Релятивистская квантовая механика

Шаблон:Физическая теория Релятивистская квантовая механика (РКМ) — раздел квантовой физики, в котором рассматриваются релятивистские квантовые законы движения микрочастиц в одночастичном приближении. Более обще, это любая ковариантная формулировка квантовой механики (КМ). Эта теория применима к массивным частицам, движущимися со всеми скоростями, вплоть до сравнимых со скоростью света c, и к безмассовым частицам. Теория применяется в физике высоких энергий, физике элементарных частиц и физике ускорителей, а также в атомной физике, квантовой химии и физике конденсированного состояния. Нерелятивистская квантовая механика в математической формулировке квантовой механики, применяется в контексте теории относительности Галилея, в частности, к квантованию уравнений классической механики путём замены динамических переменных операторами. Релятивистская квантовая механика — это квантовая механика, применяемая совместно со специальной теорией относительности (СТО). Хотя более ранние формулировки, такие как представления Шрёдингера и Гейзенберга, изначально были сформулированы в нерелятивистской форме, некоторые из них (например, формализм Дирака или фейнмановский интеграл по траекториям) также учитывают СТО.

Ключевые особенности, общие для всех РКМ, включают: предсказание существования античастиц, спиновые магнитные моменты элементарных частиц со [[Спин-1/2|спином Шаблон:Дробь]], тонкую структуру и квантовую динамику заряженных частиц в электромагнитных полях. Основным результатом теории является уравнение Дирака, из которого эти предсказания возникают автоматически. Напротив, в нерелятивистской квантовой механике, чтобы достичь согласия с экспериментальными наблюдениями, нужно искусственно вводить дополнительные слагаемые в оператор Гамильтона.

Наиболее успешной (и наиболее широко используемой) РКМ является релятивистская квантовая теория поля (КТП), в которой элементарные частицы интерпретируются как кванты поля. Уникальным следствием КТП в сравнении с другими РКМ, которое экспериментально подтвердили является нарушение сохранения числа частиц, например, при создании и уничтожении материи.

В этой статье уравнения написаны в знакомых обозначениях трёхмерного векторного исчисления и используют шляпы для операторов (не обязательно в литературе), а там, где можно использовать компоненты пространства и времени, также используются тензорные индексы (часто используется в литературе), кроме того, используется правило суммирования Эйнштейна. Здесь используются распространённые в литературе единицы СИ; единицы Гаусса и натуральные единицы. Все уравнения даны в координатном представлении; а для импульсного представления нужно использовать преобразование Фурье см. координатное и импульсное пространства.

Объединение специальной теории относительности и квантовой механики

Один из подходов для расширения квантовой механики на релятивистские системы состоит в том, чтобы изменить представление Шредингера, чтобы оно соответствовало СТО.

Один из постулатов квантовой механики состоит в том, что эволюция во времени любой квантовой системы задаётся уравнением Шрёдингера:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =\hat{H}\psi$

с помощью подходящего оператора Гамильтона Шаблон:Math, описывающего квантовую систему. Решение этого уравнения представляет собой комплекснозначную волновую функцию Шаблон:Math, зависящую от трёхмерного радиус-вектора Шаблон:Math частицы в момент времени Шаблон:Math, описывает поведение системы.

Каждая частица обладает неотрицательным спиновым квантовым числом Шаблон:Math. Число Шаблон:Math — целое число, нечётное для фермионов и чётное для бозонов. Для каждого Шаблон:Math существует Шаблон:Math квантовых чисел — проекций на ось z; Шаблон:Math. Это дополнительная дискретная переменная, которая выступает дополнительным параметром волновой функции: Шаблон:Math.

Исторически сложилось так, что в начале 1920-х годов Паули, Крониг, Уленбек и Гаудсмит первыми предложили концепцию спина. Добавление спина в волновую функцию позволяет учитывать принцип запрета Паули (1925 г.) и более общую теорему о связи спина со статистикой (1939 г.), доказанную Маркусом Фирцем и заново выведенную Паули годом позже. Он объяснил многие явления в физике субатомных частиц: от электронных конфигураций атомов, ядер и, следовательно, всех элементов периодической таблицы и их химии, до конфигураций кварков и цветового заряда (свойства барионов и мезонов).

Фундаментальным предсказанием специальной теории относительности является релятивистское соотношение между энергией и импульсом для частицы с массой покоя Шаблон:Math в заданной системе отсчета с энергией Шаблон:Math и трёхмерным импульсом Шаблон:Math, выраженным скалярным произведением $p=\sqrt{𝐩\cdot 𝐩}$Шаблон:Sfn:

$E^2=c^2𝐩\cdot 𝐩+(m{c}^2{)}^2.$

Эти уравнения используются вместе с операторами энергии и импульса, которые задаются в видеШаблон:Sfn:

$\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t},\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla },$

построить релятивистское волновое уравнение: дифференциальное уравнение в частных производных, согласующееся с релятивистским соотношением между энергией и импульсом частицы, которое решается относительно Шаблон:Math для предсказания её квантовой динамикиШаблон:Sfn. Чтобы пространство и время были равноправны в уравнении, как в теории относительности, порядки частных производных по координатам и времени должны быть одинаковыми и в идеале как можно более низкими, чтобы не нужно было указывать начальные значения производных. Это важно для вероятностных интерпретаций, приведённых ниже. Наименьший возможный порядок любого дифференциального уравнения — первый.

