Просмотр кода страницы Релятивистская квантовая механика

{{Квантовая механика}}
'''Релятивистская квантовая механика''' ('''РКМ''') — раздел квантовой физики, в котором рассматриваются релятивистские квантовые законы движения микрочастиц в одночастичном приближении. Более обще, это любая [[Группа Пуанкаре|ковариантная формулировка]] [[Квантовая механика|квантовой механики]] (КМ). Эта теория применима к [[Тардион|массивным частицам]], движущимися со всеми [[Скорость|скоростями]], вплоть до сравнимых со [[Скорость света|скоростью света]] ''c'', и к [[Безмассовые частицы|безмассовым частицам]]. Теория применяется в [[Физика элементарных частиц|физике высоких энергий]]<ref>{{cite book |author=Perkins, D.H. |title=Introduction to High Energy Physics|publisher=Cambridge University Press |year=2000 |url=https://books.google.com/books?id=e63cNigcmOUC&q=Relativistic+quantum+mechanics&pg=PA19 |isbn=978-0-521-62196-0}}</ref>[[Физика элементарных частиц|, физике элементарных частиц]] и [[Физика ускорителей|физике ускорителей]]<ref name="Martin, Shaw, p 3">{{cite book |first1=B.R. |last1=Martin |first2=G. |last2=Shaw |title=Particle Physics |url=https://archive.org/details/particlephysics00mart |url-access=limited |edition=3rd |series=Manchester Physics Series |publisher=John Wiley & Sons |page=[https://archive.org/details/particlephysics00mart/page/n24 3] |isbn=978-0-470-03294-7|date=2008-12-03 }}</ref>, а также в [[Атомная физика|атомной физике]], [[Квантовая химия|квантовой химии]]<ref>{{cite book |author1=Reiher, M. |author2=Wolf, A. |title=Relativistic Quantum Chemistry |publisher=John Wiley & Sons |year=2009 |url=https://books.google.com/books?id=YwSpxCfsNsEC&q=Relativistic+quantum+mechanics&pg=PA1 
|isbn=978-3-527-62749-3}}</ref> и [[Физика конденсированного состояния|физике конденсированного состояния]]<ref>{{cite book |author=Strange, P. |title=Relativistic Quantum Mechanics: With Applications in Condensed Matter and Atomic Physics |publisher=Cambridge University Press |year=1998 |url=https://books.google.com/books?id=sdVrBM2w0OwC&q=Relativistic+quantum+mechanics&pg=PR15 |isbn=978-0-521-56583-7}}</ref><ref>{{cite book |author=Mohn, P. |title=Magnetism in the Solid State: An Introduction |page=6 |publisher=Springer |volume=134|series=Springer Series in Solid-State Sciences Series |year=2003 |url=https://books.google.com/books?id=ZgyjojQUyMcC&q=electromagnetic+multipoles+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA6 |isbn=978-3-540-43183-1}}</ref>. ''Нерелятивистская квантовая механика'' в [[Математические основы квантовой механики|математической формулировке квантовой механики]], применяется в контексте теории [[Галилея относительность|относительности Галилея]], в частности, к квантованию уравнений [[Классическая механика|классической механики]] путём замены динамических переменных [[Оператор (физика)|операторами]]. ''Релятивистская квантовая механика'' — это квантовая механика, применяемая совместно со [[Специальная теория относительности|специальной теорией относительности]] (СТО). Хотя более ранние формулировки, такие как [[Представление Шрёдингера|представления Шрёдингера]] и [[Представление Гейзенберга|Гейзенберга]], изначально были сформулированы в нерелятивистской форме, некоторые из них (например, формализм Дирака или фейнмановский интеграл по траекториям) также учитывают СТО.

Ключевые особенности, общие для всех РКМ, включают: предсказание существования [[Антивещество|античастиц]], [[магнитный момент спина|спиновые магнитные моменты]] [[Фундаментальная частица|элементарных частиц]] со [[Спин-1/2|спином {{Дробь|1|2}}]], [[Фермион|тонкую]] [[Тонкая структура|структуру]] и квантовую динамику [[Заряженная частица|заряженных частиц]] в [[Электромагнитное поле|электромагнитных полях]]<ref name="Martin, Shaw, pp. 5–6">{{cite book |first1=B.R. |last1=Martin |first2=G. |last2=Shaw |title=Particle Physics |url=https://archive.org/details/particlephysics00mart |url-access=limited |edition=3rd |series=Manchester Physics Series |publisher=John Wiley & Sons |pages=[https://archive.org/details/particlephysics00mart/page/n26 5]–6 |isbn=978-0-470-03294-7|date=2008-12-03 }}</ref>. Основным результатом теории является [[уравнение Дирака]], из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике, чтобы достичь согласия с экспериментальными наблюдениями, нужно искусственно вводить дополнительные слагаемые в [[Гамильтониан (квантовая механика)|оператор Гамильтона]].

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) РКМ является ''релятивистская [[квантовая теория поля]]'' (КТП), в которой элементарные частицы интерпретируются как ''кванты поля''. Уникальным следствием КТП в сравнении с другими РКМ, которое экспериментально подтвердили является нарушение сохранения числа частиц, например, при [[создание материи|создании]] и [[Аннигиляция|уничтожении]] материи<ref>{{cite book |author=Messiah, A. |year=1981 |title=Quantum Mechanics |publisher=North-Holland Publishing Company |volume=2 |page=875 |url=https://books.google.com/books?id=VR93vUk8d_8C&q=lorentz+group+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA876 |isbn=978-0-7204-0045-8}}</ref>.

В этой статье уравнения написаны в знакомых обозначениях трёхмерного [[Векторный анализ|векторного исчисления]] и используют шляпы для [[Оператор (физика)|операторов]] (не обязательно в литературе), а там, где можно использовать компоненты пространства и времени, также используются [[Обозначение тензорного индекса|тензорные индексы]] (часто используется в литературе), кроме того, используется [[Соглашение Эйнштейна|правило суммирования Эйнштейна]]. Здесь используются распространённые в литературе [[Международная система единиц|единицы СИ]]; [[гауссова СГС|единицы Гаусса]] и [[Естественные системы единиц|натуральные единицы]]. Все уравнения даны в координатном представлении; а для импульсного представления нужно использовать [[преобразование Фурье]] см. [[Позиционное и импульсное пространство|координатное и импульсное пространства]].

== Объединение специальной теории относительности и квантовой механики ==
Один из подходов для расширения квантовой механики на релятивистские системы состоит в том, чтобы изменить [[Представление Шрёдингера|представление Шредингера]], чтобы оно соответствовало СТО<ref name="Martin, Shaw, p 3"></ref>.

Один из [[Математические основы квантовой механики|постулатов квантовой механики]] состоит в том, что [[Эволюция времени|эволюция во времени]] любой квантовой системы задаётся [[Уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]]:

: <math>i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi =\hat{H}\psi</math>

с помощью подходящего [[Гамильтониан (квантовая механика)|оператора Гамильтона]] {{Math|''Ĥ''}}, описывающего квантовую систему. Решение этого уравнения представляет собой [[Комплексное число|комплекснозначную]] [[Волновая функция|волновую функцию]] {{Math|''ψ''('''r''', ''t'')}}, [[Функция (математика)|зависящую]] от [[Трёхмерное пространство|трёхмерного]] [[радиус-вектор]]а {{Math|'''r'''}} частицы в момент времени {{Math|''t''}}, описывает поведение системы.

Каждая частица обладает неотрицательным [[Спиновое квантовое число|спиновым квантовым числом]] {{Math|''s''}}. Число {{Math|2''s''}} — целое число, нечётное для [[фермион]]ов и чётное для [[бозон]]ов. Для каждого {{Math|''s''}} существует {{Math|2''s'' + 1}} квантовых чисел — проекций на ось ''z''; {{Math|''σ''&nbsp;{{=}}&nbsp;''s'', ''s''&nbsp;&minus;&nbsp;1, ..., &minus;''s''&nbsp;+&nbsp;1, &minus;''s''}}<ref group="lower-alpha">Другие распространённые обозначения включают m<sub>s</sub> и s<sub>z</sub>, но это будет мешать выражениям с ненужными подстрочными обозначениями. Индексы σ не следует путать с тензорными индексами и матрицами Паули.</ref>. Это дополнительная дискретная переменная, которая выступает дополнительным параметром волновой функции: {{Math|''ψ''('''r''',&nbsp;''t'',&nbsp;''σ'')}}.

Исторически сложилось так, что в начале 1920-х годов [[Паули, Вольфганг|Паули]], [[Крониг, Ральф|Крониг]], [[Уленбек, Джордж Юджин|Уленбек]] и [[Гаудсмит, Сэмюэл Абрахам|Гаудсмит]] первыми предложили концепцию спина. Добавление спина в волновую функцию позволяет учитывать [[Принцип Паули|принцип запрета Паули]] (1925 г.) и более общую [[Теорема Паули|теорему о связи спина со статистикой]] (1939 г.), доказанную [[Маркус Фирц|Маркусом Фирцем]] и заново выведенную Паули годом позже. Он объяснил многие явления в физике [[Субатомная частица|субатомных частиц]]: от [[Электронная конфигурация|электронных конфигураций]] атомов, ядер и, следовательно, всех [[Химический элемент|элементов]] [[Периодическая система химических элементов|периодической таблицы]] и их [[Химия|химии]], до конфигураций кварков и [[Цветовой заряд|цветового заряда]] (свойства [[барион]]ов и [[мезон]]ов).

Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское [[Отношение энергии-импульса|соотношение между энергией и импульсом]] для частицы с [[Инвариантная масса|массой покоя]] {{Math|''m''}} в заданной [[Система отсчёта|системе отсчета]] с [[Энергия|энергией]] {{Math|''E''}} и трёхмерным [[импульс]]ом {{Math|'''p'''}}, выраженным [[Скалярное произведение|скалярным произведением]] <math>p = \sqrt{\mathbf{p} \cdot \mathbf{p}}</math><ref>{{Cite book|author1=Forshaw, J.R.|author2=Smith, A.G.|title=Dynamics and Relativity|url=https://archive.org/details/dynamicsrelativi00fors|publisher=John Wiley & Sons|year=2009|pages=[https://archive.org/details/dynamicsrelativi00fors/page/n272 258]–259|isbn=978-0-470-01460-8|series=Manchester Physics Series}}</ref>{{sfn|Тернов|2002|с=12}}:

: <math>E^2 = c^2\mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + (mc^2)^2\,.</math>

Эти уравнения используются вместе с [[Оператор (физика)|операторами]] [[Энергетический оператор|энергии]] и [[Оператор импульса|импульса]], которые задаются в виде{{sfn|Тернов|2002|с=11}}:

: <math>\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\,,\quad \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar\nabla\,,</math>

построить [[релятивистское волновое уравнение]]: [[Дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальное уравнение]] в частных производных, согласующееся с релятивистским соотношением между энергией и импульсом частицы, которое решается относительно {{Math|''ψ''}} для предсказания её квантовой динамики{{sfn|Тернов|2002|с=12—13}}. Чтобы пространство и время были равноправны в уравнении, как в теории относительности, порядки [[Частная производная|частных производных]] по координатам и времени должны быть одинаковыми и в идеале как можно более низкими, чтобы не нужно было указывать начальные значения производных. Это важно для вероятностных интерпретаций, приведённых ниже. Наименьший возможный порядок любого дифференциального уравнения — первый.

Представление [[Представление Гейзенберга|Гейзенберга]] — это ещё одна формулировка квантовой механики, когда волновая функция {{Math|''ψ''}} не зависит от ''времени'', а зависимость от времени перенесена на операторы {{Math|''A''(''t'')}} и определяется уравнением движения:

: <math>\frac{d}{dt}A = \frac{1}{i\hbar}[A,\hat{H}]+\frac{\partial}{\partial t}A\,,</math>

Это уравнение верно и в РКМ, при условии, что операторы Гейзенберга модифицированы для согласования с СТО<ref>{{Cite book|last1=Greiner, W.|title=Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations|url=https://books.google.com/books?id=2DAInxwvlHYC&q=Relativistic+quantum+mechanics&pg=PA1|edition=3rd|publisher=Springer|page=70|isbn=978-3-540-67457-3}}</ref><ref>{{Cite news|author=Wachter, A.|page=34|title=Relativistic quantum mechanics|publisher=Springer|url=https://books.google.com/books?id=NjZogv2yFzAC&q=armin+wachter+relativistic+quantum+mechanics|isbn=978-90-481-3645-2}}</ref>.

В 1926 году [[Шрёдингер, Эрвин|Шрёдингер]] и [[Гейзенберг, Вернер|Гейзенберг]] показали, что волновая механика и [[Матричная квантовая механика|матричная механика]] эквивалентны, что позже было подтверждено Дираком с использованием [[Теория трансформации (квантовая механика)|теории преобразований]].

Более современный подход к РКМ, впервые появившийся во время её распространения на частицы с любым спином, заключается в применении [[Теория представлений группы Лоренца|представлений группы Лоренца]].

=== Пространство и время ===
В [[Классическая механика|классической механике]] и нерелятивистской квантовой механике время — это абсолютная величина, с которой всегда могут согласиться все наблюдатели и частицы, «тикающая» на заднем фоне независимо от точки пространства. Таким образом, в нерелятивистской квантовой механике для системы [[Система многих частиц|многих частиц]] {{Math|''ψ''('''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, '''r'''<sub>3</sub>, ..., ''t'', ''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>...)}} {{Math|''ψ''('''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, '''r'''<sub>3</sub>, ..., ''t'', ''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>...)}} {{Math|''ψ''('''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, '''r'''<sub>3</sub>, ..., ''t'', ''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>...)}} {{Math|''ψ''('''r'''<sub>1</sub>, '''r'''<sub>2</sub>, '''r'''<sub>3</sub>, ..., ''t'', ''σ''<sub>1</sub>, ''σ''<sub>2</sub>, ''σ''<sub>3</sub>...)}} .

В [[Релятивистская механика|релятивистской механике]] [[Система координат|пространственные координаты]] и [[Координировать время|временная координата]] ''не'' являются абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять различные координаты и время [[Событие (теория относительности)|событий]]. Координаты положения и времени естественным образом объединяются в [[4-вектор|четырёхмерный пространственно-временной вектор]] {{Math|'''X''' {{=}} (''ct'', '''r''')}} соответствующий событию, а энергия и 3-мпульс естественным образом объединяются в [[Четырёхимпульс|четыре импульс]] {{Math|'''P''' {{=}} (''E''/''c'', '''p''')}} движущейся частицы, измеренным в ''некоторой'' [[Система отсчёта|системе отсчёта]], преобразуются в соответствии с [[Преобразования Лоренца|преобразованием Лоренца]], когда кто-то измеряет в другой системе отсчёта бусты и/или вращение относительно исходной рассматриваемой системы отсчёта. Операторы производных, а значит, операторы энергии и 3-мпульса также не инвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном [[Группа Лоренца|ортохронном]] [[Преобразования Лоренца|преобразовании Лоренца]] {{Math|('''r''', ''t'') → Λ('''r''', ''t'')}} в [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]] все одночастичные квантовые состояния {{Math|''ψ<sub>σ</sub>''}} локально преобразуются при некотором [[Теория представлений группы Лоренца|представлении]] {{Math|''D''}} группы [[Группа Лоренца|Лоренца]]<ref name="Weinberg">{{Cite journal|author=Weinberg, S.|journal=Phys. Rev.|volume=133|pages=B1318–B1332|year=1964|doi=10.1103/PhysRev.133.B1318|title=Feynman Rules ''for Any'' spin|issue=5B|bibcode=1964PhRv..133.1318W|url=http://theory.fi.infn.it/becattini/files/weinberg1.pdf|access-date=2023-02-23|archive-date=2020-12-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20201204053451/http://theory.fi.infn.it/becattini/files/weinberg1.pdf|url-status=dead}};<br><br> {{Cite journal|author=Weinberg, S.|journal=Phys. Rev.|volume=134|pages=B882–B896|year=1964|doi=10.1103/PhysRev.134.B882|title=Feynman Rules ''for Any'' spin. II. Massless Particles|issue=4B|bibcode=1964PhRv..134..882W|url=http://theory.fi.infn.it/becattini/files/weinberg2.pdf|access-date=2023-02-23|archive-date=2022-03-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20220309040610/http://theory.fi.infn.it/becattini/files/weinberg2.pdf|url-status=dead}};<br><br> {{Cite journal|author=Weinberg, S.|journal=Phys. Rev.|volume=181|pages=1893–1899|year=1969|doi=10.1103/PhysRev.181.1893|title=Feynman Rules ''for Any'' spin. III|issue=5|bibcode=1969PhRv..181.1893W|url=http://theory.fi.infn.it/becattini/files/weinberg3.pdf|access-date=2023-02-23|archive-date=2022-03-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20220325020742/http://theory.fi.infn.it/becattini/files/weinberg3.pdf|url-status=dead}}</ref><ref>{{cite arXiv|author=Masakatsu, K.|year=2012|title=Superradiance Problem of Bosons and Fermions for Rotating Black Holes in Bargmann–Wigner Formulation|eprint=1208.0644|class=gr-qc}}</ref>:

: <math>\psi_\sigma(\mathbf{r}, t) \rightarrow D(\Lambda) \psi_\sigma(\Lambda^{-1}(\mathbf{r}, t)) </math>

где {{Math|''D''(Λ)}} — конечномерное (матричное) представление, [[квадратная матрица]] размерности {{Math|(2''s'' + 1)×(2''s'' + 1)}}. Опять же, {{Math|''ψ''}} рассматривается как [[вектор-строки и вектор-столбцы|вектор-столбец]], содержащий компоненты с {{Math|(2''s'' + 1)}} допустимыми значениями {{Math|''σ''}}. [[Квантовое число|Квантовые числа]] {{Math|''s''}} и {{Math|''σ''}}, а также другие индексы, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение {{Math|''σ''}} может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

=== Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы ===
[[Гамильтонова механика|Классический гамильтониан]] для частицы в [[Скалярный потенциал|потенциале]] описывается суммой [[Кинетическая энергия|кинетической энергии]] {{Math|'''p'''·'''p'''/2''m''}} и [[Потенциальная энергия|потенциальной энергии]] {{Math|''V''('''r''', ''t'')}} с соответствующим квантовым оператором в [[Представление Шрёдингера|представлении Шрёдингера]] (координатном){{sfn|Тернов|2002|с=11}}:

: <math>\hat{H} = \frac{\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2m} + V(\mathbf{r},t)\,, </math>

а его подстановка в приведённое выше уравнение Шрёдингера приводит к нерелятивистскому уравнению квантовой механики для волновой функции. Эта процедура представляет собой прямую замену первоначального выражения для полной энергии. Напротив, в РКМ это не так просто; уравнение для связи энергии и импульса является квадратичным по энергии и импульсу, что приводит к трудностям. Прямая подстановка{{sfn|Тернов|2002|с=11}}:

: <math>\hat{H} = \hat{E} = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \quad \Rightarrow \quad i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi = \sqrt{c^2 \hat{\mathbf{p}}\cdot \hat{\mathbf{p}} + (mc^2)^2} \, \psi</math>

не помогает по нескольким причинам. Простого правила извлечения квадратного корня из операторов не существует{{sfn|Тернов|2002|с=12}}. Его нужно было бы разложить в [[Степенной ряд|ряд]] по степеням, прежде чем оператор импульса, возведённый в степень в каждом члене, мог бы действовать на {{Math|''ψ''}}. В такой постановки задачи степенной ряд производных по координатам и [[Производная функции|времени]] ''полностью асимметричны'': производные по пространственным координатам бесконечного порядка, но производные по времени только первого порядка, что некрасиво и громоздко. Опять возникает проблема неинвариантности оператора энергии, приравненного к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьёзная, состоит в том, что можно показать, что она [[Квантовая нелокальность|нелокальна]] и может даже ''нарушать [[Принцип причинности|причинно]]''-следственную связь: если частица первоначально локализована в точке {{Math|'''r'''<sub>0</sub>}}, так что {{Math|''ψ''('''r'''<sub>0</sub>, ''t'' {{=}} 0)}} конечна и равна нулю в любом другом месте, то в любой более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию: {{Math|''ψ''('''r''', ''t'') ≠ 0}} везде, даже для {{Math|{{!}}'''r'''{{!}} > ''ct''}}, что означает, что частица может достичь точки до того, как это сможет сделать световой сигнал. Это должно исправляться наложением дополнительного ограничения {{Math|''ψ''({{math|{{!}}'''r'''{{!}} > ''ct''}}, ''t'') {{=}} 0}}<ref name="Parker 1994">{{Cite book|author1=Parker, C.B.|title=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics|url=https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/1193|publisher=McGraw Hill|year=1994|pages=[https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/1193 1193–1194]|isbn=978-0-07-051400-3}}</ref>.

