Преобразование Фолди — Ваутхайзена

Шаблон:КПМ Преобразование Фолди — Ваутхайзена (представление Фолди — ВаутхайзенаШаблон:Refn, преобразование ФВ, преобразование FW)Шаблон:SfnШаблон:Sfn — унитарное преобразование, которое позволяет представить уравнение Дирака (для биспиноров) в виде пары двухкомпонентных уравнений (спиноров), которые в нерелятивистском пределе переходят в уравнение Паули и уравнение для отрицательных энергийШаблон:Sfn. В представлении ФВ соотношения между операторами динамических величин аналогичны соотношениям для классических величин (координаты, испульсы, скорости)Шаблон:Sfn. Имело историческое значение, применялось для решения парадоксов, возникающих в теории Дирака, и интерпретации операторов координаты, скорости, спина, момента импульсаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Было сформулировано Лесли Лоуренсом Фолди и Зигфридом Адольфом Ваутхайзеном в 1949 году для понимания нерелятивистского предела уравнения Дирака, уравнения для частиц со спином 1/2. Подробное общее обсуждение преобразований типа Фолди — Ваутхайзена при интерпретации частиц, описываемых релятивистскими волновыми уравнениями, содержится в статье Р. Ачарье и Дж. Сударшана (1960). Его полезность в физике высоких энергий в настоящее время ограничена из-за того, что основные приложения находятся в ультрарелятивистской области, где поле Дирака рассматривается как квантованное поле.

Уравнение Дирака

Шаблон:Основная статья Уравнение Дирака для свободной частицы со спином 1/2 записывают в виде (здесь и далее скорость света приравнена к 1)Шаблон:Sfn

$(\mathit{\alpha }\cdot 𝐩+\beta m)\psi =i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$

где $\alpha ,\beta$ — эрмитовы матрицы Дирака размера 4 × 4, которые должны антикоммуритовать Шаблон:Math, Шаблон:Math, а квадрат каждой из матриц должен быть равен 1Шаблон:Sfn. В теории Дирака операторы трёх компонент оператора импульса $\mathbf{\text{p}}$, гамильтониана $H$, оператора спина $\mathbf{\text{S}}$, полного углового момента $\mathbf{\text{J}}$, чётности $P$ имеют хорошую физическую интерпретациюШаблон:Sfn, однако операторы орбитального момента и компоненты оператора спина не являются интегралами движения. Последние сохраняются по отдельности только в нерелятивистском пределе. Причина такого поведения относится к интерференции состояний с положительной и отрицательной энергиямиШаблон:Sfn. Другими величинами, которые имеют сложности интерпретации в одночастичном картине являются, координата, скорость. Для уравнения Дирака скорость частицы описывается операторами Шаблон:Math и может принимать только два значения Шаблон:Math. То есть отсутствует аналогия между операторами скорости и импульса, которые должны наблюдаться в нерелятивистском пределе согласно принципу соответствияШаблон:Sfn. Фолди и Ваутхайзен предложили решение этого несоответствия путём выбора нового представления уравнения Дирака, в котором уравнение представляет собой две системы уравнений с положительной и отрицательной энергиями, и которые дают уравнение Паули в нерелятистском пределе и частицу с отрицательной энергиейШаблон:Sfn.

ля покоящейся частицы Шаблон:Math, поэтому оператор Шаблон:Math определяет знак энергии и гамильтониан диагонален по спинорам. Для того чтобы оператор Шаблон:Math отвечал за знак энергии для свободной движущейся частицы нужно использовать другое представление, которое исключало бы нечётные операторы, которые смешивают спинорыШаблон:Refn, Шаблон:Math из гамильтониана. Такое представление было найдено Шаблон:Iw, С. Тани (Шаблон:Lang-en), Фолди и Ваутхайзеном, которые использовали каноническое преобразование для частицы со спином 1/2. Теперь оно известно как преобразование Фолди — Ваутхайзена. Краткий отчёт об истории представления можно найти в некрологах Фолди и Ваутхайзена и биографических мемуарах Фолди. До их работы существовала некоторая трудность в понимании и выборе всех членов, отвечающих за взаимодействия заданного порядка малости, например, для частицы Дирака во внешнем поле. Благодаря их методу физическая интерпретация операторов в гамильтониане стала ясной, и появилась возможность систематически применять их метод к ранее не поддающихся решению задачШаблон:Sfn. Преобразование Фолди — Ваутхайзена было распространено на физически важные случаи частиц со спином 0 и спином 1, и обобщено на случай частиц с произвольным спином.

