Пространство столбцов

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.

Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы $A$ — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть $𝔽$ — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера $m\times n$ с компонентами из $𝔽$ является линейным подпространством координатного пространства ${𝔽}^m$. Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит $\min (m,n)$. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом $𝕂$.

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами ${ℝ}^n$ и ${ℝ}^m$ соответственно.

Обзор

Пусть $A$ — матрица размера $m\times n$.Тогда имеют место такие утверждения про её ранг $\mathrm{rank}A$, где $\mathrm{rowsp}A$ и $\mathrm{colsp}A$ — её пространства столбцов и строк соответственно:

1. $\mathrm{rank}A=\dim \mathrm{rowsp}A=\dim \mathrm{colsp}A$,
2. $\mathrm{rank}A$ равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде $A$,
3. $\mathrm{rank}A$ равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы $A$.

Пространство столбцов матрицы $A$ совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов $A$. То есть, если $A=[a_1,\dots ,a_n]$, то $\mathrm{colsp}A=\mathrm{span}\{a_1,\dots ,a_n\}$, где $\mathrm{span}S$ — линейная оболочка $S$.

Действие матрицы $A$ на некоторый вектор $x$ может быть представлено как линейная комбинация столбцов $A$ с коэффициентами, соответствующими координатам $x$. Значит, $Ax$ всегда лежит в $\mathrm{colsp}A$. Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из ${ℝ}^n$ в ${ℝ}^m$, то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел $ℂ$ или, в общем случае, над произвольным полем $𝔽$.

Пример

Дана матрицы $J$:

$J=\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& 1& 3& 2\\ -1& -2& 1& 0& 5\\ 1& 6& 2& 2& 2\\ 3& 6& 2& 5& 1\end{array}\right]$

Её строки:

• $r_1=[2,4,1,3,2]$,
• $r_2=[-1,-2,1,0,5]$,
• $r_3=[1,6,2,2,2]$,
• $r_4=[3,6,2,5,1]$.

Следовательно, пространство строк матрицы $J$ это подпространство ${ℝ}^5$, заданное как $\mathrm{span}\{r_1,r_2,r_3,r_4\}$. Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору $n=[6,-1,4,-4,0]$, из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов ${ℝ}^5$, которые ортогональны вектору $n$.

Пространство столбцов

Определение

Пусть $𝕂$ — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица $A$ размера $m\times n$ со столбцами ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$. Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

$c_1{𝐯}_1+c_2{𝐯}_2+\cdots +c_n{𝐯}_n,$

Где $c_1,c_2,\dots ,c_n$ — скаляры. Множество всех возможных комбинаций ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$ называется пространством столбцов $A$. То есть, пространство столбцов $A$ — это линейная оболочка векторов ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$.

Любая линейная комбинация столбцов матрицы $A$ может быть записана как умножение матрицы $A$ на некоторый вектор-столбец:

$\begin{array}{ccc}A\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{c}_1{a}_{11}+& \cdots & +c_n{a}_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ c_1{a}_{m1}+& \cdots & +c_n{a}_{mn}\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right]+\cdots +c_n\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]\\ & =& c_1{𝐯}_1+\cdots +c_n{𝐯}_n\end{array}$

Таким образом, пространство столбцов $A$ состоит из всех возможных произведений $Ax$, где $x\in {𝕂}^n$, что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример

Если $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$, то её столбцы это $v_1=[1,0,2{]}^T$ и $v_2=[0,1,0{]}^T$.

Линейная комбинация $v_1$ и $v_2$ — это любой вектор, имеющий следующий вид:

$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 2c_1\end{array}\right]$ Множество всех таких векторов образует пространство столбцов $A$. В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов $[x,y,z]\in {ℝ}^3$, удовлетворяющих уравнению $z=2x$.

В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис

Столбцы матрицы $A$ порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 2& 7& 3& 9\\ 1& 5& 3& 1\\ 1& 2& 0& 8\end{array}\right]\text{.}$

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём $A$ к ступенчатому виду по строкам:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 2& 7& 3& 9\\ 1& 5& 3& 1\\ 1& 2& 0& 8\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 2& 2& -3\\ 0& -1& -1& 4\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& -5\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, $v_3=-2v_1+v_2$). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 7\\ 5\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 9\\ 1\\ 8\end{array}\right]\text{.}$

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов $A$ эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы $A^T$. На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность

Шаблон:MainРазмерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен $3$.

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения ${ℝ}^4\to {ℝ}^4$ заданного матрицей выше отображает ${ℝ}^4$ в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов. Ранг и размерность ядра матрицы $A$ c $n$ столбцами связаны уравнением:

$\mathrm{rank}(A)+\dim \ker (A)=n.$

Связь с коядром

Коядро (левый аннулятор) матрицы $A$ это множество векторов $𝐱$ таких что ${𝐱}^{T}A=0^T$. Коядро матрицы $A$ совпадает с ядром $A^T$. Произведение $A^T$ на $𝐱$ может быть записано в виде скалярных произведений векторов

$A^T𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐯}_1\cdot 𝐱\\ {𝐯}_2\cdot 𝐱\\ ⋮\\ {𝐯}_n\cdot 𝐱\end{array}\right],$

Потому что строки $A^T$ являются транспонированными столбцами ${𝐯}_k$ матрицы $A$. Поэтому $A^T𝐱=0$ тогда и только тогда когда $𝐱$ ортогонален ко всем столбцам $A$.

Отсюда следует, что коядро $A$ (ядро $A^T$) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов $A$.

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом $𝕂$ как:

$\sum _{k=1}^n{𝐯}_k{c}_k$

Где $c_1,\dots ,c_n\in 𝕂$. Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора ${𝐯}_k$ на скаляр $c_k$ таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр.

См. также

• Евклидово пространство

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Aut, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces на Google Video от MIT OpenCourseWare
• Khan Academy video tutorial
• Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
• Row Space and Column Space