Представление Гейзенберга — это ещё одна формулировка квантовой механики, когда волновая функция Шаблон:Math не зависит от времени, а зависимость от времени перенесена на операторы Шаблон:Math и определяется уравнением движения:

$\frac{d}{dt}A=\frac{1}{i\hslash }[A,\hat{H}]+\frac{\partial }{\partial t}A,$

Это уравнение верно и в РКМ, при условии, что операторы Гейзенберга модифицированы для согласования с СТО.

В 1926 году Шрёдингер и Гейзенберг показали, что волновая механика и матричная механика эквивалентны, что позже было подтверждено Дираком с использованием теории преобразований.

Более современный подход к РКМ, впервые появившийся во время её распространения на частицы с любым спином, заключается в применении представлений группы Лоренца.

Пространство и время

В классической механике и нерелятивистской квантовой механике время — это абсолютная величина, с которой всегда могут согласиться все наблюдатели и частицы, «тикающая» на заднем фоне независимо от точки пространства. Таким образом, в нерелятивистской квантовой механике для системы многих частиц Шаблон:Math Шаблон:Math Шаблон:Math Шаблон:Math .

В релятивистской механике пространственные координаты и временная координата не являются абсолютными; любые два наблюдателя, движущиеся относительно друг друга, могут измерять различные координаты и время событий. Координаты положения и времени естественным образом объединяются в четырёхмерный пространственно-временной вектор Шаблон:Math соответствующий событию, а энергия и 3-мпульс естественным образом объединяются в четыре импульс Шаблон:Math движущейся частицы, измеренным в некоторой системе отсчёта, преобразуются в соответствии с преобразованием Лоренца, когда кто-то измеряет в другой системе отсчёта бусты и/или вращение относительно исходной рассматриваемой системы отсчёта. Операторы производных, а значит, операторы энергии и 3-мпульса также не инвариантны и изменяются при преобразованиях Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца Шаблон:Math в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния Шаблон:Math локально преобразуются при некотором представлении Шаблон:Math группы Лоренца:

${\psi }_{\sigma }(𝐫,t)\to D(\mathrm{\Lambda }){\psi }_{\sigma }({\mathrm{\Lambda }}^{-1}(𝐫,t))$

где Шаблон:Math — конечномерное (матричное) представление, квадратная матрица размерности Шаблон:Math. Опять же, Шаблон:Math рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с Шаблон:Math допустимыми значениями Шаблон:Math. Квантовые числа Шаблон:Math и Шаблон:Math, а также другие индексы, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение Шаблон:Math может встречаться более одного раза в зависимости от представления.

Нерелятивистские и релятивистские гамильтонианы

Классический гамильтониан для частицы в потенциале описывается суммой кинетической энергии Шаблон:Math и потенциальной энергии Шаблон:Math с соответствующим квантовым оператором в представлении Шрёдингера (координатном)Шаблон:Sfn:

$\hat{H}=\frac{\widehat{𝐩}\cdot \widehat{𝐩}}{2m}+V(𝐫,t),$

а его подстановка в приведённое выше уравнение Шрёдингера приводит к нерелятивистскому уравнению квантовой механики для волновой функции. Эта процедура представляет собой прямую замену первоначального выражения для полной энергии. Напротив, в РКМ это не так просто; уравнение для связи энергии и импульса является квадратичным по энергии и импульсу, что приводит к трудностям. Прямая подстановкаШаблон:Sfn:

$\hat{H}=\hat{E}=\sqrt{c^2\widehat{𝐩}\cdot \widehat{𝐩}+(m{c}^2{)}^2}\Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =\sqrt{c^2\widehat{𝐩}\cdot \widehat{𝐩}+(m{c}^2{)}^2}\psi$

не помогает по нескольким причинам. Простого правила извлечения квадратного корня из операторов не существуетШаблон:Sfn. Его нужно было бы разложить в ряд по степеням, прежде чем оператор импульса, возведённый в степень в каждом члене, мог бы действовать на Шаблон:Math. В такой постановки задачи степенной ряд производных по координатам и времени полностью асимметричны: производные по пространственным координатам бесконечного порядка, но производные по времени только первого порядка, что некрасиво и громоздко. Опять возникает проблема неинвариантности оператора энергии, приравненного к квадратному корню, который также не является инвариантным. Другая проблема, менее очевидная и более серьёзная, состоит в том, что можно показать, что она нелокальна и может даже нарушать причинно-следственную связь: если частица первоначально локализована в точке Шаблон:Math, так что Шаблон:Math конечна и равна нулю в любом другом месте, то в любой более поздний момент уравнение предсказывает делокализацию: Шаблон:Math везде, даже для Шаблон:Math, что означает, что частица может достичь точки до того, как это сможет сделать световой сигнал. Это должно исправляться наложением дополнительного ограничения Шаблон:Math.

Существует также проблема учёта спина в гамильтониане, что не предсказывается в нерелятивистской теории ШредингераШаблон:Sfn. Частицы со спином имеют соответствующий спиновый магнитный момент, равный в квантованный единицах Шаблон:Math, магнетону Бора:

${\hat{\mathit{\mu }}}_S=-\frac{g{\mu }_B}{\hslash }\widehat{𝐒},\left|{\mathit{\mu }}_S\right|=-g{\mu }_B\sigma ,$

где Шаблон:Math — (спиновый) g-фактор частицы, а Шаблон:Math — спиновый оператор, поэтому они взаимодействуют с электромагнитными полями. Для частицы во внешнем магнитном поле Шаблон:Math член взаимодействия вида

${\hat{H}}_B=-𝐁\cdot {\hat{\mathit{\mu }}}_S$

необходимо добавить к приведённому выше нерелятивистскому гамильтониану. Напротив; релятивистский гамильтониан автоматически вводит спин как требование соблюдения релятивистского соотношения связи энергии и импульса.