Описание

Преобразование Фолди — Ваутхайзена (ФВ) представляет собой унитарное преобразование фермионной волновой функции видаШаблон:SfnШаблон:Sfn

Шаблон:NumBlk

где унитарный оператор — это 4 × 4 матрицаШаблон:SfnШаблон:Sfn

где ${𝕀}_4$ — единичная матрица, ${\hat{p}}^i\equiv p^i/|𝐩|$ — единичный вектор, ориентированный в направлении импульса фермионаШаблон:Sfn. Вышеупомянутое связано с матрицами Дирака соотношениями Шаблон:Math и Шаблон:Math, где Шаблон:Math. Простое разложение в ряд с применением свойств коммутативности матриц Дирака показывает, что верно утверждение (Шаблон:Eqref) вышеШаблон:Sfn. Обратное преобразование равно

$U_{FW}^{-1}=e^{-\beta \mathit{\alpha }\cdot \widehat{𝐩}\theta }={𝕀}_4\cos \theta -\beta \mathit{\alpha }\cdot \widehat{𝐩}\sin \theta ,$

поэтому Шаблон:Math, где Шаблон:Math — 4 × 4 единичная матрица.

Преобразование гамильтониана Дирака для свободного фермиона

Это преобразование представляет особый интерес применительно к гамильтониану Дирака со свободными частицамиШаблон:Sfn

${\hat{H}}_0\equiv \mathit{\alpha }\cdot 𝐩+\beta m$

— биунитарно, в видеШаблон:SfnШаблон:Sfn

Шаблон:NumBlk

Используя свойства коммутативности матриц Дирака, это можно преобразовать в выражение удвоенного угла

Шаблон:NumBlk

которое после сокращений приводится к видуШаблон:Sfn Шаблон:NumBlk

Выбор конкретного представления: Ньютон — Вигнер

Преобразование ФВ является непрерывным, то есть можно использовать любое значение Шаблон:Mvar по своему выбору. Теперь возникает отдельный вопрос о выборе конкретного значения для Шаблон:Mvar, что равносильно выбору конкретного вида представления. Если выбратьШаблон:Sfn

так что (Шаблон:Eqref) сводится к диагонализованному (это предполагает, что Шаблон:Mvar берётся в представлении Дирака — Паули (Поля Дирака, Вольфганга Паули), в котором это матрица диагональна)

После тригонометрических преобразований, (Шаблон:Eqref) также подразумевает, что

Шаблон:NumBlk

так что использование (Шаблон:Eqref) в (Шаблон:Eqref) теперь приводит к следующему сокращениюШаблон:Sfn

Шаблон:NumBlk

До того, как Фолди и Ваутхайзен опубликовали своё преобразование, уже было известно, что (Шаблон:Eqref) является гамильтонианом в представлении Ньютона — Вигнера (НВ) (названном в честь Теодора Дадделла Ньютона и Юджина Вигнера) уравнения Дирака. Таким образом, (Шаблон:Eqref) говорит о том, что, применяя преобразование ФВ к представлению Дирака — Паули уравнения Дирака, а затем выбирая параметр непрерывного преобразования Шаблон:Mvar так, чтобы диагонализировать гамильтониан, то можно прийти к НВ-представлению уравнения Дирака, потому что НВ само уже содержит гамильтониан, указанный в (Шаблон:Eqref).

Если рассматривать массу на оболочке — фермионную или иную — заданную выражением Шаблон:Math и использовать метрический тензор Минковского, для которого Шаблон:Math, то выражение

$p^0=\sqrt{m^2+|𝐩{|}^2}$

эквивалентно компоненте Шаблон:Math 4-импульса Шаблон:Mvar, так что (Шаблон:Eqref) альтернативно определяется как ${\hat{H}}_0^{\text{'}}=\beta E$Шаблон:Sfn.

