Просмотр кода страницы Пространство столбцов

[[Файл:Matrix_Rows.svg|справа|мини|Вектор-строки [[Матрица (математика)|матрицы]]. Пространство строк матрицы — это [[линейная оболочка]] вектор-строк.]]
[[Файл:Matrix_Columns.svg|справа|мини|Вектор-столбцы [[Матрица (математика)|матрицы]]. Пространство столбцов матрицы — это [[линейная оболочка]] вектор-столбцов.]]
'''Пространство столбцов''' (также ''[[Образ (математика)|образ]]'', ''[[область значений]]'') [[Матрица (математика)|матрицы]] <math>A</math> — это [[линейная оболочка]] (множество всех возможных [[Линейная комбинация|линейных комбинаций]]) её [[Вектор-столбец|вектор-столбцов]]. Пространство столбцов матрицы также является [[Образ (математика)|образом]] или [[Область значений функции|областью значений]] соответствующего ей [[Линейное отображение#Матрица линейного оператора|отображения]].

Пусть <math>\mathbb{F}</math> — некоторое [[Поле (математика)|поле]]. Пространство столбцов матрицы размера <math>m \times n</math> с компонентами из <math>\mathbb{F}</math> является [[Линейное подпространство|линейным подпространством]] [[Координатное пространство|координатного пространства]] <math>\mathbb{F}^m</math>. [[Размерность векторного пространства|Размерность]] пространства столбцов называется [[Ранг матрицы|рангом]] матрицы и не превосходит <math>\min(m, n)</math><ref name="ReferenceA2">Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в {{harvtxt|Lay|2005}}, {{harvtxt|Meyer|2001}}, и {{harvtxt|Strang|2005}}.</ref>. Понятие [[Пространство столбцов#Для матрицы над кольцами|также определено]] для матриц заданных над [[Кольцо (математика)|кольцом]] <math>\mathbb{K}</math>.

'''Пространство строк''' определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над [[Вещественное число|вещественными числами]], то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами <math>\R^n</math> и <math>\R^m</math> соответственно<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=179}}</ref>.

== Обзор ==
Пусть <math>A</math> — матрица размера <math>m \times n</math>.Тогда имеют место такие утверждения про её ранг <math>\operatorname{rank}A</math>, где <math>\operatorname{rowsp}A</math> и <math>\operatorname{colsp}A</math> — её пространства столбцов и строк соответственно:

# <math>\operatorname{rank}A=\dim \operatorname{rowsp}A=\dim \operatorname{colsp}A</math><ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=183}}</ref>,
# <math>\operatorname{rank}A</math> равен числу опорных элементов в любом [[Ступенчатый вид по строкам|ступенчатом виде]] <math>A</math>,
# <math>\operatorname{rank}A</math> равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы <math>A</math><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=254}}</ref>.

Пространство столбцов матрицы <math>A</math> совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов <math>A</math>. То есть, если <math>A = [a_1, \dots, a_n]</math>, то <math>\operatorname{colsp}A = \operatorname{span}\{a_1, \dots, a_n\}</math>, где <math>\operatorname{span}S</math> — линейная оболочка <math>S</math>.

Действие матрицы <math>A</math> на некоторый вектор <math>x</math> может быть представлено как линейная комбинация столбцов <math>A</math> с коэффициентами, соответствующими координатам <math>x</math>. Значит, <math>Ax</math> всегда лежит в <math>\operatorname{colsp}A</math>. Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из <math>\R^n</math> в <math>\R^m</math>, то пространство столбцов матрицы будет соответствовать [[Образ (математика)|образу]] данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем [[Комплексное число|комплексных чисел]] <math>\Complex</math> или, в общем случае, над произвольным [[Поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb F</math>.

'''Пример'''

Дана матрицы <math>J</math>:

: <math>
  J =
  \begin{bmatrix}
    2 & 4 & 1 & 3 & 2\\
    -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\
    1 & 6 & 2 & 2 & 2\\
    3 & 6 & 2 & 5 & 1
  \end{bmatrix}
</math>

Её строки:

* <math>r_1 = [2,4,1,3,2]</math>,
* <math>r_2 = [-1, -2, 1, 0, 5]</math>,
* <math>r_3 = [1, 6, 2, 2, 2]</math>,
* <math>r_4 = [3, 6, 2, 5, 1]</math>.

Следовательно, пространство строк матрицы <math>J</math> это подпространство <math>\R^5</math>, заданное как <math>\operatorname{span}\{r_1,r_2,r_3,r_4\}</math>. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки [[Линейная независимость|линейно независимы]]. Кроме того, в данном случае все строки [[Ортогональность|ортогональны]] вектору <math>n=[6,-1,4,-4,0]</math>, из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов <math>\R^5</math>, которые ортогональны вектору <math>n</math>.