Релятивистские гамильтонианы аналогичны нерелятивистским в квантовой механике в следующем отношении; есть условия, включающие массу покоя и условия взаимодействия с внешними полями, подобные классическому слагаемому соответствующему потенциальной энергии, а также слагаемые с импульсом, такие как классический вклад кинетической энергии. Ключевое отличие состоит в том, что релятивистские гамильтонианы содержат спиновые операторы в виде матриц, в которых умножение матриц выполняется по спиновому индексу Шаблон:Math, поэтому в общем случае релятивистский гамильтониан:

$\hat{H}=\hat{H}(𝐫,t,\widehat{𝐩},\widehat{𝐒})$

является функцией пространства, времени и операторов импульса и спина.

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака для свободных частиц

Подстановка операторов энергии и импульса непосредственно в соотношение релятивистской энергии и импульса может на первый взгляд показаться привлекательной, чтобы получить уравнение Клейна — Гордона:

${\hat{E}}^2\psi =c^2\widehat{𝐩}\cdot \widehat{𝐩}\psi +(m{c}^2{)}^2\psi ,$

и в таком виде было открыто многими людьми из-за простого способа его получения, в частности Шрёдингером в 1925 году, прежде чем он нашёл нерелятивистское уравнение, названное в его честь, и Клейном и Гордоном в 1927 году, которые включили в уравнение электромагнитные взаимодействия. Это уравнение релятивистски инвариантно, но само по себе оно не является достаточным основанием для РКМ по нескольким причинам; одна состоит в том, что существуют состояния с отрицательной энергией являющимися решениями, другая — это плотность вероятности (приведённая ниже), а также то, что это уравнение в его нынешнем виде применимо только к бесспиновым частицам. Это уравнение можно представить в виде:

$(\hat{E}-c\mathit{\alpha }\cdot \widehat{𝐩}-\beta m{c}^2)(\hat{E}+c\mathit{\alpha }\cdot \widehat{𝐩}+\beta m{c}^2)\psi =0,$

где Шаблон:Math и Шаблон:Math — не просто числа или векторы, а эрмитовы матрицы размера 4 × 4, для которых выполняются условия антикоммутивности для Шаблон:Math:

${\alpha }_i\beta =-\beta {\alpha }_i,{\alpha }_i{\alpha }_j=-{\alpha }_j{\alpha }_i,$

и их квадрат равен единичной матрице:

${\alpha }_i^2={\beta }^2=I,$

так что члены со смешанными производными второго порядка сокращаются, а производные второго порядка по пространственным координатам и времени остаются. Первый множитель:

$(\hat{E}-c\mathit{\alpha }\cdot \widehat{𝐩}-\beta m{c}^2)\psi =0\iff \hat{H}=c\mathit{\alpha }\cdot \widehat{𝐩}+\beta m{c}^2$

называется уравнением Дирака. Другой множитель — тоже уравнение Дирака, но для частицы с отрицательной массой. Каждый фактор релятивистски инвариантен. Рассуждения можно провести и наоборот: предложить вид гамильтониана в приведённом выше виде, как это сделал Дирак в 1928 году, затем предварительно умножить уравнение на другой множитель из операторов Шаблон:Math, и сравнить с уравнением Клейна — Гордона для определения ограничений для матриц Шаблон:Math и Шаблон:Math. Уравнение с положительной массой можно продолжать использовать без потери согласованности. При действии на Шаблон:Math матрицами, предполагают, что это не скалярная волновая функция, что разрешено для уравнения Клейна — Гордона, а вместо этого должна быть четырёхкомпонентная величина. Уравнение Дирака по-прежнему предсказывает решения с отрицательной энергией, поэтому Дирак постулировал, что состояния с отрицательной энергией всегда заняты, потому что в соответствии с принципом Паули электронные переходы с положительных на отрицательные энергетические уровни в атомах были бы запрещены. Подробнее см. Море Дирака.

Плотности вероятности и токи

В копенгагенской интерпретации квантовой механики, созданной около 1927 года, квадрат модуля волновой функции Шаблон:Math даёт функцию плотности вероятности Шаблон:Math. В РКМ, Шаблон:Math — волновая функция, но интерпретация вероятности не такая, как в нерелятивистской квантовой механике. Некоторые РКМ не предсказывают плотность вероятности Шаблон:Math или ток вероятности Шаблон:Math (на самом деле это означает плотность тока вероятности), потому что они не являются положительно определёнными функциями пространственных координат и времени. Уравнение Дирака приводит к

$\rho ={\psi }^{†}\psi ,𝐣={\psi }^{†}{\gamma }^0\mathit{\gamma }\psi \rightleftharpoons J^{\mu }={\psi }^{†}{\gamma }^0{\gamma }^{\mu }\psi ,$

где крестиком обозначен эрмитов сопряжённый (обычно авторы пишут Шаблон:Math для дираковского сопряжения), а Шаблон:Math — вероятностный четырёхток, а уравнение Клейна — Гордона не имеетШаблон:Sfn:

$\rho =\frac{i\hslash }{2m{c}^2}({\psi }^{*}\frac{\partial \psi }{\partial t}-\psi \frac{\partial {\psi }^{*}}{\partial t}),𝐣=-\frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{*}\mathrm{\nabla }\psi -\psi \mathrm{\nabla }{\psi }^{*})\rightleftharpoons J^{\mu }=\frac{i\hslash }{2m}({\psi }^{*}{\partial }^{\mu }\psi -\psi {\partial }^{\mu }{\psi }^{*}),$

где Шаблон:Math — четырёхградиента. Поскольку начальные значения как Шаблон:Math, так и Шаблон:Math могут быть выбраны свободно, плотность тока может быть отрицательнойШаблон:Sfn.