Существует также проблема учёта спина в гамильтониане, что не предсказывается в нерелятивистской теории Шредингера{{sfn|Тернов|2002|с=11}}. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, равный в квантованный единицах {{Math|''μ<sub>B</sub>''}}, [[Магнетон Бора|магнетону Бора]]<ref>{{cite book |title=Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles |edition=2nd |page=[https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb/page/274 274] |author1=Resnick, R. |author2=Eisberg, R. |publisher=John Wiley & Sons |year=1985 |isbn=978-0-471-87373-0 |url=https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb/page/274 }}</ref><ref>{{cite book |author1=Landau, L.D. |author2=Lifshitz, E.M. |title=Quantum Mechanics Non-Relativistic Theory |volume=3 |page=455 |publisher=Elsevier |year=1981 |url=https://books.google.com/books?id=SvdoN3k8EysC&q=magnetic+moments+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA455 |isbn=978-0-08-050348-6}}</ref>:

: <math>\hat{\boldsymbol{\mu}}_S = - \frac{g\mu_B}{\hbar}\hat{\mathbf{S}}\,,\quad \left|\boldsymbol{\mu}_S\right| = - g\mu_B \sigma\,,</math>

где {{Math|''g''}} — (спиновый) [[G-Фактор|g-фактор]] частицы, а {{Math|'''S'''}} — [[Спин|спиновый оператор]], поэтому они взаимодействуют с [[Электромагнитное поле|электромагнитными полями]]. Для частицы во внешнем [[Магнитное поле|магнитном поле]] {{Math|'''B'''}} член взаимодействия вида<ref name="Schuam p 181">{{cite book |author1=Peleg, Y. |author2=Pnini, R. |author3=Zaarur, E. |author4=Hecht, E. |year=2010 |edition=2nd |title=Quantum Mechanics |series=Shaum's outlines |publisher=McGraw–Hill |page=181 |isbn=978-0-07-162358-2}}</ref>

: <math>\hat{H}_B = - \mathbf{B} \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S </math>

необходимо добавить к приведённому выше нерелятивистскому гамильтониану. Напротив; релятивистский гамильтониан ''автоматически'' вводит спин как требование соблюдения релятивистского соотношения связи энергии и импульса<ref>{{cite book|title=Quantum Mechanics |author=Abers, E. |publisher=Addison Wesley |year=2004 |page=425 |isbn=978-0-13-146100-0}}</ref>.

Релятивистские гамильтонианы аналогичны нерелятивистским в квантовой механике в следующем отношении; есть условия, включающие [[Инвариантная масса|массу покоя]] и условия взаимодействия с внешними полями, подобные классическому слагаемому соответствующему потенциальной энергии, а также слагаемые с импульсом, такие как классический вклад кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат спиновые операторы в виде [[Матрица (математика)|матриц]], в которых [[умножение матриц]] выполняется по спиновому индексу {{Math|''σ''}}, поэтому в общем случае релятивистский гамильтониан:

: <math>\hat{H} = \hat{H}(\mathbf{r}, t, \hat{\mathbf{p}}, \hat{\mathbf{S}})</math>

является функцией пространства, времени и операторов импульса и спина.

=== Уравнения Клейна — Гордона и Дирака для свободных частиц ===
Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение релятивистской энергии и импульса может на первый взгляд показаться привлекательной, чтобы получить [[уравнение Клейна — Гордона]]<ref>{{Cite news|author=Wachter, A.|page=5|title=Relativistic quantum mechanics|publisher=Springer|url=https://books.google.com/books?id=NjZogv2yFzAC&q=electromagnetic+multipoles+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA367|isbn=978-90-481-3645-2}}</ref>:

: <math>\hat{E}^2 \psi = c^2\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{p}}\psi + (mc^2)^2\psi \,,</math>

и в таком виде было открыто многими людьми из-за простого способа его получения, в частности Шрёдингером в 1925 году, прежде чем он нашёл нерелятивистское уравнение, названное в его честь, и Клейном и Гордоном в 1927 году, которые включили в уравнение электромагнитные взаимодействия. Это уравнение [[Лоренц-ковариантность|релятивистски инвариантно]], но само по себе оно не является достаточным основанием для РКМ по нескольким причинам; одна состоит в том, что существуют состояния с отрицательной энергией являющимися решениями<ref name="Martin, Shaw, p 3"></ref>, другая — это плотность вероятности (приведённая ниже), а также то, что это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно представить в виде<ref name="Penrose 2005, p 620–621">{{Cite book|author1=Penrose, R.|title=The Road to Reality|publisher=Vintage Books|year=2005|pages=620–621|isbn=978-0-09-944068-0}}</ref><ref name=Bransden>{{Cite book|author1=Bransden, B.H.|author2=Joachain, C.J.|title=Physics of Atoms and Molecules|publisher=Prentice Hall|year=1983|isbn=978-0-582-44401-0}}</ref>:

: <math>
\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\left(\hat{E} + c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2 \right)\psi=0 \,,
</math>

где {{Math|'''α''' {{=}} (''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, ''α''<sub>3</sub>)}} и {{Math|''β''}} — не просто числа или векторы, а [[Эрмитова матрица|эрмитовы матрицы размера]] 4 × 4, для которых выполняются условия [[Антикоммутативность|антикоммутивности]] для {{Math|''i'' ≠ ''j''}}:

: <math>\alpha_i \beta = - \beta \alpha_i, \quad \alpha_i\alpha_j = - \alpha_j\alpha_i \,,</math>

и их квадрат равен [[Единичная матрица|единичной матрице]]:

: <math> \alpha_i^2 = \beta^2 = I \,, </math>

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращаются, а производные второго порядка по пространственным координатам и времени остаются. Первый множитель:

: <math>\left(\hat{E} - c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} - \beta mc^2 \right)\psi=0 \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2</math>

называется [[Уравнение Дирака|уравнением Дирака]]. Другой множитель — тоже уравнение Дирака, но для частицы с [[Отрицательная масса|отрицательной массой]]<ref name="Penrose 2005, p 620–621" />. Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждения можно провести и наоборот: предложить вид гамильтониана в приведённом выше виде, как это сделал Дирак в 1928 году, затем предварительно умножить уравнение на другой множитель из операторов {{Math|''E'' + ''c'''''α''' · '''p''' + ''βmc''<sup>2</sup>}}, и сравнить с уравнением Клейна — Гордона для определения ограничений для матриц {{Math|'''α'''}} и {{Math|''β''}}. Уравнение с положительной массой можно продолжать использовать без потери согласованности. При действии на {{Math|''ψ''}} матрицами, предполагают, что это не скалярная волновая функция, что разрешено для уравнения Клейна — Гордона, а вместо этого должна быть четырёхкомпонентная величина. Уравнение Дирака по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией<ref name="Martin, Shaw, pp. 5–6"></ref><ref>{{cite book |author=Grandy, W.T. |title=Relativistic quantum mechanics of leptons and fields |page=54 |publisher=Springer |year=1991 |url=https://books.google.com/books?id=BPCFI4yFMbcC&q=magnetic+moments+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA67 |isbn=978-0-7923-1049-5}}</ref>, поэтому Дирак постулировал, что состояния с отрицательной энергией всегда заняты, потому что в соответствии с [[Принцип Паули|принципом Паули]] [[Квантовый скачок|электронные переходы]] с положительных на отрицательные энергетические уровни в [[атом]]ах были бы запрещены. Подробнее см. [[Море Дирака]].

=== Плотности вероятности и токи ===
В [[Копенгагенская интерпретация|копенгагенской интерпретации]] квантовой механики, созданной около 1927 года, [[Квадрат (алгебра)|квадрат модуля]] [[Волновая функция|волновой функции]] {{Math|''ψ''}} даёт [[Плотность вероятности|функцию плотности вероятности]] {{Math|''ρ'' {{=}} {{!}}''ψ''{{!}}<sup>2</sup>}}. В РКМ, {{Math|''ψ''('''r''', ''t'')}} — волновая функция, но интерпретация вероятности не такая, как в нерелятивистской квантовой механике. Некоторые РКМ не предсказывают плотность вероятности {{Math|''ρ''}} или [[ток вероятности]] {{Math|'''j'''}} (на самом деле это означает ''плотность тока вероятности''), потому что они ''не'' являются [[положительно определённая функция|положительно определёнными функциями]] пространственных координат и времени. Уравнение [[Уравнение Дирака|Дирака]] приводит к<ref>{{Cite book|last1=Abers, E.|title=Quantum Mechanics|publisher=Addison Wesley|page=423|isbn=978-0-13-146100-0}}</ref>

: <math>\rho=\psi^\dagger \psi, \quad \mathbf{j} = \psi^\dagger \gamma^0 \boldsymbol{\gamma} \psi \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \psi^\dagger \gamma^0 \gamma^\mu \psi\,, </math>

где крестиком обозначен [[Сопряжённый оператор|эрмитов сопряжённый]] (обычно авторы пишут {{Math|{{overline|''ψ''}} {{=}} ''ψ''<sup>†</sup>''γ''<sup>0</sup>}} для [[Дираковское сопряжение|дираковского сопряжения]]), а {{Math|''J<sup>μ</sup>''}} — [[Ток вероятности|вероятностный четырёхток]], а [[уравнение Клейна — Гордона]] не имеет<ref>{{cite book|title=Quantum Field Theory |url=https://archive.org/details/quantumfieldtheo00mcma_095 |url-access=limited |series=Demystified |author=McMahon, D.  |publisher=McGraw Hill |page=[https://archive.org/details/quantumfieldtheo00mcma_095/page/n132 114] |year=2008 |isbn=978-0-07-154382-8}}</ref>{{sfn|Тернов|2002|с=14}}:

: <math>\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{*}\frac{\partial \psi}{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right)\, ,\quad \mathbf{j} = -\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^*\right) \quad \rightleftharpoons \quad J^\mu = \frac{i\hbar}{2m}(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^*) \,,</math>

где {{Math|∂<sup>''μ''</sup>}} — [[4-градиент|четырёхградиента]]. Поскольку начальные значения как {{Math|''ψ''}}, так и {{Math|∂''ψ''/∂''t''}} могут быть выбраны свободно, плотность тока может быть отрицательной{{sfn|Тернов|2002|с=15}}.