Соответствие между представлениями Дирака — Паули и Ньютона — Вигнера для покоящегося фермиона

Пусть фермион покоится, что означает фермион, для которого $|\mathbf{\text{p}}|=0$. Для (Шаблон:Eqref) или (Шаблон:Eqref) это означает, что Шаблон:Math, так что Шаблон:Math, а для (Шаблон:Eqref) — что унитарный оператор Шаблон:Math. Следовательно, любой оператор Шаблон:Mvar в представлении Дирака — Паули, над которым выполняется биунитарное преобразование, для покоящегося фермиона будет иметь вид

Шаблон:NumBlk

В отличие от исходного гамильтониана Дирака — Паули

${\hat{H}}_0\equiv \mathit{\alpha }\cdot 𝐩+\beta m$

с гамильтонианом НВ (Шаблон:Eqref) находится $|\mathbf{\text{p}}|=0$ «в покое» соответствует

Шаблон:NumBlk

Преобразование оператора скорости

В представлении Дирака — Паули

Шаблон:Основная статья Для получения оператора скорости в представлении Дирака — Паули необходимо вычислить коммутатор канонических операторов координат ${\hat{x}}_i$ с гамильтонианом ${\hat{H}}_0$Шаблон:Sfn

$\widehat{v_i}\equiv \frac{d{\hat{x}}_i}{dt}=i[{\hat{H}}_0,{\hat{x}}_i].$

Подставляя гамильтониан в явном виде и используя канонические коммутационные соотношения получается

Шаблон:NumBlk

Cобственные значения оператора ${\hat{\alpha }}_i$ равны ±1, что соответствует собственным значениям операторов компонент скорости света Шаблон:Math, хотя в действительности скорость может принимать любые значения в промежутке от Шаблон:Math до Шаблон:Math. Операторы ${\hat{\alpha }}_i$ также не коммутируют между собой, что означет принципиальную невозможность одновременно измерить две любые компоненты скорости. Кроме того, в представлении Дирака — Паули, для понятий скорости и импульса отсутствуют обычные, аналогичные существующим в релятивистской классической механике связи между операторами скорости и импульса. А именно, вышеприведённое соотношение не принимает нерелятивистский аналог выражения для скорости $\widehat{v_i}={\hat{p}}_i/m_i.$ Отличие понятий скорости и импульса в теории Дирака непосредственно связаны с интерференцией состояний с различными знаками энергииШаблон:Sfn.

Полное решение уравнения Дирака для свободной частицы представляет собой линейную суперпозипию состояний с разными знаками энергии $\xi =\pm 1$. Для состояния в виде суперпозиции двух стационарных состояний с одинаковыми квантовыми числами, но с разными знаками энергии $\xi =\pm 1$Шаблон:Sfn

$\mathrm{\Psi }(\mathbf{\text{r}},t)=A_1{e}^{-iEt}\psi (+)+A_2{e}^{iEt}\psi (-),$

где Шаблон:Math и Шаблон:Math — амплитуды, а решения Шаблон:Math и Шаблон:Math — ортогональны. Ток вероятности зависит от времени

$⟨\mathbf{\text{j}}⟩=\int {\mathrm{\Psi }}^{+}(\mathbf{\text{r}},t)\hat{\alpha }\mathrm{\Psi }(\mathbf{\text{r}},t)=\int d^{3}x[|A_1{|}^2{\psi }^{+}(+)\hat{\alpha }\psi (+)+|A_2{|}^2{\psi }^{+}(-)\hat{\alpha }\psi (-)]+{\mathbf{\text{j}}}_{zb}(t),$

где

Шаблон:NumBlk

определяет колебательное движение, известное как «дрожащее движение»Шаблон:Sfn. Это слагаемое осложняет одночастичную интепретацию полученного результата, что физиченски означает влияние эффектов рождения виртуальных (и реальных) электронно-дырочных пар при приближении к электрону на расстояние меньше чем комптоновский радиусШаблон:Sfn.