Величины «плотности вероятности» и «тока вероятности», должны быть интерпретированы как плотность заряда и плотность тока при умножении на электрический заряд. Тогда волновая функция Шаблон:Math вообще не является волновой функцией, а интерпретируется как поле. Плотность заряда и ток электрического заряда всегда удовлетворяют уравнению непрерывности:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0\rightleftharpoons {\partial }_{\mu }{J}^{\mu }=0,$

так как заряд является сохраняющейся величинойШаблон:Sfn. Плотность вероятности и ток вероятности также удовлетворяют уравнению неразрывности, поскольку вероятность сохраняется, однако это возможно только при отсутствии взаимодействий.

Спин и электромагнитно взаимодействующие частицы

Включение взаимодействий в РКМ, как правило, затруднено. Модель с минимальной связью — это простой способ учёта электромагнитного взаимодействия. Для одной заряженной частицы с электрическим зарядом Шаблон:Math в электромагнитном поле, определяемой магнитным векторным потенциалом Шаблон:Math определяемым магнитным полем Шаблон:Math, и электрическим скалярным потенциалом Шаблон:Math:

$\hat{E}\to \hat{E}-q\varphi ,\widehat{𝐩}\to \widehat{𝐩}-q𝐀\rightleftharpoons {\hat{P}}_{\mu }\to {\hat{P}}_{\mu }-q{A}_{\mu }$

где Шаблон:Math — 4-импульс, которому соответствует 4-импульсный оператор, а Шаблон:Math — 4-потенциал. Эта замена также называется удлинением производнойШаблон:Sfn. В дальнейшем нерелятивистский предел относится к предельным случаям:

$E-e\varphi \approx m{c}^2,𝐩\approx m𝐯,$

где полная энергия частицы приблизительно равна энергии покоя для малых электрических потенциалов, а импульс приблизительно равен классическому импульсуШаблон:Sfn.

Спин 0

В РКМ уравнение Клейна — Гордона допускает использование минимальной связи следующего типаШаблон:Sfn

${(\hat{E}-q\varphi )}^2\psi =c^2{(\widehat{𝐩}-q𝐀)}^2\psi +(m{c}^2{)}^2\psi \rightleftharpoons [({\hat{P}}_{\mu }-q{A}_{\mu })({\hat{P}}^{\mu }-q{A}^{\mu })-{(mc)}^2]\psi =0.$

В случае, когда заряд равен нулю, уравнение сводится к свободному уравнению Клейна — Гордона, поэтому ниже предполагается ненулевой заряд. Это скалярное уравнение, инвариантное относительно неприводимого одномерного скалярного Шаблон:Math представления группы Лоренца. Это означает, что все его решения будут принадлежать прямой сумме Шаблон:Math представлений. Решения, не принадлежащие неприводимому Шаблон:Math представлению, будут иметь два или более независимых компонента. Такие решения, вообще говоря, не могут описывать частицы с ненулевым спином, поскольку компоненты спина не являются независимыми. Для этого придётся наложить другое ограничение, например, уравнение Дирака для спина Шаблон:Дробь2 ниже. Таким образом, если система удовлетворяет только уравнению Клейна — Гордона, её можно интерпретировать только как систему с нулевым спином.

Электромагнитное поле рассматривается классически в соответствии с уравнениями Максвелла, а частица описывается волновой функцией, решением уравнения Клейна — Гордона. Уравнение в его нынешнем виде не всегда очень полезно, потому что массивные бесспиновые частицы, такие как π -мезоны, испытывают дополнительно сильное взаимодействие помимо электромагнитного взаимодействия. Однако оно правильно описывает заряженные бесспиновые бозоны в отсутствие других взаимодействий.

Уравнение Клейна — Гордона применимо к бесспиновым заряженным бозонам во внешнем электромагнитном потенциале. Таким образом, уравнение нельзя применить к описанию атомов, поскольку электрон представляет собой частицу со спином Шаблон:Дробь2. В нерелятивистском пределе уравнение сводится к уравнению Шрёдингера для бесспиновой заряженной частицы в электромагнитном поле:

$(i\hslash \frac{\partial }{\partial t}-q\varphi )\psi =\frac{1}{2m}{(\widehat{𝐩}-q𝐀)}^2\psi \iff \hat{H}=\frac{1}{2m}{(\widehat{𝐩}-q𝐀)}^2+q\varphi .$

Спин Шаблон:Дробь2

В нерелятивистской квантовой механике спин был феноменологически введён в уравнение Паули его создателем в 1927 году для частиц в электромагнитном поле:

$(i\hslash \frac{\partial }{\partial t}-q\varphi )\psi =\left[\frac{1}{2m}{(\mathit{\sigma }\cdot (𝐩-q𝐀))}^2\right]\psi \iff \hat{H}=\frac{1}{2m}{(\mathit{\sigma }\cdot (𝐩-q𝐀))}^2+q\varphi$

с помощью матрицы Паули размерности 2 × 2, а Шаблон:Math — это не просто скалярная волновая функция, как в нерелятивистском уравнении Шрёдингера, а двухкомпонентный спинорШаблон:Sfn:

$\psi =\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\uparrow }\\ {\psi }_{\downarrow }\end{array}\right),$

где индексы ↑ и ↓ относятся к состояниям со «спином вверх» (Шаблон:Math) и «спину вниз» (Шаблон:Math).