Величины «плотности вероятности» и «тока вероятности», должны быть интерпретированы как [[плотность заряда]] и [[плотность тока]] при умножении на [[электрический заряд]]. Тогда волновая функция {{Math|''ψ''}} вообще не является волновой функцией, а интерпретируется как ''поле''<ref name="Parker 1994" />. Плотность заряда и ток электрического заряда всегда удовлетворяют [[Уравнение непрерывности|уравнению непрерывности]]:

: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \partial_\mu J^\mu = 0 \,, </math>

так как заряд является [[сохраняемая величина|сохраняющейся величиной]]{{sfn|Тернов|2002|с=15}}. Плотность вероятности и ток вероятности также удовлетворяют уравнению неразрывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

== Спин и электромагнитно взаимодействующие частицы ==
Включение взаимодействий в РКМ, как правило, затруднено. [[Минимальная связь|Модель с минимальной связью]] — это простой способ учёта электромагнитного взаимодействия. Для одной заряженной частицы с [[Электрический заряд|электрическим зарядом]] {{Math|''q''}} в электромагнитном поле, определяемой [[Векторный потенциал электромагнитного поля|магнитным векторным потенциалом]] {{Math|'''A'''('''r''', ''t'')}} определяемым магнитным полем {{Math|'''B''' {{=}} &nabla; &times; '''A'''}}, и [[Электростатический потенциал|электрическим скалярным потенциалом]] {{Math|''ϕ''('''r''', ''t'')}}<ref name=Bransden></ref>:

: <math>\hat{E} \rightarrow \hat{E} - q\phi \,, \quad \hat{\mathbf{p}}\rightarrow \hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A} \quad \rightleftharpoons \quad \hat{P}_\mu \rightarrow \hat{P}_\mu -q A_\mu</math>

где {{Math|''P<sub>μ</sub>''}} — [[Четырёхимпульс|4-импульс]], которому соответствует [[Оператор импульса|4-импульсный оператор]], а {{Math|''A<sub>μ</sub>''}} — [[Электромагнитный потенциал|4-потенциал]]. Эта замена также называется ''удлинением производной''{{sfn|Тернов|2002|с=16}}. В дальнейшем нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

: <math>E - e\phi \approx mc^2\,,\quad \mathbf{p} \approx m \mathbf{v}\,,</math>

где полная энергия частицы приблизительно равна энергии покоя для малых электрических потенциалов, а импульс приблизительно равен классическому импульсу{{sfn|Тернов|2002|с=17}}.

=== Спин 0 ===
В РКМ уравнение Клейна — Гордона допускает использование минимальной связи следующего типа{{sfn|Тернов|2002|с=16}}

: <math>{(\hat{E} - q\phi)}^2 \psi = c^2{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2\psi + (mc^2)^2\psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[{(\hat{P}_\mu - q A_\mu)}{(\hat{P}^\mu - q A^\mu)} - {(mc)}^2 \right] \psi = 0.</math>

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение сводится к свободному уравнению Клейна — Гордона, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, инвариантное относительно неприводимого одномерного скалярного {{Math|[[Representation theory of the Lorentz group|(0,0)]]}} представления группы Лоренца. Это означает, что все его решения будут принадлежать [[Прямая сумма|прямой сумме]] {{Math|(0,0)}} представлений. Решения, не принадлежащие неприводимому {{Math|(0,0)}} представлению, будут иметь два или более независимых компонента. Такие решения, вообще говоря, не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку компоненты спина не являются независимыми. Для этого придётся наложить другое ограничение, например, уравнение Дирака для спина {{Дробь2|1|2}} ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению Клейна — Гордона, её можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с [[Уравнения Максвелла|уравнениями Максвелла,]] а частица описывается волновой функцией, решением уравнения Клейна — Гордона. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, потому что массивные бесспиновые частицы, такие как ''π'' -мезоны, испытывают дополнительно сильное взаимодействие помимо электромагнитного взаимодействия. Однако оно правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение Клейна — Гордона применимо к бесспиновым заряженным [[бозон]]ам во внешнем электромагнитном потенциале<ref name="Martin, Shaw, p 3"></ref>. Таким образом, уравнение нельзя применить к описанию атомов, поскольку электрон представляет собой частицу со спином {{Дробь2|1|2}}. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шрёдингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле<ref name="Schuam p 181"></ref>:

: <math>\left ( i\hbar \frac{\partial}{\partial t}- q\phi\right) \psi = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\hat{\mathbf{p}} - q \mathbf{A})}^2 + q\phi.</math>

=== Спин {{Дробь2|1|2}} ===
В нерелятивистской квантовой механике спин был ''[[Феноменологическая модель|феноменологически]]'' введён в [[уравнение Паули]] его [[Паули, Вольфганг|создателем]] в 1927 году для частиц в [[Электромагнитное поле|электромагнитном поле]]:

: <math>\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - q \phi \right) \psi = \left[ \frac{1}{2m}{(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))}^2 \right] \psi \quad \Leftrightarrow \quad \hat{H} = \frac{1}{2m}{(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - q \mathbf{A}))}^2 + q \phi </math>

с помощью [[матрицы Паули]] размерности 2 × 2, а {{Math|''&psi;''}} — это не просто скалярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шрёдингера, а двухкомпонентный [[Спинорное поле|спинор]]{{sfn|Тернов|2002|с=17—18}}:

: <math>\psi=\begin{pmatrix}\psi_{\uparrow} \\ \psi_{\downarrow} \end{pmatrix}\,,</math>

где индексы ↑ и ↓ относятся к состояниям со «спином вверх» ({{Math|''σ'' {{=}} +{{sfrac|1|2}}}}) и «спину вниз» ({{math|''σ'' {{=}} &minus;{{sfrac|1|2}}}})<ref group="lower-alpha">Эта спинорная нотация не обязательно стандартна; в литературе обычно встречается <math>\psi=\begin{pmatrix} u^1 \\ u^2 \end{pmatrix}</math> или <math>\psi=\begin{pmatrix} \chi \\ \eta \end{pmatrix}</math> и т. д., но в контексте частиц со спином {{sfrac|1|2}}, обычно используют такую неформальную запись. </ref>.

В РКМ уравнение Дирака также может включать минимальную связь{{sfn|Тернов|2002|с=18—19}}

: <math>\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} -q\phi \right)\psi = \gamma^0 \left[ c\boldsymbol{\gamma}\cdot{(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A})} - mc^2 \right] \psi \quad \rightleftharpoons \quad \left[\gamma^\mu (\hat{P}_\mu - q A_\mu) - mc^2 \right]\psi = 0</math>

''и'' [[матрицы Дирака]] имеют размер 4 × 4, {{Math|''γ''<sup>0</sup> {{=}} ''β'', '''γ''' {{=}} (''γ''<sub>1</sub>, ''γ''<sub>2</sub>, ''γ''<sub>3</sub>) {{=}} ''β'''''α''' {{=}} (''βα''<sub>1</sub>, ''βα''<sub>2</sub>, ''βα''<sub>3</sub>)}}. Существует [[единичная матрица]] 4 × 4, предварительно умножающая оператор энергии (включая потенциальную энергию), обычно не записываемая для простоты и ясности (то есть рассматриваемая как число 1). Здесь {{Math|''&psi;''}} — четырёхкомпонентный спинор, который условно разбивается на два двухкомпонентных спинора в виде:

: <math>\psi=\begin{pmatrix}\psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\psi_{+\uparrow} \\ \psi_{+\downarrow} \\ \psi_{-\uparrow} \\ \psi_{-\downarrow} \end{pmatrix} </math>

2-спинор {{Math|''ψ''<sub>+</sub>}} соответствует частице с 4-импульсом {{Math|(''E'', '''p''')}} и зарядом {{Math|''q''}} и двумя спиновыми состояниями ({{Math|''σ'' {{=}} ±{{sfrac|1|2}}}} как и раньше). Другой 2-спинор {{math|''ψ''<sub>−</sub>}} соответствует аналогичной частице с той же массой и спиновыми состояниями, но с отрицательным 4-импульсом{{math|−(''E'', '''p''')}} и отрицательным зарядом {{math|−''q''}}, то есть состояниями с отрицательной энергией, обращённым во времени импульсом и отрицательным зарядом. Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей ей античастицы. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули. При применении к одноэлектронному атому или иону, калибровка {{math|'''A''' {{=}} '''0'''}} и {{math|''ϕ''}} для соответствующего электростатического потенциала, дополнительные релятивистские члены включают [[спин-орбитальное взаимодействие]], гиромагнитное отношение электронов и [[Тонкая структура|дарвиновский вклад]]. В нереляьтвтстской квантовой механике эти члены приходится вводить вручную и проводить рассчёт с помощью [[Теория возмущений|теории возмущений]]. Положительные энергии действительно точно объясняют тонкую структуру.

В рамках РКМ для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к

: <math> \left(\frac{\hat{E}}{c} + \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{+} = 0 \,,\quad \left(\frac{\hat{E}}{c} - \boldsymbol{\sigma}\cdot \hat{\mathbf{p}} \right) \psi_{-} = 0 \quad \rightleftharpoons \quad \sigma^\mu \hat{P}_\mu \psi_{+} = 0\,,\quad \sigma_\mu \hat{P}^\mu \psi_{-} = 0\,,</math>

первым из которых является [[уравнение Вейля]], — значительное упрощение, применимое к безмассовым [[нейтрино]]<ref name="C.B. 1994">{{Cite book|author=Parker, C.B.|title=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics|url=https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/1194|edition=2nd|publisher=McGraw Hill|year=1994|page=[https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/1194 1194]|isbn=978-0-07-051400-3}}.</ref>. На этот раз имеется [[единичная матрица]] 2 × 2, на которую умножается оператор энергии, обычно не записываемая. В РКМ полезно принять её как нулевую матрицу Паули {{Math|''σ''<sub>0</sub>}}, которая связана с оператором энергии (производной по времени), так же как другие три матрицы связаны с оператором импульса (пространственными производными).

