Уравнения Баргмана — Вигнера

Шаблон:КТП Уравнения Баргмана — Вигнера — релятивистски инвариантные многокомпонентные спинорные уравнения движения свободных частиц c ненулевой массой и произвольным спином.

Получили название в честь Валентина Баргмана и Юджина Вигнера.

История

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году и позже (1936) обобщил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера. Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре. Вигнер отмечает, что Этторе Майорана и Дирак использовали инфинитезимальные операторы и классифицирует представления как неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргман и Вигнер опубликовали уравнения, которые теперь названы в их честь, в статье о теоретико-групповом обсуждении релятивистских волновых уравнений.

Формулировка уравнений

Для свободной электрически нейтральной массивной частицы со спином $j$ уравнения БВ представляют собой систему $2j$ линейных дифференциальных уравнений в частных производных, каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака. Система уравнений имеет вид

$\begin{array}{cc}& {(-{\gamma }^{\mu }{\hat{P}}_{\mu }+mc)}_{{\alpha }_1{{\alpha }_1}^{\prime }}{\psi }_{\alpha {\text{'}}_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdots {\alpha }_{2j}}=0\\ & {(-{\gamma }^{\mu }{\hat{P}}_{\mu }+mc)}_{{\alpha }_2{{\alpha }_2}^{\prime }}{\psi }_{{\alpha }_1\alpha {\text{'}}_2{\alpha }_3\cdots {\alpha }_{2j}}=0\\ & ⋮\\ & {(-{\gamma }^{\mu }{\hat{P}}_{\mu }+mc)}_{{\alpha }_{2j}\alpha {\text{'}}_{2j}}{\psi }_{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdots \alpha {\text{'}}_{2j}}=0\\ \end{array}$

и следует общему правилу;

для $r=1,2,\mathrm{...2}j$.

Волновая функция БВ $\psi =\psi (𝐫,t)$ имеет компоненты

${\psi }_{{\alpha }_1{\alpha }_2{\alpha }_3\cdots {\alpha }_{2j}}(𝐫,t)$

и является 4-компонентным спинорным полем ранга 2j. Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, тo есть существует $4^{2j}$ компонент всего спинорного поля $\psi$, хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает количество независимых компонент до $2(2j+1)$. Далее, ${\gamma }^{\mu }=({\gamma }^0,𝜸)$ являются матрицами Дирака, и

${\hat{P}}_{\mu }=i\hslash {\partial }_{\mu }$

является четырёхмерным оператором импульса.

Оператор, составляющий каждое уравнение $(-{\gamma }^{\mu }{P}_{\mu }+mc)=(-i\hslash {\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }+mc)$, является матрицей размерности $4\times 4$, потому что ${\gamma }^{\mu }$ матрицы, и $m{c}^{″}$ скалярно умножаются на единичную матрицу размерностью $4\times 4$ (обычно не пишется для простоты). Явно, в представлении Дирака матриц Дирака:

$\begin{array}{cc}-{\gamma }^{\mu }{\hat{P}}_{\mu }+mc& =-{\gamma }^0\frac{\hat{E}}{c}-𝜸\cdot (-\widehat{𝐩})+mc\\ [6pt]& =-\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& -I_2\end{array}\right)\frac{\hat{E}}{c}+\left(\begin{array}{cc}0& 𝝈\cdot \widehat{𝐩}\\ -𝝈\cdot \widehat{𝐩}& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{I}_2& 0\\ 0& I_2\end{array}\right)mc\\ [8pt]& =\left(\begin{array}{cccc}-\frac{\hat{E}}{c}+mc& 0& {\hat{p}}_z& {\hat{p}}_x-i{\hat{p}}_y\\ 0& -\frac{\hat{E}}{c}+mc& {\hat{p}}_x+i{\hat{p}}_y& -{\hat{p}}_z\\ -{\hat{p}}_z& -({\hat{p}}_x-i{\hat{p}}_y)& \frac{\hat{E}}{c}+mc& 0\\ -({\hat{p}}_x+i{\hat{p}}_y)& {\hat{p}}_z& 0& \frac{\hat{E}}{c}+mc\end{array}\right)\\ \end{array}$

где $𝝈=({\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3)=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ является вектором, каждая компонента которого является матрицей Паули, $E$ является оператором энергии, $𝐩=(p_1,p_2,p_3)=(p_x,p_y,p_z)$ является оператором трёхмерного импульса, $I_2$ обозначает единичную матрицу размерностью $2\times 2$, нули (во второй строке) обозначают блочную матрицу размерностью $2\times 2$ составленную из нулевых матриц.

Уравнения БВ обладают некоторыми свойствами уравнения Дирака:

• уравнения БВ являются Лоренц-ковариантными,
• все компоненты решений уравнений БВ удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона и, следовательно, удовлетворяют Шаблон:Не переведено 5,

$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$,

• уравнения БВ допускают вторичное квантование .

В отличие от уравнения Дирака, которое может учитывать действие электромагнитного поля посредством включения слагаемого, описывающего Шаблон:Не переведено 5, формализм БВ при попытке учёта электромагнитного взаимодействия содержит внутренние противоречия и трудности. Другими словами, в уравнения БВ невозможно внести изменение $P_{\mu }\to P_{\mu }-e{A}_{\mu }$, где $e$ - электрический заряд частицы и $A_{\mu }=(A_0,𝐀)$ - это электромагнитный потенциал. Для исследования электромагнитных взаимодействий в этом случае применяются электромагнитные 4-токи и мультиполи частицы.

Структура группы Лоренца

Представление группы Лоренца для уравнений БВ:

$D^{\mathrm{B}\mathrm{W}}=\underset{r=1}{\overset{2j}{⨂}}[D_r^{(1/2,0)}\oplus D_r^{(0,1/2)}].$

где $D_r$ обозначает неприводимое представление.

См. также

• Шаблон:Нп5
• Шаблон:Нп5
• D-матрица Вигнера
• Шаблон:Нп5
• Шаблон:Нп5
• Шаблон:Нп5 — альтернативные уравнение, описывающие свободные частицы с любым спином.
• Шаблон:Нп5

Источники

Дальнейшее чтение

Книги

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book

Избранные статьи

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite conference
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Внешние ссылки

Релятивистские волновые уравнения:

• Dirac matrices in higher dimensions, Wolfram Demonstrations Project
• Learning about spin-1 fields, P. Cahill, K. Cahill, University of New MexicoШаблон:Dead link
• Field equations for massless bosons from a Dirac–Weinberg formalism, R.W. Davies, K.T.R. Davies, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
• Quantum field theory I, Martin Mojzis
• The Bargmann–Wigner Equation: Field equation for arbitrary spin, FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Tehran, Iran

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Representations of Lorentz Group, indiana.edu
• Appendix C: Lorentz group and the Dirac algebra, mcgill.caШаблон:Dead link
• The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics, D. E. Soper, University of Oregon, 2011
• Representations of Lorentz and Poincare groups, J. Maciejko, Stanford University
• Representations of the Symmetry Group of Spacetime, K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009