Инвариантная масса

Инвариантная масса, неизменная масса — это скалярная физическая величина, имеющая размерность массы, вычисляемая как функция энергии и импульса всех составных частей замкнутой физической системы и инвариантная относительно преобразований Лоренца.

У физических систем с времениподобным четырёхимпульсом инвариантная масса положительна, у физических систем с нулевым четырехимпульсом (безмассовых физических систем, например, один фотон или множество фотонов, движущихся в одном и том же направлении) инвариантная масса равна нулю.

Если объекты внутри системы находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс образующих её объектов.

Для изолированной "массивной" системы центр масс системы движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. В системе отсчёта, относительно которой скорость центра масс равна нулю, общий импульс системы равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя". В этой системе отсчёта инвариантная масса системы равна общей энергии системы, делённой на квадрат скорости света {{"c"²}}. Эта общая энергия является "минимальной" энергией, которую можно наблюдать у системы, когда её видят различные наблюдатели из разных инерциальных систем отсчёта.

Система отсчёта, относительно которой скорость центра масс равна нулю, не существует для группы фотонов, движущихся в одном направлении. Однако, когда два или более фотона движутся в разных направлениях, существует система координат центра масс. Таким образом, инвариантная масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, несмотря на то, что она равна нулю для каждого фотона.

Возможные 4-импульсы частиц. Одна имеет нулевую инвариантную массу, другая ненулевую.

Сумма масс

Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии составляющих системы, которая остаётся в центре системы отсчёта импульса, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс её отдельных составляющих. Например, масса и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, даже если они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса, как правило, не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда это может быть, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).

Рассмотрим простой случай системы из двух тел, где объект A движется к другому объекту B, который изначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчёта). Величина инвариантной массы этой системы из двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т.е. их соответствующей массы в неподвижном состоянии). Даже если мы рассмотрим ту же систему с точки зрения центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.

Кинетическая энергия частиц системы и потенциальная энергия силовых полей (возможно, Шаблон:Не переведено 5) вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, является наименьшей в системе координат центра импульса.

Для изолированной "массивной" системы центр масс движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. Таким образом, всегда можно разместить наблюдателя, который будет двигаться вместе с ним. В этой системе отсчёта, которая является системой центра масс, общий импульс равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя", если это связанная система ннапример, бутылка с газом). В этой системе отсчёта, которая существует всегда, инвариантная масса системы равна общей энергии системы (в системе отсчёта с нулевым импульсом), делённой на Шаблон:Math.

Определение в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц инвариантная масса Шаблон:Math системы $N$ элементарных частиц может быть рассчитана по энергиям частиц $E_i$ и их импульсам ${𝐏}_i$, $i=1,...N$, измеренными в произвольной системе отсчёта, с помощью Шаблон:Не переведено 5:

$m_0^2{c}^4={\left(\sum _i{E}_i\right)}^2-{\Vert \sum _i{𝐩}_i\Vert }^2{c}^2$

или в релятивистской системе единиц где $c=1$,

$m_0^2={\left(\sum _i{E}_i\right)}^2-{\Vert \sum _i{𝐩}_i\Vert }^2$

Инвариантная масса одинакова во всех системах отсчёта (см. также специальная теория относительности). С математической точки зрения она представляет собой псевдоевклидову длину четырёхвектора Шаблон:Math, рассчитанную с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора, которая использует разные знаки для пространственных и временных измерений. Эта длина сохраняется при любом смещении или вращении Лоренца в четырёх измерениях, точно так же, как обычная длина вектора, сохраняется при вращениях.

Поскольку инвариантная масса определяется из величин, которые сохраняются во время распада, инвариантная масса, рассчитанная с использованием энергии и импульса продуктов распада одной частицы, равна массе распавшейся частицы.

В экспериментах по неупругому рассеянию инвариантная масса необнаруженной частицы, уносящей с собой часть энергии и импульса, называется Шаблон:Якорь2 $W$. Она определяется (в релятивистской системе единиц):

$W^2={(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}})}^2-{\Vert \sum {𝐩}_{\text{in}}-\sum {𝐩}_{\text{out}}\Vert }^2.$

Если есть одна доминирующая частица, которая не была обнаружена во время эксперимента, её массу можно определить по пику на графике её инвариантной массы.

В тех случаях, когда импульс вдоль одного направления не может быть измерен (т.е. в случае нейтрино, о присутствии которого можно судить только по Шаблон:Не переведено 5), используется Шаблон:Не переведено 5.

Примеры

Столкновение двух частиц

При столкновении двух частиц (или распаде двух частиц) квадрат инвариантной массы (в в релятивистской системе единиц) равен

$\begin{array}{cc}{M}^2& =(E_1+E_2{)}^2-{\Vert {\mathbf{\text{p}}}_1+{\mathbf{\text{p}}}_2\Vert }^2\\ & =m_1^2+m_2^2+2(E_1{E}_2-{\mathbf{\text{p}}}_1\cdot {\mathbf{\text{p}}}_2).\end{array}$

Безмассовые частицы

Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол $\theta$ имеет удобное выражение:

$\begin{array}{cc}{M}^2& =(E_1+E_2{)}^2-{\Vert {\mathbf{\text{p}}}_1+{\mathbf{\text{p}}}_2\Vert }^2\\ & =[(p_1,0,0,p_1)+(p_2,0,p_2\sin \theta ,p_2\cos \theta ){]}^2\\ & =(p_1+p_2{)}^2-p_2^2{\sin }^2\theta -(p_1+p_2\cos \theta {)}^2\\ & =2p_1{p}_2(1-\cos \theta ).\end{array}$

Эксперименты на коллайдере

В экспериментах на коллайдере частиц часто определяют угловое положение частицы в терминах азимутального угла  $\varphi$ и псевдобыстроты $\eta$. Кроме того, обычно измеряется поперечный импульс, $p_T$. В этом случае, если частицы безмассовые или сильно релятивистские ($E\gg m$), то инвариантная масса определяется как:

$$M^2=2p_{T1}{p}_{T2}(\cosh ({\eta }_1-{\eta }_2)-\cos ({\varphi }_1-{\varphi }_2)).$$

См. также

• Масса в специальной теории относительности
• Инвариант (физика)
• Шаблон:Не переведено 5