В РКМ уравнение Дирака также может включать минимальную связьШаблон:Sfn

$(i\hslash \frac{\partial }{\partial t}-q\varphi )\psi ={\gamma }^0[c\mathit{\gamma }\cdot (\widehat{𝐩}-q𝐀)-m{c}^2]\psi \rightleftharpoons [{\gamma }^{\mu }({\hat{P}}_{\mu }-q{A}_{\mu })-m{c}^2]\psi =0$

и матрицы Дирака имеют размер 4 × 4, Шаблон:Math. Существует единичная матрица 4 × 4, предварительно умножающая оператор энергии (включая потенциальную энергию), обычно не записываемая для простоты и ясности (то есть рассматриваемая как число 1). Здесь Шаблон:Math — четырёхкомпонентный спинор, который условно разбивается на два двухкомпонентных спинора в виде:

$\psi =\left(\begin{array}{c}{\psi }_{+}\\ {\psi }_{-}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{+\uparrow }\\ {\psi }_{+\downarrow }\\ {\psi }_{-\uparrow }\\ {\psi }_{-\downarrow }\end{array}\right)$

2-спинор Шаблон:Math соответствует частице с 4-импульсом Шаблон:Math и зарядом Шаблон:Math и двумя спиновыми состояниями (Шаблон:Math как и раньше). Другой 2-спинор Шаблон:Math соответствует аналогичной частице с той же массой и спиновыми состояниями, но с отрицательным 4-импульсомШаблон:Math и отрицательным зарядом Шаблон:Math, то есть состояниями с отрицательной энергией, обращённым во времени импульсом и отрицательным зарядом. Это была первая интерпретация и предсказание частицы и соответствующей ей античастицы. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака сводится к уравнению Паули. При применении к одноэлектронному атому или иону, калибровка Шаблон:Math и Шаблон:Math для соответствующего электростатического потенциала, дополнительные релятивистские члены включают спин-орбитальное взаимодействие, гиромагнитное отношение электронов и дарвиновский вклад. В нереляьтвтстской квантовой механике эти члены приходится вводить вручную и проводить рассчёт с помощью теории возмущений. Положительные энергии действительно точно объясняют тонкую структуру.

В рамках РКМ для безмассовых частиц уравнение Дирака сводится к

$(\frac{\hat{E}}{c}+\mathit{\sigma }\cdot \widehat{𝐩}){\psi }_{+}=0,(\frac{\hat{E}}{c}-\mathit{\sigma }\cdot \widehat{𝐩}){\psi }_{-}=0\rightleftharpoons {\sigma }^{\mu }{\hat{P}}_{\mu }{\psi }_{+}=0,{\sigma }_{\mu }{\hat{P}}^{\mu }{\psi }_{-}=0,$

первым из которых является уравнение Вейля, — значительное упрощение, применимое к безмассовым нейтрино. На этот раз имеется единичная матрица 2 × 2, на которую умножается оператор энергии, обычно не записываемая. В РКМ полезно принять её как нулевую матрицу Паули Шаблон:Math, которая связана с оператором энергии (производной по времени), так же как другие три матрицы связаны с оператором импульса (пространственными производными).

Матрицы Паули и гамма-матрицы используются в теоретической физике, а не в чистой математике. У них есть приложения к кватернионам и к группам Ли, SO (2) и SO (3), потому что они удовлетворяют важным коммутационным соостношениям:коммутатор [ , ] и антикоммутатор [ , ]₊ соответственно:

$[{\sigma }_a,{\sigma }_b]=2i{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c,{[{\sigma }_a,{\sigma }_b]}_{+}=2{\delta }_{ab}{\sigma }_0$

где Шаблон:Math — трёхмерный символ Леви-Чивиты. Гамма-матрицы образуют базис в алгебре Клиффорда и связаны с компонентами плоской пространственно-временной метрики Минковского Шаблон:Math антикоммутационным соотношениемШаблон:Sfn:

${[{\gamma }^{\alpha },{\gamma }^{\beta }]}_{+}={\gamma }^{\alpha }{\gamma }^{\beta }+{\gamma }^{\beta }{\gamma }^{\alpha }=2{\eta }^{\alpha \beta },$

(Это можно распространить на искривленное пространство-время, но это не является предметом изучения специальной теории относительности).

В 1929 году было обнаружено, что уравнение Брейта описывает два или более электромагнитно взаимодействующих массивных фермионов со спином Шаблон:Дробь2 с релятивистскими поправками первого порядка; одна из первых попыток описать такую релятивистскую квантовую систему многих частиц. Однако это всё ещё только приближение, и полный гамильтониан включает в себя множество длинных и сложных сумм.

Спиральность и хиральность

Оператор спиральности определяется какШаблон:Sfn

$\hat{h}=\widehat{𝐒}\cdot \frac{\widehat{𝐩}}{|𝐩|}=\widehat{𝐒}\cdot \frac{c\widehat{𝐩}}{\sqrt{E^2-(m_0{c}^2{)}^2}}$

где p — оператор импульса, S — оператор спина для частицы со спином s, E — полная энергия частицы, а m₀ — её масса покоя. Спиральность указывает на ориентацию векторов спина и импульса частицы. Спиральность зависит от системы отсчёта из-за присутствия 3-мпульса в определении и квантуется по спину, которое имеет дискретные положительные значения для параллельного выравнивания и отрицательные значения для антипараллельного выравнивания.