== Пространство столбцов ==

=== Определение ===
Пусть <math>\mathbb K</math> — некоторое [[Поле (алгебра)|поле]] [[скаляр]]ов, над которым задана матрица <math>A</math> размера <math>m \times n</math> со столбцами <math>\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n</math>. [[Линейная комбинация]] этих векторов — это любой вектор вида:

: <math>c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n,</math>

Где <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math> — скаляры. Множество всех возможных комбинаций <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n</math> называется пространством столбцов <math>A</math>. То есть, пространство столбцов <math>A</math> — это [[линейная оболочка]] векторов <math>\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_n</math>.

Любая линейная комбинация столбцов матрицы <math>A</math> может быть записана как умножение матрицы <math>A</math> на некоторый вектор-столбец:

: <math>\begin{array} {rcl}
A \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
& = & \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} c_1 a_{11} + & \cdots & + c_{n} a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} a_{m1} + & \cdots & + c_{n} a_{mn} \end{bmatrix} = c_1 \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} + \cdots + c_n \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \\
& = & c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n
\end{array}</math>

Таким образом, пространство столбцов <math>A</math> состоит из всех возможных произведений <math>Ax</math>, где <math>x \in \mathbb K^n</math>, что то же самое, что [[Образ (математика)|образ]] (или [[Область значений функции|область значений]]) соответствующего [[Линейное отображение#Матрица линейного оператора|отображения]].

; Пример
: Если <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}</math>, то её столбцы это <math>v_1 = [1, 0, 2]^T</math> и <math>v_2 = [0, 1, 0]^T</math>.
: Линейная комбинация <math>v_1</math> и <math>v_2</math> — это любой вектор, имеющий следующий вид:
:: <math>c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ 2c_1 \end{bmatrix}\,</math> Множество всех таких векторов образует пространство столбцов <math>A</math>. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов <math>[x,y,z] \in \R^3</math>, удовлетворяющих уравнению <math>z=2x</math>.
: В [[Декартова система координат|декартовой системе координат]] это множество соответствует некоторой [[Плоскость|плоскости]], проходящей через начало отсчёт в [[Трёхмерное пространство|трёхмерном пространстве]].

=== Базис ===
Столбцы матрицы <math>A</math> порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать [[базис]] если столбцы не [[Линейная независимость|линейно независимы]]. К счастью, [[Элементарные преобразования матрицы|элементарные преобразования строк]] матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить [[базис]] в пространстве столбцов [[Метод Гаусса|методом Гаусса]].

Например, дана такая матрица:

: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}\text{.}</math>

Столбцы этой матрицы не [[Линейная независимость|линейно независимы]], что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём <math>A</math> к [[Ступенчатый вид по строкам|ступенчатому виду по строкам]]:

: <math>\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 8 \end{bmatrix}
\sim \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & 4 \end{bmatrix}
\sim  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}
\sim  \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}</math><ref>В указанных вычислениях используется метод [[Метод Гаусса — Жордана]]. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.</ref>

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, <math>v_3 = -2v_1+v_2</math>). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

: <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 5 \\ 2\end{bmatrix},\;\;
\begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \\ 8\end{bmatrix}\text{.}</math>

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к [[Ступенчатый вид по строкам|ступенчатому виду]].

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства ''столбцов'' <math>A</math> эквивалентно нахождению оного для пространства ''строк'' [[Транспонированная матрица|транспонированной]] матрицы <math>A^T</math>. На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется [[сингулярное разложение]].

=== Размерность ===
{{main|Ранг матрицы}}[[Конечномерное пространство|Размерность]] пространства столбцов называется [[Ранг матрицы|рангом]] матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в [[Ступенчатый вид по строкам|ступенчатом виде]] матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен <math>3</math>.

Так как пространство столбцов это [[Образ (математика)|образ]] соответствующего [[Линейное отображение#Матрица линейного оператора|отображения]], ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения <math>\R^4 \to \R^4</math> заданного матрицей выше отображает <math>\R^4</math> в некоторое трёхмерное [[Линейное подпространство|подпространство]].

