Zitterbewegung

Шаблон:КПМ Zitterbewegung (Шаблон:Lang-de — «дрожащее движение», «дрожательное движение», «эффект дрожаний») — быстрое осциллирующее движение элементарной частицы, подчиняющейся уравнению Дирака (в частности, электрона). Существование такого движения было впервые отмечено Шрёдингером в 1930 году, который проанализировал решение уравнения Дирака для релятивистского свободного электрона, имеющее вид волнового пакета, в котором интерференция между состояниями c положительной и отрицательной энергиями приводит к колебаниям (на скорости света) электрона вокруг его среднего положения с круговой частотой $2m{c}^2/\hslash$, или приблизительно 1,6Шаблон:E Гц.

Вывод выражения, описывающего Zitterbewegung

Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера

$H\psi (𝐱,t)=i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}(𝐱,t)$

где

$H={\alpha }_{0}m{c}^2+\sum _{j=1}^3{\alpha }_j{p}_{j}c$

— гамильтониан Дирака.

Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:

$-i\hslash \frac{\partial Q(t)}{\partial t}=[H,Q].$

В частности, для производной по времени от оператора координаты $x_k(t)$

$\hslash \frac{\partial x_k(t)}{\partial t}=i[H,x_k]={\alpha }_k.$

Полученное уравнение показывает, что оператор ${\alpha }_k$ можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.

Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением

$\hslash \frac{\partial {\alpha }_k(t)}{\partial t}=i[H,{\alpha }_k]=2i{p}_k-2i{\alpha }_{k}H.$

Поскольку $p_k$, и $H$ не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по $t$, получив следующую зависимость оператора координаты от времени:

$x_k(t)=x_k(0)+c^2{p}_k{H}^{-1}t+\frac{1}{2}i\hslash c{H}^{-1}({\alpha }_k(0)-c{p}_k{H}^{-1})(e^{-2iHt/\hslash }-1).$

В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «zitterbewegung».

Это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.

Есть и точка зрения, что уравнение Дирака в этом случае нельзя, подобно уравнению Шредингера, рассматривать как обычное квантовомеханическое описание одной частицы. Движение заряда со скоростью света описывается уравнением Дирака как очень сложное возбужденное состояние с фазовыми взаимосвязями между частицами и античастицами.

Опытное подтверждение

В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.

Ссылки

• E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik («On the free movement in relativistic quantum mechanics»), Berliner Ber., pp. 418—428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950—952 (1962)

• Observing Zitterbewegung in Ultracold Atoms