Автоматическим появлением в уравнении Дирака (и уравнении Вейля) является проекция оператора спина Шаблон:Дробь2 на 3-мпульс (умноденного на c), Шаблон:Math, который является спиральностью (для спина Шаблон:Дробь2 умноженного на $\sqrt{E^2-(m_0{c}^2{)}^2}.$

Для безмассовых частиц спиральность упрощается до:

$\hat{h}=\widehat{𝐒}\cdot \frac{c\widehat{𝐩}}{E}.$

Высшие спины

Уравнение Дирака описывает только частицы со спином Шаблон:Дробь2. Помимо уравнения Дирака, РКМ применялись к свободным частицам с различными спинами. В 1936 году Дирак распространил своё уравнение на все фермионы, три года спустя Фирц и Паули заново вывели то же уравнение. Уравнения Баргмана — Вигнера были найдены в 1948 году с использованием теории групп Лоренца, применимой для всех свободных частиц с любым спином. Учитывая приведённую выше факторизацию уравнения Клейна — Гордона и, более строго, теорию групп Лоренца, становится очевидным введение спина в виде матриц.

Волновые функции представляют собой многокомпонентные спинорные поля, которые можно представить в виде вектор-столбцов функций в пространстве и времени:

$\psi (𝐫,t)=\left[\begin{array}{c}{\psi }_{\sigma =s}(𝐫,t)\\ {\psi }_{\sigma =s-1}(𝐫,t)\\ ⋮\\ {\psi }_{\sigma =-s+1}(𝐫,t)\\ {\psi }_{\sigma =-s}(𝐫,t)\end{array}\right]\rightleftharpoons {\psi (𝐫,t)}^{†}=\left[\begin{array}{ccccc}{{\psi }_{\sigma =s}(𝐫,t)}^{\star }& {{\psi }_{\sigma =s-1}(𝐫,t)}^{\star }& \cdots & {{\psi }_{\sigma =-s+1}(𝐫,t)}^{\star }& {{\psi }_{\sigma =-s}(𝐫,t)}^{\star }\end{array}\right]$

где выражение справа является эрмитово сопряжённым. Для массивной частицы со спином Шаблон:Math имеется Шаблон:Math компонент для частицы и ещё Шаблон:Math для соответствующей античастицы (в каждом случае имеется Шаблон:Math возможных значений проекций Шаблон:Math), вместе образующих Шаблон:Math-компонент спинорного поля:

$\psi (𝐫,t)=\left[\begin{array}{c}{\psi }_{+,\sigma =s}(𝐫,t)\\ {\psi }_{+,\sigma =s-1}(𝐫,t)\\ ⋮\\ {\psi }_{+,\sigma =-s+1}(𝐫,t)\\ {\psi }_{+,\sigma =-s}(𝐫,t)\\ {\psi }_{-,\sigma =s}(𝐫,t)\\ {\psi }_{-,\sigma =s-1}(𝐫,t)\\ ⋮\\ {\psi }_{-,\sigma =-s+1}(𝐫,t)\\ {\psi }_{-,\sigma =-s}(𝐫,t)\end{array}\right]\rightleftharpoons {\psi (𝐫,t)}^{†}\left[\begin{array}{cccc}{{\psi }_{+,\sigma =s}(𝐫,t)}^{\star }& {{\psi }_{+,\sigma =s-1}(𝐫,t)}^{\star }& \cdots & {{\psi }_{-,\sigma =-s}(𝐫,t)}^{\star }\end{array}\right]$

с нижним индексом +, указывающим на частицу, и нижним индексом − на античастицу. Однако для безмассовых частиц со спином s всегда существуют только двухкомпонентные спинорные поля; одно для частицы в одном состоянии спиральности, соответствующем +s, а другое для античастицы в противоположном состоянии спиральности, соответствующем −s:

$\psi (𝐫,t)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{+}(𝐫,t)\\ {\psi }_{-}(𝐫,t)\end{array}\right)$

Согласно релятивистскому соотношению энергии-импульса все безмассовые частицы движутся со скоростью света, поэтому частицы, движущиеся со скоростью света, также описываются двухкомпонентными спинорами. Исторически сложилось так, что Эли Картан обнаружил наиболее общую форму спиноров в 1913 году, до спиноров, обнаруженных в РКМ после 1927 года.

Для уравнений, описывающих частицы с высшими спинами, включение взаимодействий далеко не просто минимальная связь, они приводят к неверным предсказаниям и самопротиворечиям. Для спина больше, чем Шаблон:Дробь2, РКМ не фиксируется массой, спином и электрическим зарядом частицы; электромагнитные моменты (электрические дипольные моменты и магнитные дипольные моменты), допускаемые спиновым квантовым числом произвольны. (Теоретически магнитный заряд тоже должен внести свой вклад). Например, частица со спином Шаблон:Дробь2 имеет только магнитный диполь, но для частиц со спином 1 возможны также магнитные квадруполи и электрические диполи. Для получения дополнительной информации по этой теме см. Мультипольное разложение и (например) Cédric Lorcé (2009).