Матрицы Паули и гамма-матрицы используются в теоретической физике, а не в [[Фундаментальная математика|чистой математике]]. У них есть приложения к [[кватернион]]ам и к [[Группа Ли|группам Ли]], [[U(1)|SO (2)]] и [[Группа вращений|SO (3)]], потому что они удовлетворяют важным коммутационным соостношениям:[[Коммутатор (алгебра)|коммутатор]] [ , ] и [[Коммутатор (алгебра)|антикоммутатор]] [ , ]<sub>+</sub> соответственно:

: <math>\left[\sigma_a, \sigma_b \right] = 2i \varepsilon_{abc} \sigma_c \,, \quad \left[\sigma_a, \sigma_b \right]_{+} = 2\delta_{ab}\sigma_0</math>

где {{Math|''ε<sub>abc</sub>''}} — [[Трёхмерное пространство|трёхмерный]] [[символ Леви-Чивиты]]. Гамма-матрицы образуют [[базис]] в [[Алгебра Клиффорда|алгебре Клиффорда]] и связаны с компонентами плоской пространственно-временной [[Пространство Минковского|метрики Минковского]] {{Math|''η<sup>αβ</sup>''}} антикоммутационным соотношением{{sfn|Тернов|2002|с=23—24}}:

: <math>\left[\gamma^\alpha,\gamma^\beta\right]_{+} = \gamma^\alpha\gamma^\beta + \gamma^\beta\gamma^\alpha = 2\eta^{\alpha\beta}\,,</math>

(Это можно распространить на [[искривленное пространство]]-время, но это не является предметом изучения специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено, что [[уравнение Брейта]] описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных фермионов со спином {{Дробь2|1|2}} с релятивистскими поправками первого порядка; одна из первых попыток описать такую релятивистскую квантовую [[Система многих частиц|систему многих частиц]]. Однако это всё ещё только приближение, и полный гамильтониан включает в себя множество длинных и сложных сумм.

=== Спиральность и хиральность ===
Оператор [[Спиральность частицы|спиральности]] определяется как{{sfn|Тернов|2002|с=51—53}}

: <math>\hat{h} = \hat{\mathbf{S}}\cdot \frac{\hat{\mathbf{p}}}{|\mathbf{p}|} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}}</math>

где '''p''' — оператор импульса, '''S''' — оператор спина для частицы со спином ''s'', ''E'' — полная энергия частицы, а ''m''<sub>0</sub> — её масса покоя. Спиральность указывает на ориентацию векторов спина и импульса частицы<ref>{{Cite book|автор=Labelle, P.|заглавие=Supersymmetry|издательство=McGraw-Hill|год=2010|isbn=978-0-07-163641-4}}</ref>. Спиральность зависит от системы отсчёта из-за присутствия 3-мпульса в определении и квантуется по спину, которое имеет дискретные положительные значения для параллельного выравнивания и отрицательные значения для антипараллельного выравнивания.

Автоматическим появлением в уравнении Дирака (и уравнении Вейля) является проекция оператора спина {{Дробь2|1|2}} на 3-мпульс (умноденного на ''c''), {{Math|'''σ''' · ''c'' '''p'''}}, который является спиральностью (для спина {{Дробь2|1|2}} умноженного на <math>\sqrt{E^2 - (m_0c^2)^2}\,.</math>

Для безмассовых частиц спиральность упрощается до:

: <math>\hat{h} = \hat{\mathbf{S}} \cdot \frac{c\hat{\mathbf{p}}}{E}\,. </math>

=== Высшие спины ===
Уравнение Дирака описывает только частицы со спином {{Дробь2|1|2}}. Помимо уравнения Дирака, РКМ применялись к [[Свободная частица|свободным частицам]] с различными спинами. В 1936 году Дирак распространил своё уравнение на все фермионы, три года спустя [[Маркус Фирц|Фирц]] и Паули заново вывели то же уравнение<ref>{{Cite journal|author=Esposito, S.|year=2011|title=Searching for an equation: Dirac, Majorana and the others|arxiv=1110.6878|doi=10.1016/j.aop.2012.02.016|volume=327|issue=6|journal=Annals of Physics|pages=1617–1644|bibcode=2012AnPhy.327.1617E}}</ref>. [[Уравнения Баргмана — Вигнера]] были найдены в 1948 году с использованием теории групп Лоренца, применимой для всех свободных частиц с любым спином<ref>{{Cite journal|author=Bargmann, V.|title=Group theoretical discussion of relativistic wave equations|year=1948|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=34|pages=211–23|issue=5|bibcode=1948PNAS...34..211B|doi=10.1073/pnas.34.5.211|pmid=16578292}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Wigner, E.|year=1937|title=On Unitary Representations Of The Inhomogeneous Lorentz Group|journal=Annals of Mathematics|volume=40|pages=149–204|url=http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf|doi=10.2307/1968551|bibcode=1939AnMat..40..149W|accessdate=2013-04-14|url-status=dead|archive-date=2015-10-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20151004025027/http://courses.theophys.kth.se/SI2390/wigner_1939.pdf}}</ref>. Учитывая приведённую выше факторизацию уравнения Клейна — Гордона и, более строго, теорию [[Группа Лоренца|групп Лоренца]], становится очевидным введение спина в виде матриц.

Волновые функции представляют собой многокомпонентные [[Спинорное расслоение|спинорные поля]], которые можно представить в виде [[вектор-строки и вектор-столбцы|вектор-столбцов]] [[Функция (математика)|функций]] в пространстве и времени:

: <math>\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger = \begin{bmatrix} {\psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix}</math>

где выражение справа является [[Сопряжённый оператор|эрмитово сопряжённым]]. Для ''массивной'' частицы со спином {{Math|''s''}} имеется {{Math|2''s'' + 1}} компонент для частицы и ещё {{Math|2''s'' + 1}} для соответствующей [[античастицы]] (в каждом случае имеется {{Math|2''s'' + 1}} возможных значений проекций {{Math|''σ''}}), вместе образующих {{Math|2(2''s'' + 1)}}-компонент спинорного поля:

: <math>\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{+,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{+,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{+,\,\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{+,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{-,\,\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger\begin{bmatrix} {\psi_{+,\,\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{+,\,\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{-,\,\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix} </math>

с нижним индексом +, указывающим на частицу, и нижним индексом − на античастицу. Однако для ''безмассовых'' частиц со спином ''s'' всегда существуют только двухкомпонентные спинорные поля; одно для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем +''s'', а другое для античастицы в противоположном состоянии спиральности, соответствующем −''s'':

: <math>\psi(\mathbf{r},t) = \begin{pmatrix} \psi_{+}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{-}(\mathbf{r},t) \end{pmatrix}</math>

Согласно релятивистскому соотношению энергии-импульса все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двухкомпонентными спинорами. Исторически сложилось так, [[Картан, Эли Жозеф|что Эли Картан]] обнаружил наиболее общую форму [[спинор]]ов в 1913 году, до спиноров, обнаруженных в РКМ после 1927 года.

Для уравнений, описывающих частицы с высшими спинами, включение взаимодействий далеко не просто минимальная связь, они приводят к неверным предсказаниям и самопротиворечиям<ref>{{Cite journal|author=Jaroszewicz, T.|year=1992|title=Geometry of spacetime propagation of spinning particles|journal=Annals of Physics|doi=10.1016/0003-4916(92)90176-M|bibcode=1992AnPhy.216..226J|volume=216|issue=2|pages=226–267}}</ref>. Для спина больше, чем {{Дробь2|''ħ''|2}}, РКМ не фиксируется массой, спином и электрическим зарядом частицы; электромагнитные моменты ([[Электрический дипольный момент|электрические дипольные моменты]] и [[Магнитный момент|магнитные дипольные моменты]]), допускаемые [[Спиновое квантовое число|спиновым квантовым числом]] произвольны. (Теоретически [[Магнитный монополь|магнитный заряд]] тоже должен внести свой вклад). Например, частица со спином {{Дробь2|1|2}} имеет только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 возможны также магнитные квадруполи и электрические диполи<ref name="C.B. 1994"></ref>. Для получения дополнительной информации по этой теме см. [[Мультиполь|Мультипольное разложение]] и (например) Cédric Lorcé (2009)<ref>{{cite arXiv|first=Cédric|last=Lorcé|year=2009|title=Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 1 − Electromagnetic Current and Multipole Decomposition|eprint=0901.4199|class=hep-ph}}</ref><ref>{{Cite journal|first=Cédric|author=Lorcé|year=2009|title=Electromagnetic Properties for Arbitrary Spin Particles: Part 2 − Natural Moments and Transverse Charge Densities|journal=Physical Review D|volume=79|issue=11|arxiv=0901.4200|doi=10.1103/PhysRevD.79.113011|bibcode=2009PhRvD..79k3011L}}</ref>.

== Оператор скорости ==
Оператор скорости Шрёдингера/Паули может быть определён для массивной частицы с использованием классического определения {{Math|'''p''' {{=}} ''m'' '''v'''}} и обычной подстановкой квантовых операторов<ref>{{Cite book|автор=Strange, P.|заглавие=Relativistic Quantum Mechanics: With Applications in Condensed Matter and Atomic Physics|ссылка=https://books.google.com/books?id=sdVrBM2w0OwC&q=velocity+operator+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA208|издательство=Cambridge University Press|год=1998|pages=206|isbn=978-0-521-56583-7}}</ref>:

: <math>\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{m}\hat{\mathbf{p}}</math>

которая имеет собственные значения, принимающие ''любое'' значение{{sfn|Тернов|2002|с=56—57}}. В РКМ, теории Дирака, это:

: <math>\hat{\mathbf{v}} = \frac{i}{\hbar}\left[\hat{H},\hat{\mathbf{r}}\right]</math>

который должен иметь собственные значения в интервале между ± ''c''{{sfn|Тернов|2002|с=62—63}}. См. [[Преобразование Фолди — Ваутхайзена]].

