Спин-орбитальное взаимодействие

Шаблон:Другое значение Спин-орбитальное взаимодействие — в квантовой физике взаимодействие между движущейся частицей и её собственным магнитным моментом, обусловленным спином частицы. Наиболее часто встречающимся примером такого взаимодействия является взаимодействие электрона, находящегося на одной из орбит в атоме, с собственным спином. Такое взаимодействие, в частности, приводит к возникновению так называемой тонкой структуры энергетического спектра электрона и расщеплению спектроскопических линий атома.

Вывод гамильтониана спин-орбитального взаимодействия

Спин-орбитальное взаимодействие является релятивистским эффектом, поэтому для вывода части гамильтониана, отвечающей данному взаимодействию, следует отталкиваться от уравнения Дирака с учтённым в гамильтониане вкладом от внешнего электромагнитного поля с векторным потенциалом A и скалярным потенциалом φ, для чего в уравнении Дирака, согласно лагранжеву формализму, нужно произвести замену

$𝐩\to 𝐩-(e/c)𝐀$

и

$E\to E+e\phi$.

В итоге уравнение Дирака принимает вид:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=[c\mathit{\alpha }(𝐩-\frac{e}{c}𝐀)+\beta m{c}^2+e\phi ]\psi$,

где $\beta =\left(\begin{array}{cc}\mathrm{𝟏}& 0\\ 0& -\mathrm{𝟏}\end{array}\right),\mathit{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}0& \mathit{\sigma }\\ \mathit{\sigma }& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_i$ — матрицы Паули

${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\mathrm{𝟏}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Из данного гамильтониана видно, что волновая функция ψ должна быть четырёхкомпонентной, причём известно, что две её компоненты соответствуют решениям с положительной энергией, а две — с отрицательной. Роль решений с отрицательной энергией мала при рассмотрении вопросов, связанных с магнитными явлениями, поскольку дырки в спектре отрицательной энергии соответствуют позитронам, для образования которых нужна энергия порядка $m{c}^2$, что значительно превышает энергию, связанную с магнитными явлениями. В связи с вышесказанным удобно воспользоваться каноническим преобразованием Фолди и Ваутхайзена , которое разбивает уравнение Дирака на пару двухкомпонентных уравнений. Одно из которых описывает решения с отрицательной энергией, а другое с положительной и имеет гамильтониан следующего вида:

$\mathscr{H}=[m{c}^2+\frac{1}{2m}{(𝐩-\frac{e}{c}𝐀)}^2-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}]+e\phi -\frac{e\hslash }{2mc}\mathit{\sigma }\cdot 𝐇+\{-i\frac{e{\hslash }^2}{8m^2{c}^2}\mathit{\sigma }\cdot \mathrm{\nabla }\times 𝐄-\frac{e\hslash }{4m^2{c}^2}\mathit{\sigma }\cdot 𝐄\times 𝐩\}-\frac{e{\hslash }^2}{8m^2{c}^2}\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄.$

Члены, заключённые в фигурные скобки, характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. В частности, если электрическое поле центрально-симметричное, то имеем $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=0$, и гамильтониан спин-орбитального взаимодействия принимает вид:

${\mathscr{H}}_{so}=-\frac{e\hslash }{4m^2{c}^2}\mathit{\sigma }\cdot 𝐄\times 𝐩=\frac{\hslash }{4m^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\mathit{\sigma }\cdot 𝐫\times 𝐩=\frac{\hslash }{4m^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\mathit{\sigma }\cdot 𝐋,$

где $𝐋=𝐫\times 𝐩$ — оператор углового момента импульса электрона.

Данный результат согласуется с классическим выражением, описывающим взаимодействие спина электрона с полем обусловленным орбитальным движением электрона. Поясним это.

Классическое выражение энергии спин-орбитального взаимодействия для атомарного электрона

Пусть электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью v в поле ядра, помещённого в начале системы координат 1 и которое создаёт кулоновское поле $e𝐄=-\frac{𝐫}{r}\frac{\partial V}{\partial r}$. В системе координат 2, связанной с движущимся электроном, наблюдатель будет видеть движущееся ядро, которое создает как электрическое, так и магнитное поле, с напряженностью E' и H', соответственно. Как следует из теории относительности E' и H' связаны с Е следующими соотношениями:

${𝐄}^{\prime }=𝐄,{𝐇}^{\prime }\approx -\frac{1}{c}𝐯\times 𝐄=-\frac{1}{mc}𝐩\times 𝐄.$

Где отброшены члены порядка $v^2/c^2.$

Тогда уравнение изменения спинового момента количества движения $𝐒=\frac{\hslash }{2}\mathit{\sigma }$ (связанного, согласно гипотезе Уленбека — Гаудсмита, гиромагнитным отношением с магнитным моментом $\mathit{\mu }$, как $\frac{|\mathit{\mu }|}{|𝐒|}=\frac{|e|}{mc}$) в системе координат 2 будет иметь вид:

$\frac{d𝐒}{dt}=\mu \times {𝐇}^{\prime }=-\frac{e\hslash }{2m^2{c}^2}\mathit{\sigma }\times [𝐩\times 𝐄].$

Это уравнение соответствует взаимодействию спина электрона с электромагнитным полем, которое описывается гамильтонианом следующего вида:

$\mathscr{H}{\text{'}}_{so}=\frac{e\hslash }{2m^2{c}^2}\mathit{\sigma }\cdot 𝐩\times 𝐄.$

Заметим, что вид гамильтониана с точностью до множителя 1/2 совпадает с видом спин-орбитальной части гамильтониана полученного из уравнения Дирака с помощью преобразования Фолди и Ваутхайзена. Отсутствие этого множителя связано с тем, что уравнение изменения магнитного момента электрона будет верно только в том случае, если система 2 не будет вращающейся, в противном случае это уравнение, из-за прецессии Томаса, должно иметь вид

$\frac{d𝐒}{dt}=\frac{e\hslash }{2mc}\mathit{\sigma }\times {𝐇}^{\prime }-{\omega }_T\times 𝐒,$

где ${\omega }_T$ — томосовская угловая скорость вращения.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем поэтому томосовская угловая скорость описывается соотношением

${\omega }_T\approx \frac{1}{2m^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}[𝐫\times 𝐩]$

Таким образом гамильтониан спин-орбитального взаимодействия будет иметь вид:

${\mathscr{H}}_{so}=\frac{\hslash }{2m^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\mathit{\sigma }\cdot 𝐫\times 𝐩-\frac{\hslash }{4m^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\mathit{\sigma }\cdot 𝐫\times 𝐩=\frac{\hslash }{4m^2{c}^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\mathit{\sigma }\cdot 𝐫\times 𝐩,$

Что в точности совпадает с ранее полученным результатом.

В твёрдом теле

В полупроводниках спин-орбитальное взаимодествие описывается гамильтонианом Рашбы и ДрессельхаузаШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга:Степанов Н.Ф.: Квантовая механика и квантовая химия
• Шаблон:Книга
• Уайт Р. Квантовая теория магнетизма / Пер. с англ. — 2-е изд., испр. и. доп. — М.: Мир, 1985. — 304 с.
• Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. — ИО НФМИ, 2000. — 296 с.
• Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965. — 703 с.