Оператор скорости

Оператор скорости Шрёдингера/Паули может быть определён для массивной частицы с использованием классического определения Шаблон:Math и обычной подстановкой квантовых операторов:

$\widehat{𝐯}=\frac{1}{m}\widehat{𝐩}$

которая имеет собственные значения, принимающие любое значениеШаблон:Sfn. В РКМ, теории Дирака, это:

$\widehat{𝐯}=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\widehat{𝐫}]$

который должен иметь собственные значения в интервале между ± cШаблон:Sfn. См. Преобразование Фолди — Ваутхайзена.

Релятивистские квантовые лагранжианы

Гамильтоновы операторы в картине Шрёдингера представляют собой один из подходов к формированию дифференциальных уравнений для волновой функции Шаблон:Math. Эквивалентная альтернатива состоит в том, чтобы определить лагранжиан (на самом деле это означает плотность лагранжиана), а затем сгенерировать дифференциальное уравнение с помощью теоретико-полевого уравнения Эйлера — Лагранжа:

${\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial ℒ}{\partial ({\partial }_{\mu }\psi )}\right)-\frac{\partial ℒ}{\partial \psi }=0$

Для некоторых РКМ лагранжианов можно найти путём проверки. Например, лагранжиан Дирака:

$ℒ=\bar{\psi }({\gamma }^{\mu }{P}_{\mu }-mc)\psi ,$

а лагранжиан Клейна — Гордона:

$ℒ=-\frac{{\hslash }^2}{m}{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\psi }^{*}{\partial }_{\nu }\psi -m{c}^2{\psi }^{*}\psi .$

Это возможно не для всех уравнений РКМ; и это одна из причин, по которой теоретико-групповой подход Лоренца важен и привлекателен: фундаментальная инвариантность и симметрии в пространстве и времени могут быть использованы для получения РКМ с использованием соответствующих групповых представлений. Лагранжев подход с полевой интерпретацией волновой фкнкции Шаблон:Math является предметом квантовой теории поля, а не РКМ: формулировка интеграла по траекториям Фейнмана использует инвариантные лагранжианы, а не гамильтоновы операторы, поскольку последние могут стать чрезвычайно сложными, см., например, Weinberg (1995).

Релятивистский квантовый угловой момент

В нерелятивистской КМ оператор углового момента формируется из классического определения псевдовектора Шаблон:Math. В РКМ операторы положения и импульса вставляются непосредственно там, где они появляются в орбитальном релятивистском тензоре углового момента, определяемом четырёхмерным положением и импульсом частицы, что эквивалентно бивектору в формализме внешней алгебры:

$M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }{P}^{\beta }-X^{\beta }{P}^{\alpha }=2X^{[\alpha }{P}^{\beta ]}\rightleftharpoons 𝐌=𝐗\wedge 𝐏,$

всего шесть компонент: три — нерелятивистские 3-угловые моменты; Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, а остальные три Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math являются бустами центра масс вращающегося объекта. Для частиц со спином необходимо добавить дополнительный релятивистский квантовый вклад. Для частицы с массой покоя Шаблон:Math тензор полного углового момента равен:

$J^{\alpha \beta }=2X^{[\alpha }{P}^{\beta ]}+\frac{1}{m^2}{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }{W}_{\gamma }{p}_{\delta }\rightleftharpoons 𝐉=𝐗\wedge 𝐏+\frac{1}{m^2}\star (𝐖\wedge 𝐏)$

где звездочка обозначает звезду Ходжа, а

$W_{\alpha }=\frac{1}{2}{\epsilon }_{\alpha \beta \gamma \delta }{M}^{\beta \gamma }{p}^{\delta }\rightleftharpoons 𝐖=\star (𝐌\wedge 𝐏)$

— псевдовектор Паули — Лубански. Для получения дополнительной информации о релятивистском спине см., например, Трошин и Тюрин (1994).

Прецессия Томаса и спин-орбитальные взаимодействия

В 1926 году открыта прецессия Томаса: релятивистские поправки к спину элементарных частиц с применением в спин-орбитальном взаимодействии атомов и вращении макроскопических объектов. В 1939 году Вигнер вывел прецессию Томаса.

В классическом электромагнетизме и специальной теории относительности электрон, движущийся со скоростью Шаблон:Math в электрическом поле Шаблон:Math, но не в магнитном поле Шаблон:Math, будет в своей собственной системе отсчёта испытывать магнитное поле Шаблон:Math возникающее из преобразований Лоренца:

${𝐁}^{\prime }=\frac{𝐄\times 𝐯}{c^2\sqrt{1-{(v/c)}^2}}.$

В нерелятивистском пределе Шаблон:Math :

${𝐁}^{\prime }=\frac{𝐄\times 𝐯}{c^2},$

поэтому гамильтониан нерелятивистского спинового взаимодействия принимает вид:

$\hat{H}=-{𝐁}^{\prime }\cdot {\hat{\mathit{\mu }}}_S=-(𝐁+\frac{𝐄\times 𝐯}{c^2})\cdot {\hat{\mathit{\mu }}}_S,$

где первый член — это уже нерелятивистское взаимодействие магнитных моментов, а второй — релятивистская поправка порядка Шаблон:Math, но это расходится с экспериментальными атомными спектрами на множитель Шаблон:Дробь. На это указывал Л. Томас, что существует второй релятивистский эффект: составляющая электрического поля, перпендикулярная скорости электрона, вызывает дополнительное ускорение электрона, перпендикулярное его мгновенной скорости, поэтому электрон движется по криволинейной траектории. Электрон движется во вращающейся системе отсчета, и эта дополнительная прецессия электрона называется прецессией Томаса. Можно показать, что конечным результатом этого эффекта является то, что спин-орбитальное взаимодействие уменьшается вдвое, как если бы магнитное поле, испытываемое электроном, имеет только половину значения, а релятивистская поправка в гамильтониане принимает вид:

$\hat{H}=-{𝐁}^{\prime }\cdot {\hat{\mathit{\mu }}}_S=-(𝐁+\frac{𝐄\times 𝐯}{2c^2})\cdot {\hat{\mathit{\mu }}}_S.$

В случае РКМ мнодитель Шаблон:Дробь предсказывается уравнением Дирака.