== Релятивистские квантовые лагранжианы ==
Гамильтоновы операторы в картине Шрёдингера представляют собой один из подходов к формированию дифференциальных уравнений для волновой функции {{Math|''ψ''}}. Эквивалентная альтернатива состоит в том, чтобы определить [[лагранжиан]] (на самом деле это означает ''[[Лагранжиан|плотность лагранжиана]]''), а затем сгенерировать дифференциальное уравнение с помощью [[Классическая теория поля|теоретико-полевого уравнения Эйлера — Лагранжа]]:

: <math> \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 \,</math>

Для некоторых РКМ лагранжианов можно найти путём проверки. Например, лагранжиан Дирака<ref>{{Cite book|автор=Labelle, P.|заглавие=Supersymmetry|ссылка=https://archive.org/details/supersymmetrydem00labe|издательство=McGraw-Hill|год=2010|pages=[https://archive.org/details/supersymmetrydem00labe/page/n28 14]|isbn=978-0-07-163641-4}}</ref>:

: <math>\mathcal{L} = \overline{\psi}(\gamma^\mu P_\mu - mc)\psi\,,</math>

а лагранжиан Клейна — Гордона:

: <math>\mathcal{L} = - \frac{\hbar^2}{m} \eta^{\mu \nu} \partial_{\mu}\psi^{*} \partial_{\nu}\psi - m c^2 \psi^{*} \psi\,.</math>

Это возможно не для всех уравнений РКМ; и это одна из причин, по которой теоретико-групповой подход Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрии в пространстве и времени могут быть использованы для получения РКМ с использованием соответствующих групповых представлений. Лагранжев подход с полевой интерпретацией волновой фкнкции {{Math|''ψ''}} является предметом квантовой теории поля, а не РКМ: [[Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям|формулировка интеграла по траекториям]] Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать чрезвычайно сложными, см., например, Weinberg (1995)<ref>{{Cite book|автор=Weinberg|first=S.|author-link=Steven Weinberg|заглавие=The Quantum Theory of Fields|ссылка=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev|издательство=Cambridge University Press|год=1995|volume=1|isbn=978-0-521-55001-7}}</ref>.

== Релятивистский квантовый угловой момент ==
В нерелятивистской КМ [[оператор углового момента]] формируется из классического определения [[Аксиальный вектор|псевдовектора]] {{Math|'''L''' {{=}} '''r''' × '''p'''}}. В РКМ операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в орбитальном [[Релятивистский угловой момент|релятивистском тензоре углового момента]], определяемом четырёхмерным положением и импульсом частицы, что эквивалентно [[бивектор]]у в формализме [[Внешняя алгебра|внешней алгебры]]<ref>{{Cite book|автор=Penrose, R.|заглавие=The Road to Reality|издательство=Vintage Books|год=2005|pages=437, 566–569|isbn=978-0-09-944068-0}}</ref><ref group="lower-alpha">Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют латинские буквы в этом определении, хотя принято использовать греческие индексы для векторов и тензоров в пространстве-времени.</ref>:

: <math>M^{\alpha\beta} = X^\alpha P^\beta - X^\beta P^\alpha = 2 X^{[\alpha} P^{\beta]} \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{M} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P}\,,</math>

всего шесть компонент: три — нерелятивистские 3-угловые моменты; {{Math|''M''<sup>12</sup> {{=}} ''L''<sup>3</sup>}}, {{Math|''M''<sup>23</sup> {{=}} ''L''<sup>1</sup>}}, {{Math|''M''<sup>31</sup> {{=}} ''L''<sup>2</sup>}}, а остальные три {{math|''M''<sup>01</sup>}}, {{Math|''M''<sup>02</sup>}}, {{Math|''M''<sup>03</sup>}} являются бустами [[Центр масс|центра масс]] вращающегося объекта. Для частиц со спином необходимо добавить дополнительный релятивистский квантовый вклад. Для частицы с массой покоя {{Math|''m''}} тензор ''полного'' углового момента равен:

: <math>J^{\alpha\beta} = 2X^{[\alpha} P^{\beta]} + \frac{1}{m^2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} W_\gamma p_\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{J} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P} + \frac{1}{m^2}\star(\mathbf{W}\wedge\mathbf{P})</math>

где звездочка обозначает [[Звезда Ходжа|звезду Ходжа]], а

: <math>W_\alpha =\frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}M^{\beta \gamma}p^\delta \quad \rightleftharpoons \quad \mathbf{W} = \star(\mathbf{M}\wedge\mathbf{P})</math>

— [[Псевдовектор Паули – Лубански|псевдовектор Паули — Лубански]]<ref>{{Cite book|автор=Ryder, L.H.|заглавие=Quantum Field Theory|ссылка=https://books.google.com/books?id=nnuW_kVJ500C&q=pauli-lubanski+pseudovector&pg=PA62|издание=2nd|издательство=Cambridge University Press|год=1996|pages=62|isbn=978-0-521-47814-4}}</ref>. Для получения дополнительной информации о релятивистском спине см., например, Трошин и Тюрин (1994)<ref>{{Cite book|автор=Troshin, S.M.|author2=Tyurin, N.E.|заглавие=Spin phenomena in particle interactions|ссылка=https://books.google.com/books?id=AU2DV1hKpuoC&q=pauli-lubanski+pseudovector&pg=PA9|издательство=World Scientific|год=1994|isbn=978-981-02-1692-4}}</ref>.

=== Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия ===
В 1926 году открыта [[прецессия Томаса]]: релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением в [[Спин-орбитальное взаимодействие|спин-орбитальном взаимодействии]] атомов и вращении макроскопических объектов<ref>{{Cite book|автор=Misner|first=C.W.|author-link=Charles W. Misner|author2=Thorne|first2=K.S.|author2-link=Kip S. Thorne|author3=Wheeler|first3=J.A.|author3-link=John A. Wheeler|заглавие=Gravitation|date=1973-09-15|pages=[https://archive.org/details/gravitation00cwmi/page/n1178 1146]|isbn=978-0-7167-0344-0}}</ref><ref>{{Cite book|автор=Ciufolini, I.|author2=Matzner, R.R.A.|заглавие=General relativity and John Archibald Wheeler|ссылка=https://books.google.com/books?id=v0pSfo8vrtsC&q=thomas+precession+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA329|издательство=Springer|год=2010|pages=329|isbn=978-90-481-3735-0}}</ref>. В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В [[Классический электромагнетизм и специальная теория относительности|классическом электромагнетизме и специальной теории относительности]] электрон, движущийся со скоростью {{Math|'''v'''}} в электрическом поле {{Math|'''E'''}}, но не в магнитном поле {{Math|'''B'''}}, будет в своей собственной системе отсчёта испытывать магнитное поле {{Math|'''B&prime;'''}} возникающее из [[Преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]]:

: <math>\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2\sqrt{1- \left(v/c\right)^2}} \,.</math>

В нерелятивистском пределе {{Math|''v'' << ''c''}} :

: <math>\mathbf{B}' = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \,,</math>

поэтому гамильтониан нерелятивистского спинового взаимодействия принимает вид<ref name="Kroemer">{{Cite journal|author=Kroemer, H.|year=2003|title=The Thomas precession factor in spin–orbit interaction|doi=10.1119/1.1615526|url=http://www.ece.ucsb.edu/faculty/Kroemer/pubs/13_04Thomas.pdf|arxiv=physics/0310016|bibcode=2004AmJPh..72...51K|volume=72|issue=1|journal=American Journal of Physics|pages=51–52|access-date=2023-02-23|archive-date=2017-08-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20170809113431/http://www.ece.ucsb.edu/Faculty/Kroemer/pubs/13_04Thomas.pdf|url-status=live}}</ref>:

: <math>\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,, </math>

где первый член — это уже нерелятивистское взаимодействие магнитных моментов, а второй — релятивистская поправка порядка {{Math|(''v/c'')²}}, но это расходится с экспериментальными атомными спектрами на множитель {{Дробь|1|2}}. На это указывал Л. Томас, что существует второй релятивистский эффект: составляющая электрического поля, перпендикулярная скорости электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона, перпендикулярное его мгновенной скорости, поэтому электрон движется по криволинейной траектории. Электрон движется во [[вращающаяся система отсчёта|вращающейся системе отсчета]], и эта дополнительная прецессия электрона называется ''прецессией Томаса''. Можно показать<ref>{{Cite book|автор=Jackson, J.D.|author-link=John David Jackson (physicist)|заглавие=Classical Electrodynamics|ссылка=https://archive.org/details/classicalelectro00jack_449|издание=3rd|издательство=Wiley|год=1999|pages=[https://archive.org/details/classicalelectro00jack_449/page/n547 548]|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>, что конечным результатом этого эффекта является то, что спин-орбитальное взаимодействие уменьшается вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имеет только половину значения, а релятивистская поправка в гамильтониане принимает вид:

: <math>\hat{H} = - \mathbf{B}'\cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S = -\left(\mathbf{B} + \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{v}}{2c^2} \right) \cdot \hat{\boldsymbol{\mu}}_S \,.</math>

В случае РКМ мнодитель {{Дробь|1|2}} предсказывается уравнением Дирака<ref name="Kroemer"></ref>.

== История ==
События, которые привели к созданию РКМ, а также её развитие до [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамики]] (КЭД), резюмируются ниже [см., например, Р. Резника и Р. Эйсберга (1985)<ref>{{Cite book|автор=Resnick, R.|author2=Eisberg, R.|заглавие=Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles|ссылка=https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb/page/57|издание=2nd|издательство=John Wiley & Sons|год=1985|pages=[https://archive.org/details/quantumphysicsof00eisb/page/57 57, 114–116, 125–126, 272]|isbn=978-0-471-87373-0}}</ref> и [[Эткинс, Питер|П. В. Аткинса]] (1974)<ref>{{Cite book|автор=Atkins|first=P.W.|author-link=Peter Atkins|заглавие=Quanta: A handbook of concepts|ссылка=https://archive.org/details/quantahandbookof0000atki/page/168|издательство=Oxford University Press|год=1974|pages=168–169, 176, 263, 228|isbn=978-0-19-855493-6}}</ref> ]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований с 1890-х по 1950-е годы в новой и загадочной квантовой теории по мере её возникновения и развития показали, что ряд явлений не может быть объяснён одной нерелятивистской квантовой механикой. Специальная теория относительности, обнаруженная на рубеже 20-го века, оказалась ''необходимым'' компонентом, ведущим к унификации: РКМ. Теоретические предсказания и эксперименты в основном были сосредоточены на недавно появившихся [[Атомная физика|атомной физике]], [[Ядерная физика|ядерной физике]] и [[Физика элементарных частиц|физике элементарных частиц]]; рассматривая [[Спектроскопия|спектроскопию]], [[Дифракция|дифракцию]] и [[рассеяние]] частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты приписываются эффектами спина.

