Координатное пространство

Координатное пространство — это плоское пространство, которое устанавливает позицию двухмерных объектов при использовании двух опорных осей, которые являются перпендикулярными друг к другу.

Все физические явления могут быть описаны в разных пространствах: координатном, импульсном, фазовом и др. Описания математически эквивалентны, однако различаются сложностью и интуитивностью описания. В большинстве случаев, координатное пространство является интуитивно понятным и наиболее лёгким для понимания процесса, в нём протекающего, однако, в физике твёрдого тела в общем случае удобнее использовать импульсное описание.

Определение

Назовём $n$-мерным вектором совокупность из $n$ чисел поля $P,$ эти числа — координатами вектора $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(r_1,r_2,\dots ,r_n).$ Для определённости говорят, что данный вектор $\overrightarrow{r}$ является радиус-вектором, хотя это не обязательно.

Множество $n$-мерных векторов, для которых определены операции:

• $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\leftrightarrow \{\begin{array}{c}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ \dots \\ a_n=b_n\end{array}$
• $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)$
• $\lambda \cdot \overrightarrow{a}=(\lambda \cdot a_1,\lambda \cdot a_2,\dots ,\lambda \cdot a_n)$

называют $n$-мерным арифметическим пространством или $n$-мерным координатным пространством $P^n$.

Свойства

Пусть $\mathrm{\exists }\overrightarrow{0}=(0,0,\dots ,0),\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n),\lambda \in ℝ,\mu \in ℝ$

• Ассоциативность:

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

• Коммутативность:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

• Единственность решения уравнения:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\mathrm{\exists }!\overrightarrow{x}\in P^n:\overrightarrow{a}+\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$

• Существование нейтрального элемента:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{a}:\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$

• Существование противоположного вектора:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{a}\mathrm{\exists }\overrightarrow{b}(b_1=-a_1,b_2=-a_2,\dots ,b_n=-a_n):\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

• Ассоциативность скалярного умножения:

$\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in ℝ:\lambda \cdot (\mu \cdot \overrightarrow{a})=(\lambda \cdot \mu )\cdot \overrightarrow{a}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров:

$(\lambda +\mu )\cdot \overrightarrow{a}=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\mu \cdot \overrightarrow{a}$

• Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов:

$\lambda (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda \cdot \overrightarrow{a}+\lambda \cdot \overrightarrow{b}$

• Существование базис-векторов:

Пусть $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_1}(1,0,\dots ,0)\\ \overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_2}(0,1,\dots ,0)\\ ⋮\\ \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{v_n}(0,0,\dots ,1)\end{array}$

Тогда

• Эти векторы линейно независимы
• Любой вектор $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ можно представить как $\overrightarrow{v}=v_1\cdot \overrightarrow{v_1}+v_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +v_n\cdot \overrightarrow{v_n}$

Операторы в координатном пространстве

Все операторы могут быть обобщены на $n$-мерный случай, однако для простоты в этом разделе будут рассматриваться только трёхмерные случаи.

• Лапласиан:

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$

• Набла:

$\mathrm{\nabla }=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}$

• Векторный оператор Лапласа:

$\overrightarrow{\mathrm{\Delta }}\overrightarrow{A}=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})$

• Оператор импульса:

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

См. также

• Импульсное пространство
• Фазовое пространство
• Пространство конфигураций