.pwn'''</span> — <small>[[Служебная:Вклад/adamant.pwn|contrib]]/[[ОУ:adamant.pwn|talk]]</small> 15:03, 22 февраля 2021 (UTC)
** {{done}}. [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 15:15, 1 марта 2021 (UTC)

* Я может что-то не понимаю, но используя рекурентную формулу для квадратных чисел, второе квадратное число получается 1 + (4 - 2)*(2 - 1) + 1 = 4, а не 3. Аналогично, чуть выше более хитрая формула, применённая для третьего квадратного числа дает: 4*(3*3 - 3)/2 - 3*3 + 2*3 = 4*6/2 - 9 + 6 = 12 - 3 = 9, но 9 - это пятое квадратное число. Что я делаю не так? — [[У:Zanka|Zanka]] ([[ОУ:Zanka|обс.]]) 11:02, 26 февраля 2021 (UTC)
** Дошло, но тогда первая картинка неудачна. — [[У:Zanka|Zanka]] ([[ОУ:Zanka|обс.]]) 11:04, 26 февраля 2021 (UTC)
*** А такая? [[Участник:LGB|Leonid G. Bunich]] / [[ОУ:LGB|обс.]] 12:16, 26 февраля 2021 (UTC)
**** Такая лучше, спасибо. — [[У:Zanka|Zanka]] ([[ОУ:Zanka|обс.]]) 16:45, 27 февраля 2021 (UTC)
{{закрыто-конец}}
=== Итог ===
Основные замечания исправлены, статус присвоен. [[У:Victoria|Victoria]] ([[ОУ:Victoria|обс.]]) 11:12, 1 апреля 2021 (UTC)