Уравнение Паули

Шаблон:Физическая теория Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году. Не путать с основным кинетическим уравнением, также иногда называемым уравнением Паули.

Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы $\psi (r,t)$ (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:

$\psi (r,t)=\left(\begin{array}{c}{\psi }_1(r,t)\\ {\psi }_2(r,t)\end{array}\right).$

При поворотах координатных осей ${\psi }_1$ и ${\psi }_2$ преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение $\psi$ и ${\psi }^{\prime }$ имеет вид

$({\psi }^{\prime },\psi )=\int (\psi {\text{'}}_1{\psi }_1+\psi {\text{'}}_2{\psi }_2)dr,$

Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.

В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом $\overrightarrow{s}$ обладает и магнитным моментом, пропорциональным $\overrightarrow{s}$: $\overrightarrow{\mu }=g\overrightarrow{s}$ (g — гиромагнитное отношение). Для орбитального момента $g=\frac{e}{2mc}$, где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: $g=\frac{e}{mc}$. Во внешнем магнитном поле напряжённости $\overrightarrow{B}$ магнитный момент обладает потенциальной энергией $U=-\overrightarrow{\mu }\overrightarrow{B}$, добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами $\phi$ и A приводит к уравнению Паули:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{\mathscr{H}}\psi =[\frac{1}{2m}(\hat{p}-\frac{e}{c}A\hat{I}{)}^2+e\phi \hat{I}-\frac{e\hslash }{2mc}(\hat{\sigma }\overrightarrow{B})]\psi$

где $\hat{p}$ — оператор импульса, $\hat{I}$ — единичный оператор, а $\hat{\sigma }$ пропорционален оператору спина: $\hat{s}=\frac{\hslash }{2}\hat{\sigma }$.

Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид $\psi (r,t)=\mathrm{\Phi }(r,t)\chi (t)$, где $\mathrm{\Phi }(r,t)$ — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор $\chi =\left(\begin{array}{c}{\chi }_1\\ {\chi }_2\end{array}\right)$ удовлетворяет уравнению

$i\hslash \frac{\partial \chi }{\partial t}=-\frac{e\hslash }{2mc}(\sigma \overrightarrow{B})\chi .$

Из этого уравнения следует, что среднее значение спина $⟨s⟩=\frac{\hslash }{2}(\chi +\sigma \chi )$ прецессирует вокруг направления магнитного поля:

$\frac{d}{dt}⟨s⟩=-{\omega }_B[\overrightarrow{n}⟨s⟩].$

Здесь ${\omega }_B=\frac{eB}{mc}$ — циклотронная частота, $\overrightarrow{n}$ — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.

Литература

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
• Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.—Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — 672 с.

См. также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Шрёдингера