Свободная частица

Свобо́дная части́ца — термин, используемый в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятие свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнения движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• $E=T=\frac{m{v}^2}{2}$, где $m$ — масса частицы, $v$ — её скорость, в нерелятивистском случае.
• $E=T=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m{c}^2$, где $c$ — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовые частицы описываются уравнением Шрёдингера

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }\psi$,

где $\psi$ — волновая функция рассматриваемой частицы, $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка, $t$ — время.

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

${\psi }_{𝐤}=A_{𝐤}{e}^{i𝐤\cdot 𝐫-itE/\hslash }$,

где $𝐫$ — радиус-вектор, $i$ — мнимая единица,

$E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$,

$A_{𝐤}$ любое комплексное число (размерности м^−3/2).

Волновой вектор $𝐤$ является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определён и равняется $𝐩=\hslash 𝐤$. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется $E$. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах

Гамильтониан свободной частицы

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }$

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\sqrt{g}{g}^{ik}\frac{\partial }{\partial q^k}\right)$.

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:Шаблон:Sfn

$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\sqrt{g}{g}^{ik}\frac{\partial }{\partial q^k}\right)$.

Классическая функция Гамильтона имеет вид

$H_c(𝐩,𝐪)=\frac{1}{2m}{g}^{ik}(𝐪)p_i{p}_k$.

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локальноШаблон:Sfn

$H(𝐏,𝐐)=\frac{1}{2m}(g^{ik}(𝐐)P_i{P}_k+i\hslash g^{is}(𝐐){\mathrm{\Gamma }}_{is}^k(𝐐)P_k)$.

Релятивистская квантовая частица

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц.

Для электронов и их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса $p$ энергия частиц равняется

$E=\pm c\sqrt{m^2{c}^2+p^2}$,

где знак «+» соответствует электрону, а «-» соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частица описывается уравнением Клейна — Гордона.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга