Просмотр кода страницы Произведение Громова

'''Произведение Громова'''  оценивает расстояние, на котором две [[геодезическая|геодезические]] из одной точки начинают существенно расходиться.
Используется, в частности для определения метрики на абсолютной границе метрического пространства.

Названо в честь [[Громов, Михаил Леонидович|Михаила Леонидовича Громова]]. 

== Определение ==
Пусть  <math>p</math> — отмеченная точка метрического пространства <math>(X,d)</math>.
Тогда, '''произведением Громова''' (с центром в <math>x</math>) точек <math>y</math> и <math>z</math> этого пространства называется величина
:<math>
(y,z)_p :=\tfrac{1}{2}\cdot (d(p,y)+d(p,z)-d(y,z)).
</math>

== Свойства ==
* Произведение Громова неотрицательно и симметрично: <math>\forall p,y,z\in X\quad (y, z)_p =(z, y)_p, \quad (y, z)_p\ge 0.</math>
* Для случая [[дерево (теория графов)|дерева]], <math>(y,z)_p</math> есть длина совпадающей части кратчайших <math>[py]</math> и <math>[pz]</math>.
*Для [[дерево (теория графов)|дерева]] выполняется неравенство.
*:<math>(x, z)_{p} \geqslant \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\};</math>
:иначе говоря, наименьшие две величины из <math>(x, z)_{p}</math>, <math>(x, y)_{p}</math> и <math>(y, z)_{p}</math> совпадают.
*Для [[δ-гиперболическое пространство|<math>\delta</math>-гиперболических пространств]] выполняется неравенство.
*:<math>(x, z)_{p} \geqslant \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta.</math>

== Литература ==
*{{книга|автор=Э. Жис, П. Де ля Арп|заглавие=Гиперболические группы по Михаилу Громову|год=1992|серия=|ссылка=|место=М.|издательство=Мир|тираж=|страниц=|isbn=}}
[[Категория:Геометрическая теория групп]]
[[Категория:Александровская геометрия]]