[[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] в 1905 году объяснил [[Фотоэффект|фотоэлектрический эффект]]; корпускулятным описанием света как [[фотон]]ов. В 1916 году [[Зоммерфельд, Арнольд|Зоммерфельд]] объясняет [[Тонкая структура|тонкую структуру]]; расщепление [[Спектральная линия|спектральных линий]] [[атом]]ов из-за релятивистских поправок первого порядка. [[Эффект Комптона]] 1923 года предоставил больше доказательств того, что специальная теория относительности действительно применима; в данном случае к корпускулярному описанию фотон-электронного рассеяния. [[Де Бройль, Луи|Де Бройль]] распространил [[Корпускулярно-волновой дуализм|дуализм волна-частица]] на [[Материя (физика)|материю]]: [[Волна де Бройля|соотношения де Бройля]], которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году [[Дэвиссон, Клинтон Джозеф|Дэвиссон]] и [[Джермер, Лестер Хэлберт|Джермер]] и отдельно [[Томсон, Джордж Паджет|Г. Томсон]] успешно продемонстрировали дифракцию электронов, предоставив экспериментальные доказательства корпускулярно-волнового дуализма.

* 1897 г. [[Томсон, Джозеф Джон|Дж. Дж. Томсон]] открывает [[электрон]] и измеряет [[Отношение массы к заряду|отношение его массы к заряду]]. Открытие [[Эффект Зеемана|эффекта Зеемана]]: расщепление [[Спектральная линия|спектральной линии]] на несколько компонент в присутствии постоянного магнитного поля.
* 1908 г. [[Милликен, Роберт Эндрюс|Милликен]] измеряет заряд электрона и находит экспериментальные доказательства его квантования в [[Опыт Милликена|эксперименте с каплей масла]].
* 1911 г. Рассеяние [[Альфа-частица|альфа-частиц]] в [[Эксперимент Гейгера — Марсдена|эксперименте Гейгера — Марсдена]] под руководством [[Резерфорд, Эрнест|Резерфорда]] показало, что атомы обладают внутренней структурой: [[Атомное ядро|атомным ядром]]<ref>{{Cite book|автор=Krane, K.S.|заглавие=Introductory Nuclear Physics|ссылка=https://archive.org/details/introductorynucl00kran|издательство=John Wiley & Sons|год=1988|pages=[https://archive.org/details/introductorynucl00kran/page/n418 396]–405|isbn=978-0-471-80553-3}}</ref>.
* 1913 г. Открыт [[эффект Штарка]]: расщепление спектральных линий из-за статического [[Электрическое поле|электрического поля]] (сравните с эффектом Зеемана).
* 1922 г. [[Опыт Штерна — Герлаха|Эксперимент Штерна — Герлаха]]: экспериментальные доказательства существования спина и его квантования.
* 1924 г. [[Стоунер, Эдмунд Клифтон|Стоунер]] изучает расщепление [[Энергетический уровень|энергетических уровней]] в [[Магнитное поле|магнитных полях]].
* 1932 г. Экспериментальное открытие [[нейтрон]]а [[Чедвик, Джеймс|Чедвиком]] и [[позитрон]]ов [[Андерсон, Карл Дейвид|Андерсоном]], подтверждающее теоретическое предсказание позитронов.
* 1958 г. Открытие [[Эффект Мёссбауэра|эффекта Мессбауэра]]: резонансное и безоткатное излучение и поглощение [[Гамма-излучение|гамма-излучения]] атомными ядрами, связанными в твёрдом теле, полезно для точных измерений [[Гравитационное красное смещение|гравитационного красного смещения]] и [[Замедление времени|замедления времени]], а также для анализа ядерных электромагнитных моментов в [[Сверхтонкая структура|сверхтонких взаимодействиях]]<ref>{{Cite book|автор=Krane, K.S.|заглавие=Introductory Nuclear Physics|ссылка=https://archive.org/details/introductorynucl00kran|издательство=John Wiley & Sons|год=1988|pages=[https://archive.org/details/introductorynucl00kran/page/n383 361]–370|isbn=978-0-471-80553-3}}</ref>.

В 1935 году; Эйнштейн, [[Розен, Натан|Розен]], [[Подольский, Борис Яковлевич|Подольский]] опубликовали статью<ref>{{Cite journal|title=Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?|author=Einstein, A.|year=1935|doi=10.1103/PhysRev.47.777|journal=Phys. Rev.|volume=47|issue=10|bibcode=1935PhRv...47..777E|pages=777–780|url=http://cds.cern.ch/record/1060284/files/PhysRev.48.696.pdf|access-date=2023-02-23|archive-date=2020-01-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20200109203609/http://cds.cern.ch/record/1060284/files/PhysRev.48.696.pdf|url-status=live}}</ref> о [[Квантовая запутанность|квантовой запутанности]] частиц, ставя под сомнение [[Квантовая нелокальность|квантовую нелокальность]] и очевидное нарушение причинно-следственной связи, поддерживаемой СТО: частицы могут мгновенно взаимодействовать на произвольных расстояниях. Это было заблуждением, поскольку информация не передаётся и не может передаваться в запутанных состояниях; скорее передача информации происходит в процессе измерения двумя наблюдателями (один наблюдатель должен послать другому сигнал, который не может превышать скорость света). QM ''не'' нарушает СТО<ref>{{Cite book|автор=Abers, E.|заглавие=Quantum Mechanics|издательство=Addison Wesley|год=2004|pages=192|isbn=978-0-13-146100-0}}</ref><ref>{{Cite book|автор=Penrose, R.|заглавие=The Road to Reality|издательство=Vintage Books|год=2005|isbn=978-0-09-944068-0}} ''Chapter '''23''': The entangled quantum world''</ref>. В 1959 году [[Бом, Дэвид|Бом]] и [[Ааронов, Якир|Ааронов]] публикуют статью<ref>
{{Cite journal|author=Aharonov, Y.|year=1959|title=Significance of electromagnetic potentials in quantum theory|journal=[[Physical Review]]|volume=115|issue=3|pages=485–491|doi=10.1103/PhysRev.115.485|bibcode=1959PhRv..115..485A}}</ref> об [[Эффект Ааронова — Бома|эффекте Ааронова — Бома]], в которой ставится под сомнение статус электромагнитных потенциалов в квантовой механике. Формулировки [[Тензор электромагнитного поля|тензора электромагнитного поля]] и [[Электромагнитный потенциал|электромагнитного 4-потенциала]] применимы в СТО, но в квантовой механике потенциалы входят в гамильтониан (см. выше) и влияют на движение заряженных частиц даже в областях, где поля равны нулю. В 1964 году в статье о парадоксе ЭПР была опубликована [[Неравенства Белла|теорема Белла]]<ref>{{Cite journal|author=Bell|first=John|year=1964|title=On the Einstein Podolsky Rosen Paradox|url=http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/09qm/lec21-22-BellInequalities/Bell1964.pdf|journal=[[Physics (American Physical Society journal)|Physics]]|volume=1|issue=3|pages=195–200|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195|access-date=2023-02-23|archive-date=2022-08-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20220817083359/https://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/09qm/lec21-22-BellInequalities/Bell1964.pdf|url-status=live}}</ref>, показывающая, что квантовую механику нельзя вывести из [[Теория локальных скрытых переменных|локальных теорий со скрытыми переменными]], если необходимо сохранить локальность.

В 1947 году был открыт лэмбовский сдвиг: небольшая разница в энергиях <sup>2</sup>''S''<sub>{{frac|1|2}}</sub> и <sup>2</sup>''P''<sub>{{frac|1|2}}</sub> уровней водорода из-за взаимодействия между электроном и вакуумом. [[Лэмб, Уиллис Юджин|Лэмб]] и [[Ризерфорд, Роберт|Ретерфорд]] экспериментально измерили вынужденные радиочастотные переходы <sup>2</sup>''S''<sub>{{frac|1|2}}</sub> и <sup>2</sup>''P''<sub>{{frac|1|2}}</sub> уровня водорода с помощью [[Микроволновое излучение|микроволнового]] излучения<ref>{{Cite journal|title=Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1947-08-01_72_3/page/n51|first=Willis E.|author=Lamb|journal=[[Physical Review]]|volume=72|issue=3|pages=241–243|year=1947|doi=10.1103/PhysRev.72.241|bibcode=1947PhRv...72..241L}}</ref>. Объяснение сдвига Лэмба представлено [[Бете, Ханс|Бете]]. Статьи об этом эффекте были опубликованы в начале 1950-х годов<ref>{{Cite journal|author=Lamb, W.E. Jr. |year=1950|title=Fine Structure of the Hydrogen Atom. Part I|journal=Phys. Rev.|volume=79|issue=4|pages=549–572|bibcode=1950PhRv...79..549L|doi=10.1103/PhysRev.79.549}} <br><br>
{{Cite journal|author=Lamb, W.E. Jr. |year=1951|title=Fine Structure of the Hydrogen Atom. Part II|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1951-01-15_81_2/page/n58 |journal=Phys. Rev.|volume=81|issue=2|pages=222–232|bibcode=1951PhRv...81..222L|doi=10.1103/PhysRev.81.222}}{{Cite journal|author=Lamb, W.E. Jr.|year=1952|title=Fine Structure of the Hydrogen Atom. III|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1952-01-15_85_2/page/n100|journal=Phys. Rev.|volume=85|issue=2|pages=259–276|bibcode=1952PhRv...85..259L|doi=10.1103/PhysRev.85.259|pmid=17775407}} <br><br>
{{Cite journal|author=Lamb, W.E. Jr. |year=1952|title=Fine Structure of the Hydrogen Atom. IV|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1952-06-15_86_6/page/n200 |journal=Phys. Rev.|volume=86|issue=6|pages=1014–1022|bibcode=1952PhRv...86.1014L|doi=10.1103/PhysRev.86.1014|pmid=17775407}} <br><br>
{{Cite journal|author=Triebwasser, S. |year=1953|title=Fine Structure of the Hydrogen Atom. V|url=https://archive.org/details/sim_physical-review_1953-01-01_89_1/page/n100 |journal=Phys. Rev.|volume=89|issue=1|pages=98–106|bibcode=1953PhRv...89...98T|doi=10.1103/PhysRev.89.98}}</ref>.

* 1943 г. [[Томонага, Синъитиро|Томонага]] начинает работу по [[Перенормировка|перенормировке]], оказавшую влияние на КЭД.
* 1947 г. [[Швингер, Джулиан|Швингер]] вычисляет [[Аномальный магнитный момент|аномальный магнитный момент электрона]]. [[Куш, Поликарп|Куш]] измеряет аномальный магнитный момент электрона, подтверждая одно из важных предсказаний КЭД.

== Комментарии ==
{{комментарии}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
{{refbegin|2}}
;На русском языке
* {{книга | автор = [[Тернов, Алексей Игоревич|Тернов А. И.]] | заглавие = Основы релятивистской квантовой механики | издание = 2-е| ответственный = | место = М.| издательство = МФТИ| год = 2002 | страниц = 164| isbn = 5-7417-0187-6|ref=Тернов}}
;На английском языке
* {{cite book |isbn=978-1-139-50432-4 |author=Ohlsson, T.|author-link= Олссон, Томми |title=Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory |publisher=Cambridge University Press |year=2011 |page=10 |url=https://books.google.com/books?id=hRavtAW5EFcC&q=pauli-lubanski+pseudovector&pg=PA11|lang=en}}
* {{cite book |author1=Aitchison, I.J.R. |author2=Hey, A.J.G. |title=Gauge Theories in Particle Physics: From Relativistic Quantum Mechanics to QED |volume=1 |edition=3rd |publisher=CRC Press |year=2002 |url=https://books.google.com/books?id=n7k_QS4Hb0YC&q=hyperfine+structure+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA50 |isbn=978-0-8493-8775-3|lang=en}}
* {{cite book |author=Griffiths, D. |title=Introduction to Elementary Particles |publisher=John Wiley & Sons |year=2008 |url=https://books.google.com/books?id=Wb9DYrjcoKAC&q=hyperfine+structure+in+relativistic+quantum+mechanics 
|isbn=978-3-527-61847-7|lang=en}}
* {{cite book |title=Relativistic quantum mechanics and introduction to quantum field theory |url=https://books.google.com/books?id=tTJHB5hepQUC&q=relativistic+quantum+mechanics |author=Capri, Anton Z. |year=2002 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-238-137-8|bibcode = 2002rqmi.book.....C|lang=en}}
* {{cite book |title=Relativistic quantum mechanics and quantum fields |url=https://books.google.com/books?id=gJR_gVU52NkC&q=relativistic+quantum+mechanics|author1-link=Wu Ta-You|author2-link=Woei-Yann Pauchy Hwang |author1=Wu, Ta-you |author2=Hwang, W.Y. Pauchy |year=1991 |publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-0608-6|lang=en}}
* {{cite book |title=Elementary particle physics, Quantum Field Theory |author=Nagashima, Y. |volume=1 |year=2010 |isbn=978-3-527-40962-4|lang=en}}
* {{cite book |author1=Bjorken, J.D. |author2=Drell, S.D. |year=1965 |title=Relativistic Quantum Fields (Pure & Applied Physics) |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-005494-3|lang=en}}
* {{cite book |author-link=Steven Weinberg |first=S. |last=Weinberg |year=1996 |title=The Quantum Theory of Fields |volume=2 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-55002-4 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev|lang=en}}
* {{cite book |author-link=Steven Weinberg |first=S. |last=Weinberg |year=2000 |title=The Quantum Theory of Fields |volume=3 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-66000-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev|lang=en}}
* {{cite book |author=Gross, F. |year=2008 |title=Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory |publisher=John Wiley & Sons |isbn=978-3-527-61734-0 |url=https://books.google.com/books?id=o9dXoK_2s6MC&q=fractional+quantum+mechanics+books&pg=PP2|lang=en}}
* {{cite book |first1=Y.V. |last1=Nazarov |first2=J. |last2=Danon |year=2013 |title=Advanced Quantum Mechanics: A Practical Guide |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-76150-5 |url=https://books.google.com/books?id=BrTP8hEWRGUC&q=Relativistic_quantum_mechanics|lang=en}}
* {{cite book |title=General Principles of Quantum Field Theory |author=Bogolubov, N.N. |publisher=Springer |edition=2nd |isbn=978-0-7923-0540-8 |year=1989 |page=272 |url=https://books.google.com/books?id=Ef4zDW1V2LkC&q=lamb+shift&pg=PA187|lang=en
}}
* {{cite book |title=Quantum Field Theory |author1=Mandl, F. |author2=Shaw, G. |publisher=John Wiley & Sons |edition=2nd |isbn=978-0-471-49683-0 |year=2010 |url=https://books.google.com/books?id=7VLMj4AvvicC&q=pauli-lubanski+pseudovector&pg=PA273|lang=en}}
* {{cite book |author=Lindgren, I. |year=2011 |title=Relativistic Many-body Theory: A New Field-theoretical Approach |publisher=Springer |isbn=978-1-4419-8309-1 |volume=63 |series=Springer series on atomic, optical, and plasma physics |url=https://books.google.com/books?id=noUF83SAl2wC&q=hyperfine+structure+in+relativistic+quantum+mechanics&pg=PA9|lang=en}}
* {{cite book |title=Relativistic Quantum theory of atoms and molecules |publisher=Springer |author=Grant, I.P. |isbn=978-0-387-34671-7 |year=2007 |series=Atomic, optical, and plasma physics |url=https://books.google.com/books?id=yYFCAAAAQBAJ|lang=en}}
* {{cite book |author1=Aruldhas, G. |author2=Rajagopal, P. |title=Modern Physics |page=395 |publisher=PHI Learning Pvt. Ltd. |year=2005 |url=https://books.google.com/books?id=GnCWJF6TQUwC&q=electromagnetic+moments+for+high-spin+particles&pg=PA395|isbn=978-81-203-2597-5|lang=en}}
* {{cite book |author=Hummel, R.E. |title=Electronic properties of materials |page=395 |publisher=Springer |year=2011 |url=https://books.google.com/books?id=TsHFou6RftkC&q=electromagnetic+moments+for+high-spin+particles&pg=PA395 |isbn=978-1-4419-8164-6|lang=en}}
* {{cite book |author=Pavia, D.L. |edition=4th |title=Introduction to Spectroscopy |page=105 |publisher=Cengage Learning |year=2005 |url=https://books.google.com/books?id=FkaNOdwk0FQC&q=magnetic+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA105 |isbn=978-0-495-11478-9|lang=en}}
* {{cite book |author=Mizutani, U. |title=Introduction to the Electron Theory of Metals |page=387 |publisher=Cambridge University Press |year=2001 |url=https://books.google.com/books?id=zY5z_UGqAcwC&q=magnetic+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA387 |isbn=978-0-521-58709-9|lang=en}}
* {{cite book |author=Choppin, G.R. |edition=3 |title=Radiochemistry and nuclear chemistry |page=308 |publisher=Butterworth-Heinemann |year=2002 |url=https://books.google.com/books?id=IsAEjPpvyrkC&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA308 |isbn=978-0-7506-7463-8|lang=en}}
* {{cite book |author=Sitenko, A.G. |title=Theory of nuclear reactions |page=443 |publisher=World Scientific |year=1990 |url=https://books.google.com/books?id=IcF5GV7ftT0C&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA443 |isbn=978-9971-5-0482-3|lang=en}}
* {{cite book |author1=Nolting, W. |author2=Ramakanth, A. |title=Quantum theory of magnetism |publisher=Springer |year=2008 |url=https://books.google.com/books?id=vrcHC9XoHbsC&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA748 |isbn=978-3-540-85416-6|lang=en}}
* {{cite book |author=Luth, H. |title=Quantum Physics in the Nanoworld |page=149 |publisher=Springer |series=Graduate texts in physics |year=2013 |url=https://books.google.com/books?id=9zrbFSHWcCAC&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA149 |isbn=978-3-642-31238-0|lang=en}}
* {{cite book |author=Sattler, K.D. |title=Handbook of Nanophysics: Functional Nanomaterials |pages=40–43 |publisher=CRC Press |year=2010 |url=https://books.google.com/books?id=08BWNlciXx4C&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=SA40-PA3 |isbn=978-1-4200-7553-3|lang=en}}
* {{cite book |author=Kuzmany, H. |title=Solid-State Spectroscopy |page=256 |publisher=Springer |year=2009 |url=https://books.google.com/books?id=Jg89d0h9SIoC&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA256 |isbn=978-3-642-01480-2|lang=en}}
* {{cite book |author=Reid, J.M. |title=The Atomic Nucleus |edition=2nd |publisher=Manchester University Press |year=1984 |url=https://books.google.com/books?id=rcdRAQAAIAAJ&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA277 |isbn=978-0-7190-0978-5|lang=en}}
* {{cite book |author=Schwerdtfeger, P. |title=Relativistic Electronic Structure Theory - Fundamentals |page=208 |volume=11 |series=Theoretical and Computational Chemistry |publisher=Elsevier |year=2002 |url=https://books.google.com/books?id=9tO_9Tf6dZgC&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA208 |isbn=978-0-08-054046-7|lang=en}}
* {{cite book |author=Piela, L. |title=Ideas of Quantum Chemistry |page=676 |publisher=Elsevier |year=2006 |url=https://books.google.com/books?id=nbdITbfsP6oC&q=magnetic+multipole+moments+allowed+by+spin+quantum+number&pg=PA676 |isbn=978-0-08-046676-7|lang=en}}
* {{cite book |title=Quantum (book) |author=Kumar, M. |isbn=978-1-84831-035-3 |year=2009|lang=en |title-link=Quantum (book)}}
{{refend}}
{{Внешние ссылки}}

[[Категория:Теория относительности]]
[[Категория:Атомная физика]]
[[Категория:Физика элементарных частиц]]
[[Категория:Электромагнетизм]]
[[Категория:Математическая физика]]
[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Страницы с непроверенными переводами]]