Просмотр кода страницы Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

'''Пространство квадратично-суммируемых последовательностей''' — [[метрическое пространство]], одно из базовых {{iw|пространство последовательностей|пространств последовательностей|en|Sequence space}}, состоит из бесконечных последовательностей чисел <math>x = \{x_n\}_{i=1}^{\infty}</math> для которых ряд:
: <math>\sum_{i=1}^\infty |x_i|^2</math>
[[Сходимость ряда|сходится]] и в котором определено расстояние <math>\rho(x,y)</math> между двумя точками <math>x, y</math> как <ref name="Sob">''[[Соболев, Владимир Иванович (математик)|Соболев В. И.]]'' Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М., [[Наука (издательство)|Наука]], 1968. — с. 32</ref>: 
: <math>\rho(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}-y_{i})^{2}}</math>.

Стандартное обозначение — <math>\ell^{2}</math><ref name="Sob"></ref>. Единственное из пространств последовательностей <math>\ell^{p}</math>, являющееся [[гильбертово пространство|гильбертовым]].

Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с [[Евклидово пространство|евклидовым пространством]]:
: <math>\{x_i\}_{i=1}^{\infty} + \{y_i\}_{i=1}^{\infty} = \{x_i + y_i\}_{i=1}^{\infty}</math>, <math>\lambda \{x_i\}_{i=1}^{\infty} = \{\lambda x_i\}_{i=1}^{\infty}</math>.

Скалярное произведение:
: <math>(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty}x_i y_i</math>.

[[Норма (математика)|Норма]] в таком пространстве определяется как:
: <math>\left \| x \right \| = \sqrt {(x, x)} = \sqrt{ \sum_{i=1}^{\infty}x_i^{2} }</math>.

Примеры:
* бесконечные последовательности вида <math>x = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}, \dots)</math> входят в <math>\ell^2</math>, так как ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}</math> сходится;
* коэффициенты [[Ряд Фурье|ряда Фурье]] <math>f(x) = \frac{a_{0}}{2} +  \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos nx + b_{n} \sin nx)</math> таковы, что <math>(\frac{a_{0}}{2}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots, a_{n}, b_{n}, \dots ) \in \ell^2</math>, что следует из [[Неравенство Бесселя|неравенства Бесселя]].

Любое [[евклидово пространство]] <math>\R^n</math> является подпространством пространства <math>\ell^{2}</math>, что следует из возможности представления его точек в виде <math>x = (x_1, x_2, \dots, x_n, 0, 0, \dots)</math>.

[[Квантовая механика]] первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: [[Матричная квантовая механика|матричной механики]] [[Гейзенберг, Вернер|Гейзенберга]], использующей пространство <math>\ell^{2}</math>, и [[волновая механика|волновой механики]] [[Шрёдингер, Эрвин|Шрёдингера]], использующей изоморфное ему гильбертово пространство [[Lp (пространство)#Пространство L²|<math>L^2</math>]]<ref name="Kolm">{{книга | автор = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]], [[Фомин, Сергей Васильевич|С. В. Фомин]] | заглавие = Элементы теории функций и функционального анализа | том = II. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство | место = М. | издательство = МГУ | год = 1960 | страницы = 94—96}}</ref>.

Пространство <math>\ell^{2}</math> иногда называют '''координатным гильбертовым пространством'''<ref name="Sob"></ref>.

== См. также ==
* [[Пространство ограниченных последовательностей]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Вулих, Борис Захарович|Вулих Б. З.]] | заглавие = Введение в функциональный анализ | место = М. | издательство = Физматлит | год = 1958 | страниц = 352 | isbn = |тираж = 7500| ref = Вулих}}
* {{Из|МЭС|заглавие=Гильбертово пространство|с=152}}

[[Категория:Функциональный анализ]]