Размерность [[Ядро матрицы|ядра матрицы]] равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов<ref>Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной [[Система линейных алгебраических уравнений|системе линейных уравнений]].</ref>. Ранг и размерность ядра матрицы <math>A</math> c <math>n</math> столбцами связаны уравнением:

: <math>\operatorname{rank}(A) + \dim\ker(A) = n.\,</math>

=== Связь с коядром ===
[[Коядро (теория категорий)|Коядро]] (''левый аннулятор'') матрицы <math>A</math> это множество векторов <math>\mathbf{x}</math> таких что <math>\mathbf{x}^T A = 0^T</math>. Коядро матрицы <math>A</math> совпадает с ядром <math>A^T</math>. Произведение <math>A^T</math> на <math>\mathbf{x}</math> может быть записано в виде [[Скалярное произведение|скалярных произведений]] векторов

: <math>A^T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{v}_n \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix},</math>

Потому что строки <math>A^T</math> являются транспонированными столбцами <math>\mathbf{v}_k</math> матрицы <math>A</math>. Поэтому <math>A^T \mathbf{x}=0</math> тогда и только тогда когда <math>\mathbf{x}</math> ортогонален ко всем столбцам <math>A</math>.

Отсюда следует, что коядро <math>A</math> (ядро <math>A^T</math>) — это [[ортогональное дополнение]] к пространству столбцов <math>A</math>.

=== Для матрицы над кольцами ===
Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как ''правое'' пространство столбцов) может быть определено для матриц над [[Кольцо (математика)|кольцом]] <math>\mathbb K</math> как:

: <math>\sum\limits_{k=1}^n \mathbf{v}_k c_k</math>

Где <math>c_1, \dots, c_n \in \mathbb K</math>. Координатное пространство при этом меняется на правый [[свободный модуль]], что также меняет порядок в [[Умножение на скаляр|умножении на скаляр]] вектора <math>\mathbf{v}_k</math> на скаляр <math>c_k</math> таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр<ref>Это важно только если <math>\mathbb K</math> не [[Коммутативное кольцо|коммутативно]]. В действительности такая форма это не более чем результат [[Умножение матриц|умножения]] <math>A\mathbf{c}</math> матрицы <math>A</math> на столбец <math>\mathbf c \in \mathbb K^n</math>, в котором порядок множителей ''сохранён'', в отличие от формулы выше.</ref>.

== См. также ==
* [[Евклидово пространство]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{see also|Линейная алгебра#Литература}}

* {{Citation|last=Anton|first=Howard|date=1987|title=Elementary Linear Algebra|location=New York|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|edition=5th|isbn=0-471-84819-0}}
* {{Citation|last=Axler|first=Sheldon Jay|date=1997|title=Linear Algebra Done Right|publisher=Springer-Verlag|edition=2nd|isbn=0-387-98259-0}}
* {{Citation|last1=Banerjee|first1=Sudipto|last2=Roy|first2=Anindya|date=June 6, 2014|title=Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics|publisher=CRC Press|edition=1st|isbn=978-1-42-009538-8}}
* {{citation|last1=Beauregard|first1=Raymond A.|last2=Fraleigh|first2=John B.|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|location=Boston|publisher=[[Houghton Mifflin Company]]|year=1973|isbn=0-395-14017-X}}
* {{Citation|last=Lay|first=David C.|date=August 22, 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Addison Wesley|edition=3rd|isbn=978-0-321-28713-7}}
* {{Citation|last=Leon|first=Steven J.|date=2006|title=Linear Algebra With Applications|publisher=Pearson Prentice Hall|edition=7th}}
* {{Citation|last=Meyer|first=Carl D.|date=February 15, 2001|title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|isbn=978-0-89871-454-8|url=http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010301161440/http://matrixanalysis.com/DownloadChapters.html|archivedate=2001-03-01|df=}} {{Wayback|url=http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html |date=20091031193126 }}
* {{Citation|last=Poole|first=David|date=2006|title=Linear Algebra: A Modern Introduction|publisher=Brooks/Cole|edition=2nd|isbn=0-534-99845-3}}
* {{Citation|last=Strang|first=Gilbert|date=July 19, 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Brooks Cole|edition=4th|isbn=978-0-03-010567-8}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|title=Row Space|urlname=RowSpace}}
* {{MathWorld|title=Column Space|urlname=ColumnSpace}}
* {{aut|[[Гилберт Стрэнг]]}}, [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] на Google Video от [[MIT OpenCourseWare]]
* [http://www.khanacademy.org/video/column-space-of-a-matrix?playlist=Linear+Algebra Khan Academy video tutorial]
* [http://mfile.akamai.com/7870/rm/mitstorage.download.akamai.com/7870/18/18.06/videolectures/strang-1806-lec06-20sep1999-80k.rm Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT]
* [http://wps.prenhall.com/am_leon_linearalg_7/53/13727/3514210.cw/content/index.html Row Space and Column Space]
{{Векторы и матрицы}}

[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Матрицы]]