В представлении Ньютона — Вигнера

Теперь в представлении Ньютона — Вигнера можно вычислить оператор координаты ${\hat{x}}_{FW}$. Для выбранного оператора преобразования Фолди — Ваутхайзена в видеШаблон:Sfn

Шаблон:NumBlk

оператор коорднинаты представляется в видеШаблон:Sfn

${\widehat{\mathbf{\text{x}}}}_{FW}={\hat{U}}_{FW}\widehat{\mathbf{\text{x}}}{\hat{U}}_{FW}^{-1}=\widehat{\mathbf{\text{x}}}+{\hat{U}}_{FW}[\widehat{\mathbf{\text{x}}},{\hat{U}}_{FW}^{-1}],$

где используется определение коммутатора

$[{\hat{x}}_k,{\hat{U}}_{FW}^{-1}]=i\frac{\partial }{\partial {\hat{p}}_k}\left({\hat{U}}_{FW}^{-1}\right).$

Вычисления дают следующее выражениеШаблон:Sfn

Шаблон:NumBlk

которое можно разбить на два оператора. Первые два слагаемые в (Шаблон:Eqref) отвечают за чётную часть оператора и соответствует оператору «среднего положения». Последние слагаемые отвечают за дрожащее движение и нечётную часть оператораШаблон:Sfn. В нерелятивистском пределеле оператор среднего положения соответствует обычной координатеШаблон:Sfn. Возможно выбрать координату в представлении Паули — Дирака таким образом, чтобы он принял вид $\widehat{\mathbf{\text{x}}}$Шаблон:Sfn

Шаблон:NumBlk

который обладает следующими свойствами:

$[{\hat{X}}_j,{\hat{X}}_k]=0;[{\hat{X}}_j,{\hat{p}}_k]=i{\delta }_{jk}.$

Скорость или производная этого оператора по времени определяется соглавноШаблон:SfnШаблон:Sfn

$\frac{d}{dt}\widehat{\mathbf{\text{X}}}=i[\hat{H},\widehat{\mathbf{\text{X}}}]=\frac{\widehat{\mathbf{\text{p}}}}{E_p}\hat{\mathrm{\Lambda }}.$

Операторы динамических переменных в старом и новом представлениях

Динамическая переменная	Операторы в старом представлении	Операторы в новом представлении
Положение	$𝐱$	${𝐱}^{\prime }=𝐱-\frac{i\beta \mathit{\alpha }}{2E_p}+\frac{i\beta (\mathit{\alpha }\cdot 𝐩)𝐩-[\mathit{\sigma }\times 𝐩]p}{2E_p(E_p+m)p}$
Импульс	$𝐩\equiv (\hslash /i)\mathrm{\nabla }$	${𝐩}^{\prime }=𝐩$
Гамильтониан	$H=\beta m+\mathit{\alpha }\cdot 𝐩$	$H^{\prime }=\beta (m^2+p^2{)}^{1/2}\equiv \beta E_p$
Скорость	$\mathit{\alpha }=\dot{𝐱}$	${\mathit{\alpha }}^{\prime }=\mathit{\alpha }+\frac{\beta 𝐩}{E_p}-\frac{(\mathit{\alpha }\cdot 𝐩)𝐩}{E_p(E_p+m)}$
	$\beta$	${\beta }^{\prime }=\frac{m\beta -\mathit{\alpha }\cdot 𝐩}{E_p}$
Орбитальный угловой момент	$[𝐱\times 𝐩]$	$[{𝐱}^{\prime }\times 𝐩]$
Спиновый угловой момент	$\mathit{\sigma }\equiv \frac{1}{2i}[\mathit{\alpha }\times \mathit{\alpha }]$	${\mathit{\sigma }}^{\prime }=\mathit{\sigma }+\frac{i\beta [\mathit{\alpha }\times 𝐩]}{E_p}-\frac{𝐩\times [\mathit{\sigma }\times 𝐩]}{E_p(E_p+m)}$
Среднее положение	$𝐗=𝐱+\frac{i\beta \mathit{\alpha }}{2E_p}-\frac{i\beta (\mathit{\alpha }\cdot 𝐩)𝐩+[\mathit{\sigma }\times 𝐩]p}{2E_p(E_p+m)p}$	${𝐗}^{\prime }=𝐱$
Средняя скорость	$\dot{𝐗}=\frac{𝐩}{E_p}\cdot \left\{\frac{\beta m+\mathit{\alpha }\cdot 𝐩}{E_p}\right\}$	${\dot{𝐗}}^{\prime }=\frac{\beta 𝐩}{E_p}$
Средний орбитальный угловой момент	$[𝐗\times 𝐩]$	$[{𝐗}^{\prime }\times 𝐩]=[𝐱\times 𝐩]$
Средний спиновый угловой момент	$\mathrm{\Sigma }=\mathit{\sigma }-\frac{i\beta [\mathit{\alpha }\times 𝐩]}{E_p}-\frac{[𝐩\times [\mathit{\sigma }\times 𝐩]]}{E_p(E_p+m)}$	${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }=\mathit{\sigma }$
Знаковый операторШаблон:Sfn	${\mathrm{\Lambda }}_p\equiv \frac{\beta m+\mathit{\alpha }\cdot 𝐩}{E_p}$	${{\mathrm{\Lambda }}_p}^{\prime }=\beta$