История

События, которые привели к созданию РКМ, а также её развитие до квантовой электродинамики (КЭД), резюмируются ниже [см., например, Р. Резника и Р. Эйсберга (1985) и П. В. Аткинса (1974) ]. Более полувека экспериментальных и теоретических исследований с 1890-х по 1950-е годы в новой и загадочной квантовой теории по мере её возникновения и развития показали, что ряд явлений не может быть объяснён одной нерелятивистской квантовой механикой. Специальная теория относительности, обнаруженная на рубеже 20-го века, оказалась необходимым компонентом, ведущим к унификации: РКМ. Теоретические предсказания и эксперименты в основном были сосредоточены на недавно появившихся атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц; рассматривая спектроскопию, дифракцию и рассеяние частиц, а также электронов и ядер внутри атомов и молекул. Многочисленные результаты приписываются эффектами спина.

Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил фотоэлектрический эффект; корпускулятным описанием света как фотонов. В 1916 году Зоммерфельд объясняет тонкую структуру; расщепление спектральных линий атомов из-за релятивистских поправок первого порядка. Эффект Комптона 1923 года предоставил больше доказательств того, что специальная теория относительности действительно применима; в данном случае к корпускулярному описанию фотон-электронного рассеяния. Де Бройль распространил дуализм волна-частица на материю: соотношения де Бройля, которые согласуются со специальной теорией относительности и квантовой механикой. К 1927 году Дэвиссон и Джермер и отдельно Г. Томсон успешно продемонстрировали дифракцию электронов, предоставив экспериментальные доказательства корпускулярно-волнового дуализма.

• 1897 г. Дж. Дж. Томсон открывает электрон и измеряет отношение его массы к заряду. Открытие эффекта Зеемана: расщепление спектральной линии на несколько компонент в присутствии постоянного магнитного поля.
• 1908 г. Милликен измеряет заряд электрона и находит экспериментальные доказательства его квантования в эксперименте с каплей масла.
• 1911 г. Рассеяние альфа-частиц в эксперименте Гейгера — Марсдена под руководством Резерфорда показало, что атомы обладают внутренней структурой: атомным ядром.
• 1913 г. Открыт эффект Штарка: расщепление спектральных линий из-за статического электрического поля (сравните с эффектом Зеемана).
• 1922 г. Эксперимент Штерна — Герлаха: экспериментальные доказательства существования спина и его квантования.
• 1924 г. Стоунер изучает расщепление энергетических уровней в магнитных полях.
• 1932 г. Экспериментальное открытие нейтрона Чедвиком и позитронов Андерсоном, подтверждающее теоретическое предсказание позитронов.
• 1958 г. Открытие эффекта Мессбауэра: резонансное и безоткатное излучение и поглощение гамма-излучения атомными ядрами, связанными в твёрдом теле, полезно для точных измерений гравитационного красного смещения и замедления времени, а также для анализа ядерных электромагнитных моментов в сверхтонких взаимодействиях.

В 1935 году; Эйнштейн, Розен, Подольский опубликовали статью о квантовой запутанности частиц, ставя под сомнение квантовую нелокальность и очевидное нарушение причинно-следственной связи, поддерживаемой СТО: частицы могут мгновенно взаимодействовать на произвольных расстояниях. Это было заблуждением, поскольку информация не передаётся и не может передаваться в запутанных состояниях; скорее передача информации происходит в процессе измерения двумя наблюдателями (один наблюдатель должен послать другому сигнал, который не может превышать скорость света). QM не нарушает СТО. В 1959 году Бом и Ааронов публикуют статью об эффекте Ааронова — Бома, в которой ставится под сомнение статус электромагнитных потенциалов в квантовой механике. Формулировки тензора электромагнитного поля и электромагнитного 4-потенциала применимы в СТО, но в квантовой механике потенциалы входят в гамильтониан (см. выше) и влияют на движение заряженных частиц даже в областях, где поля равны нулю. В 1964 году в статье о парадоксе ЭПР была опубликована теорема Белла, показывающая, что квантовую механику нельзя вывести из локальных теорий со скрытыми переменными, если необходимо сохранить локальность.

В 1947 году был открыт лэмбовский сдвиг: небольшая разница в энергиях ²S_{Шаблон:Frac} и ²P_{Шаблон:Frac} уровней водорода из-за взаимодействия между электроном и вакуумом. Лэмб и Ретерфорд экспериментально измерили вынужденные радиочастотные переходы ²S_{Шаблон:Frac} и ²P_{Шаблон:Frac} уровня водорода с помощью микроволнового излучения. Объяснение сдвига Лэмба представлено Бете. Статьи об этом эффекте были опубликованы в начале 1950-х годов.

• 1943 г. Томонага начинает работу по перенормировке, оказавшую влияние на КЭД.
• 1947 г. Швингер вычисляет аномальный магнитный момент электрона. Куш измеряет аномальный магнитный момент электрона, подтверждая одно из важных предсказаний КЭД.

Литература

На русском языке

• Шаблон:Книга

На английском языке

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book