Другие приложения

Преобразование Фолди — Ваутхайзена, первоначально разработанное для уравнения Дирака, нашло применение во многих ситуациях, таких как акустика и оптика. Оно нашло применение в самых разных областях, таких как атомные системы синхротронное излучение и вывод уравнения Блоха для поляризованных пучков. Применение преобразования Фолди — Ваутхайзена в акустике весьма естественно; учитывает полноту и математическую строгость.

В традиционной схеме цель разложения оптического гамильтониана

$\hat{H}=-{(n^2(r)-{\hat{p}}_{\perp }^2)}^{\frac{1}{2}}$

в ряд с использованием ${\hat{p}}_{\perp }^2/n_0^2$ в качестве параметра разложения следует понимать распространение квазипараксиального луча с точки зрения ряда приближений (параксиальных и непараксиальных). Аналогично обстоит дело и в оптике заряженных частиц. В релятивистской квантовой механике возникает аналогичная проблема понимания релятивистских волновых уравнений как нерелятивистского приближения плюс релятивистские поправочные члены в квазирелятивистском режиме. Для уравнения Дирака (первого порядка по времени) это удобнее всего делать с помощью преобразования Фолди — Ваутхайзена, приводящего к итерационному методу диагонализации. Основной метод недавно разработанных формализмов оптики (как световой оптики, так и оптики заряженных частиц) основан на методе преобразования теории Фолди — Ваутхайзена, который приводит уравнение Дирака к форме, отображающей различные члены взаимодействия между частицей Дирака и частицей Дирака. прикладное электромагнитное поле в нерелятивистской и легко интерпретируемой форме.

В теории Фолди — Ваутхайзена уравнение Дирака посредством канонического преобразования разделяется на два двухкомпонентных уравнения: одно сводится к уравнению Паули в нерелятивистском пределе, а другое описывает состояния с отрицательной энергией. Можно написать матричное представление уравнений Максвелла в стиле Дирака. В такой матричной форме можно применить метод Фолди — Ваутхайзена.

Существует тесная алгебраическая аналогия между уравнением Гельмгольца (определяющим скалярную оптику) и уравнением Клейна — Гордона; и между матричной формой уравнений Максвелла (определяющих векторную оптику) и уравнением Дирака. Поэтому вполне естественно использовать мощный аппарат стандартной квантовой механики (в частности, преобразование Фолди — Ваутхайзена) при анализе этих систем.

Эта идея была использована для анализа квазипараксиальных приближений для конкретной лучевой оптической системы. Метод Фолди — Ваутхайзена идеально подходит для алгебраического подхода Ли в оптике. Несмотря на все эти плюсы, а также мощное и недвусмысленное расширение, преобразование Фолди — Ваутхайзена до сих пор мало используется в оптике. Метод преобразования Фолди — Ваутхайзена приводит к так называемым нетрадиционным методам в оптике Гельмгольца и оптики Максвелла. Нетрадиционные подходы приводят к очень интересным зависящим от длины волны модификациям параксиального и аберрационного поведения. Нетрадиционный формализм оптики Максвелла обеспечивает единую основу оптики светового пучка и поляризации. Нетрадиционные методы геометрической оптики во многом аналогичны квантовой теории оптики пучков заряженных частиц. В оптике это позволило увидеть более глубокие связи в зависимости от длины волны между оптикой света и оптикой заряженных частиц.

Примечания

Комментарии Шаблон:Примечания Источники Шаблон:Примечания

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга